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上海市奉贤区 2023-2024 学年九年级上学期期末数学试题（一模）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列函数中是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的
关键．
【详解】A． 是一次函数，故不符合题意；
B． 是反比例函数，故不符合题意；
C． 是二次函数，故符合题意；
D． 不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
2. 将抛物线 向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线 向右平移3个单位长度得到的抛物线是 ．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
3. 在 中， ， ， ，那么 的长是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正切的定义，正切等于对边比邻边，先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
则 ，即 ，
解得 ，
故选：A．
4. 如图，在 中，点D、E分别在 、 的反向延长线上，已知 ，下列条件中能判定
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的判定及性质逐一判断即可求解，熟练掌
握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解： ， ，A、由 ，及 不能判定 ，故不符合题意；
B、由 ， 不能判定 ，则错误，故不符合题意；
C、 ，
，
，
，
∴ ，
，故符合题意；
D、由 、 不能判定 ，故不符合题意
故选：C
5. 已知 ， ，且 与 的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的线性运算．由 与 的方向相反，且 ， ，可得 和 的关系．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∵ 与 的方向相反，
∴ ．
故选：B．
6. 如图，将 绕点B顺时针旋转，使得点A落在边 上，点A、C的对应点分别为D、E，边
交 于点F，连接 ．下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判
定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键．
【详解】解：如图，
由旋转性质得 ， ， ， ，
∴ ，∴ ，故选项A不符合题意；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，故选项B不符合题意；
∵ ，又 ，
∴ ，故选项C不符合题意；
根据题意，无法证明 与 相似，故选项D符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 得到 ，把它代入后面的式子求出比值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质．8. 计算： ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平面向量，利用平面向量的定义与运算性质解答即可，熟练掌握平面向量的运算
性质是解题的关键．
【详解】
；
故答案为： ．
9. 已知抛物线 开口向上，那么a的取值范围是___________________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用二次函数 的性质： 0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．
【详解】解：∵抛物线 开口向上，
∴ ，
∴ ．
∴ 的取值范围是： ．
故答案为： ．
10. 已知抛物线 在对称轴左侧部分是的_____________．（填“上升”或“下降”）
【答案】上升
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数 的性质是解答本题的关键．根据
性质解答即可．【详解】解：∵ ， ，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴是直线y轴，
∴在对称轴左侧部分是上升的．
故答案为：上升．
11. 如果P是线段 的黄金分割点， ，那么较长线段 的长是_____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
根据黄金分割的定义解答．
【详解】解：设 ，
根据题意列方程得， ，
即 ，
解得 (负值舍去)．
故答案为： ．
12. 某人顺着坡度为 的斜坡滑雪，下滑了 米，那么高度下降了_____米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，设垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定
理求解即可，解题的关键是掌握坡度坡角的定义．
【详解】∵坡度为 ，
∴设高度下降了 米，则水平前进了 米，
由勾股定理得： ，解得： ，
故答案为： ．
13. 如图，已知 ，它们依次交直线 于点 ，交直线 于点 ，已知
，那么 的长为___________________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数
据计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．14. 如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点， ， ，那么△DEF
的周长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平行线的性质和相似三角形的判
定与性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵点 是边 的三等分点，
的周长： 的周长
的周长 ．
故答案为： ．
15. 如图，已知 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么 的
正切值为_________．
【答案】 ##【解析】
【分析】本题考查勾股定理及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出
合适的直角三角形是解题的关键．
【详解】连接 ，如图所示，
易得 是直角三角形，
由勾股定理得，
，
在 中，
．
故答案为： ．
16. 在 中， ， （ 是锐角）， ，那么 的长为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作 于D，先解 得到
，即可利用勾股定理求出 ，再解 求出 ，则 ．
【详解】解：如图所示，过点C作 于D，
中， ， ，
在
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
17. 如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即 米)，遮阳篷的宽度
为 米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为 ，当太阳光与地面的夹角为 时，遮阳篷在地
面上的阴影宽度 为_____________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作 于点 ，作 ，交 的延长线于点 ，
然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得 和 的值，从而可以求得 的值．
【详解】解：作 于点 ，作 ，交 的延长线于点 ，如图，由已知可得， 米， ， ， 米，
(米)， (米)，
米， 米，
， ，
(米)
故答案为： ．
18. 如图，在梯形 中， ， ，点E是 中点，如果点F在 上，线段
把梯形分成面积相等的两个部分，那么 _____________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到
，证明 ，即可求解．
连接 ，过 作 交 于 ，交 延长线于 ，由 ，得到 ，
由点 是 中点，得到 的面积 的面积，由线段 把梯形分成面积相等的两个部分，得
到 的面积 的面积，由三角形面积公式得到 ，由 ，得到
，即可求出 ．
【详解】解：连接 ，过 作 交 于 ，交 延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ 的面积 的面积，
