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2023 届闵行区高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考
生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设全集 ，集合 ，则 ________．
2. 若实数 、 满足 、 ，则 ______________．
3. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为_____________．
4. 已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________．
的
5. 已知常数 ， 二项展开式中 项的系数是 ，则 的值为_____________．
6. 已知事件A与事件B互斥，如果 ， ，那么 _____________．
7. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流
感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．
8. _____________．
9. 若关于 的方程 在实数范围内有解，则实数 的取值范围是_____________．
10. 已知在等比数列 中， 、 分别是函数 的两个驻点，则
_____________．
11. 已知抛物线 ： ，圆 ： ，点M的坐标为 ，P、Q分别为 、 上的
动点，且满足 ，则点P的横坐标的取值范围是_____________．
的
12. 平面上有一组互不相等 单位向量 ， ，…， ，若存在单位向量 满足
，则称 是向量组 ， ，…， 的平衡向量．已知
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，向量 是向量组 ， ， 的平衡向量，当 取得最大值时，
值为_____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
.
A B. C. D.
14. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情
况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100分）作为样本进行统计，样本容量为 n．
按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已
知成绩落在 内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）
.
A 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯
定不是A等
15. 已知 ，若存在正整数n，使函数 在区间 内有2023个零点，则
实数a所有可能的值为（ ）
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A. 1 B. －1 C. 0 D. 1或－1
16. 若数列 、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 ，则称
数列 为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列选项中为假命题的是（ ）
A. 存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
B. 存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
C. 存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
D. 存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
三、解答题（本大题满分 78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤．
17. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD， ， ，点E
在线段AB上，且 ．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P－CE－A的余弦值．
19. 在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件 表示试验者的检测结
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果为阳性，事件 表示试验者患有此疾病，据临床统计显示， ， ．已知该
地人群中患有此种疾病的概率为 ．（下列两小题计算结果中的概率值精确到 ）
（1）对该地某人进行抗原检测，求事件 与 同时发生的概率；
（2）对该地 个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量 表示检测结果为阳性的人数，求 的分
布和期望．
20. 已知O为坐标原点，曲线 ： 和曲线 ： 有公共点，直线 ：
与曲线 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
（1）若曲线 和 有且仅有两个公共点，求曲线 的离心率和渐近线方程；
（2）若直线OM经过曲线 上的点 ，且 为正整数，求a的值；
（3）若直线 ： 与曲线 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：
．
21. 如果曲线 存在相互垂直的两条切线，称函数 是“正交函数”．已知
，设曲线 在点 处的切线为 ．
的
（1）当 时，求实数 值；
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（2）当 ， 时，是否存在直线 满足 ，且 与曲线 相切？请说明理由；
（3）当 时，如果函数 是“正交函数”，求满足要求的实数 的集合 ；若对任意 ，
曲线 都不存在与 垂直的切线 ，求 的取值范围．
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