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2023 届长宁区高三二模考试数学试卷
一、填空题
1. 已知集合 ， ，则 ______.
2. 若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围为___________．
3. 已知事件A与事件B相互独立，如果 ， ，那么 __________．
4. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 ，底面周长为 ，则这个圆锥的体积为___________．
5. 若函数 为奇函数，则实数a的值为___________．
6. 设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ___________．
7. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，
如图．则至少需要___________米栅栏．
8. 若函数 ， 满足 ，且 ，则 ___________.
9. 若对任意 ，均有 ，则实数a的取值范围为___________．
10. 已 知 空 间 向 量 ， ， ， 满 足 ： ， ， ，
，则 的最大值为___________．
11. 已知 是双曲线 的左、右焦点，l是 的一条渐近线，以 为圆心的
圆与l相切于点P，若双曲线 的离心率为2，则 __________．
二、单选题
12. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差
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13. 设复平面上表示 和 的点分别为点A和点B，则表示向量 的复数在复平面上所对应的点位
于（ ）
.
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
14. 已知正方体 ，点P在直线 上，Q为线段BD的中点．则下列说法不正确的是（
）
A. 存在点P，使得
B. 存在点P，使得
C. 直线PQ始终与直线 异面
D. 直线PQ始终与直线 异面
15. 设 各 项 均 为 实 数 等的差 数 列 和 的 前 n 项 和 分 别 为 和 ， 对 于 方 程 ①
，② ，③ ．下列判断正确的是（ ）
A. 若①有实根，②有实根，则③有实根
B. 若①有实根，②无实根，则③有实根
C. 若①无实根，②有实根，则③无实根
D. 若①无实根，②无实根，则③无实根
三、解答题（本大题共有 5题、满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤．
16. 盒子中有5个乒兵球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．
（1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证： ；
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（2）用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ，
， 分别为棱 中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，直线 与平面 所成的角为 ，且 ，求二面角
的大小．
18. 某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型 ，其中 为自统计之日起，经过t年后该
地新能源汽车保有量、 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
t 0 1 2 3 4
.
保有量 9.6 12.9 171 23.2 31.4
假设该地新能源汽车饱和量 万辆．
（1）若 ，假设2018年数据满足公式 ，计算 的值（精确到0.01）并估算2023年
年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
（2）设 ，则 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 和r
的值（精确到0.01）．
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附：线性回归方程 中回归系数计算公式如下： .
19. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，直线 经过点 且与 交于点 、 .
（1）求以 为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为 的椭圆的标准方程；
（2）若 ，求线段 的中点到 轴的距离；
（3）设 为坐标原点， 为 上的动点，直线 、 分别与准线 交于点 、 .求证：
为常数.
20. （1）求简谐振动 的振幅、周期和初相位 ；
（2）若函数 在区间 上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设 ， ，若函数 在区间 上是严格增函数，求实数a的取值范
围．
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