∵线段 把梯形分成面积相等的两个部分，
的
∴ 面积 的面积，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特
殊角的三角函数值是解本题的关键．
【详解】20. 已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线表达式并写出顶点坐标；
（2）联结 ，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线表达式为 ；顶点坐标为 ；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）利用待定系数法求得直线 的解析式，令 ，求得 值，则结论可得．
【小问1详解】
解： 抛物线 经过点 ， ，
，
，
抛物线表达式为 ；
，
抛物线 的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：设直线 的解析式为 ，
，，
直线 的解析式为 ．
与该抛物线的对称轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ．
．
21. 如图，在 中， 是 的重心，联结 并延长交 于点 ．
（1）如果 ， ，那么 =________________(用向量 、 表示)；
（2）已知 ， ，点 在边 上，且 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）3；
【解析】
【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，
（1）利用平面向量的定义解答即可；
（2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可．
【小问1详解】
解： ， ，
是 的重心，联结 并延长交 于点 ，为 的 边上的中线，
即点 为 的中点，
，
故答案为： ．
【小问2详解】
是 的重心，
．
， ，
，
22. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和
光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜 ，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘
米的发光物箭头 进行移动，使物距 为32厘米，光线 传播方向不变，移动光屏，直到光
屏上呈现一个清晰的像 ，此时测得像距 为 厘米．（1）求像 的长度．
（2）已知光线 平行于主光轴l，经过凸透镜 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距 的长．
【答案】（1） 厘米
（2） 厘米．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点，
（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明 与△ 解答即可；
（2）过点 作 交 于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即
可；
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴像 的长度 厘米．
【小问2详解】
过点 作 交 于点E，如图，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
同理：四边形 为平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （厘米）．
∴凸透镜焦距 的长为 厘米．
23. 如图，在 中， ，点D在边 上，已知 ，边 交 于点E．
（1）求证： ；
（2）连接 ，如果 ，求证： ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，24. 在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线 对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线
关于直线 的镜像抛物线．
（1）如图，已知抛物线 顶点为A．
①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；
②已知该抛物线关于直线 的镜像抛物线的顶点为B，如果 （ 是锐角），求m
的值．
（2）已知抛物线 的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的
交点为 ．如果 是直角三角形，求该抛物线的表达式．
【答案】（1）① ；② 或
（2）
【解析】
【分析】（1）①由 ，可得 ，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点
为 ，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当 在点 左侧时，该抛物线关于直线 的镜
像抛物线的顶点为 ，如图 ，连接 交 轴于点 ，则 ，由 ，可得 ，计算求解即可；如图 ，当 在点 右侧时，同理可得， ，计
算求解即可；
（2）如图2，由题意知，若 是直角三角形，则 是等腰直角三角形，则 ，
设 ，由 ，可得 ，即抛物线的表达式为 ，
将 代入得， ，求出满足要求的 ，进而可得抛物线的表达式．
【小问1详解】
①解：∵ ，
∴ ，
∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为 ，
∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为 ，即 ；
②当 在点 左侧时，
∵ ，该抛物线关于直线 的镜像抛物线的顶点为B，
∴ ，
如图 ，连接 交 轴于点 ，则 ，
图
∵ ，∴ ，
解得， ；
如图 ，当 在点 右侧时，
图
同理可得， ，
解得， ；
综上所述， 的值为 或 ；
【小问2详解】
解：如图2，
图2
由题意知，若 是直角三角形，则 是等腰直角三角形，则 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，∴抛物线的表达式为 ，
将 代入 得， ，
解得， 或 （舍去），
∴抛物线的表达式为 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握
二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
的
25. 在直角梯形 中， ， 平分线交
边 于点E，点F在线段 上，射线 与梯形 的边相交于点G．
（1）如图1，如果点G与A重合，当 时，求 的长；
（2）如图2，如果点G在边 上，联结 ，当 ，且 时，求 的值；
（3）当F是 中点，且 时，求 的长．
【答案】25. 4 26.27. 的长为5或
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得 ，利用直
角三角形的边角关系定理求得 ，利用勾股定理求得 ，利用角平分线的定义和平行线的性质得到
，则 ；
（2）过点 作 于点 ，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得 ，
再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点 在 上时，利用等腰三角形的三线合一的性
质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点 在 上时，连接 ，延长 交于点 ，
利用勾股定理求得 ，利用相似三角形的判定与性质求得 ，再利用全等三角形的判定与性质解答即
可．
【小问1详解】
解：过点 作 于点 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
过点 作 于点 ，如图，
由（1）知： ，
，
，∵ ，
为等腰直角三角形，
【小问3详解】
①当点 在 上时，如图，
由（1）知： ，
∵ 是 中点，
在 和 中，
，，
∴ ，
∴ ；
②当点 在 上时，连接 ，延长 ， 交于点 ，如图，
由（1）知： ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长为5或 ．
【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角
三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定
义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线．
