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浦东新区 2022 学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 ．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 已知集合 ， ，则 _____________．
2. 若复数z满足 （ 是虚数单位），则复数 _____________．
3. 若圆柱的高为10，底面积为 ，则这个圆柱的侧面积为_____________．（结果保留 ）
的
4. 二项展开式中 项的系数为_____________．
5. 设随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 _____________．
6. 双曲线 的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________．
7. 投掷一颗骰子，记事件 ， ，则 _____________．
8. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c，若 ，则
________．
9. 函数 在区间 上的最小值为_____________．
的
10. 已知 ，函数 在区间 上有唯一 最小值-2，则 的取值范围为
______________．
11. 已知边长为2的菱形 中， ，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 ，则
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的最大值是_____________．
12. 已知 ，设 ， ，其中k是整数． 若对一切 ，
的
都是区间 上 严格增函数．则 的取值范围是 __________ ．
二、选择题（本大题满分 18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选
对得5分，否则一律得零分．
13. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
.
C 充要条件； D. 既不充分也不必要条件．
14. 某种产品的广告支出 与销售额 （单位：万元）之间有下表关系， 与 的线性回归方程为
，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）．
2 4 5 6 8
30 40 60 70 80
A. 1.6 B. 8.4 C. 11.6 D. 7.4
15. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；
C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；
D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
16. 已知函数 ，其导函数为 ，有以下两个命题：
①若 为偶函数，则 为奇函数；
②若 为周期函数，则 也为周期函数．
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那么（ ）．
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
三、解答题（本大题满分 76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规
定区域内写出必要的步骤．
17. 已知数列 是首项为9，公比为 的等比数列．
（1）求 的值；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的最大值，并指出 取最大值时 的取值．
18. 如图，三角形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ， ，
， ， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
19. 为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测
试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．
（1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
（2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个
代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，
仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1
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道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是 ，答对地理环境题的概率都是 ．请你
为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
20. 椭圆 的方程为 ， 、 为椭圆的左右顶点， 、 为左右焦点， 为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若 为直角三角形，求 的面积；
（3）若 、 为椭圆上异于 的点，直线 、 均与圆 相切，记直线 、
的斜率分别为 、 ，是否存在位于第一象限的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由．
21. 设 是坐标平面 上的一点，曲线 是函数 的图像． 若过点 恰能作曲线 的 条切线
（ ），则称 是函数 的“ 度点”．
（1）判断点 与点 是否为函数 的1度点，不需要说明理由；
（2）已知 ， ． 证明：点 是 的0度点；
（3）求函数 的全体2度点构成的集合．
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