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2023 届崇明区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，其中 1～6题每题 4分，7～12题每题 5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1. 若不等式 ，则x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.
【详解】∵ ，则 ，解得 ，
∴x的取值范围是 .
故答案为： .
2. 设复数z满足 （i为虚数单位），则 ____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】∵ ，则 .
故答案为： .
3. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】由 可得出 或 ，并验证 是否成立，由此可求得实数 的值.
【详解】 集合 ， ， ，则 或 ，解得 或 .
当 时， ，则 ，合乎题意；
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当 时， ，则 ，不合乎题意.
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题.
4. 已知函数 ， 的最小正周期为1，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.
【详解】 ，依题意 ；
故答案为： .
5. 已知正实数a、b满足 ，则 的最小值等于____________．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.
【详解】 ，当 ，即 ， 时等号成立，
则 的最小值为4．
故答案为：4．
6. 在 的展开式中常数项是________________.（用数字作答）
【答案】45
【解析】
【详解】(x4+ )10的通项为
= ( )r= ,
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令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为
= =45.
7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的 15 人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：
,则这15人成绩的第80百分位数是________．
【答案】90.5
【解析】
【分析】计算 ，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由
此可得答案.
【详解】因为 ，
故这15人成绩的第80百分位数为 ，
故答案为：90.5
8. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 26 34 38
由表中数据所得回归直线方程为 ，据此预测当气温为 5℃时，用电量的度数约为
____________℃．
【答案】
【解析】
【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出 ，然后令 代入回归直线进行求解.
【详解】根据表格数据可得， ， ，根据回归直线性质，
经过样本点中心 ，即 ，故 ，得 ，故回归直线为
，当 ， .
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故答案为：
9. 已知抛物线 上的两个不同的点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，则直线 的
方程为______．
【答案】 .
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，根据题意结合韦达定理可得 ，
联立方程，再次里由韦达定理求得 ，从而可求出 ，即可得解.
【详解】解：由题意，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，
因为点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，
所以 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
经检验，符合题意，
所以直线 的方程为 .
故答案为： .
10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车
通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的
习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，
需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：
通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．
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【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；
（答案不唯一，只要写出一个即可）
【解析】
【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关
因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.
【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①
等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.
11. 设平面向量 满足： ， ， ， ，则 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题设条件，设出 的坐标，利用坐标运算进行求解
【详解】依题意，设 ， ， .
.
根据 ，即 ，即 ，整理得
显然 ，否则 ， ，与已知矛盾，故 可得 .
由 ，即 ，则有 ，故 ，解得 .
故 .
故答案为：
12. 若函数 的图像上点 与点 、点 与点 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数
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图像上的其它两点关于原点对称，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意将问题转化为 在 的图像关于原点对称后与 的图像有两个交点，即转
化为方程 在 上有两根，孤立参数为 在 上有两根，求导确定函数
的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数 的取值范围.
【详解】若 有两组点关于原点对称，则 在 的图像关于原点对称后与 的图像有
两个交点．
由 时， ；得其关于原点对称后的解析式为 ．
问题转化为 与 在 上有两个交点，即方程 有两根，
化简得 ，即 与 在 上有两个交点．
对于 ，求导 ，令 ，解得： ，
即：当 时， 单调递增；
令 ，解得： ．
即：当 时， 单调递减，
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∴ 为其极大值点， ， 时， ；画出其大致图像：
欲使 与 在时有两个交点，则 ，即 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每
题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对
得满分，否则一律得零分．】
13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.
【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；
对于 ，定义域为 ，所以 为奇函数，但在定义域
内不单调，不符合题意；
对于C， ，
故函数 不是奇函数，不符合题意；
对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；
故选：D.
14. 设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．则有
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A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据正态分布 函数的性质：正态分布曲线是一条关于 对称，在 处取得最
大值的连续钟形曲线； 越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来， 越小，曲线的最高点越高且
弯曲较陡峭，选A．
15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱
垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵
中， ，且 .下列说法错误的是（ ）
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A. 四棱锥 为“阳马”
B. 四面体 为“鳖臑”
C. 四棱锥 体积的最大值为
D. 过A点作 于点E，过E点作 于点F，则 面AEF
【答案】C
【解析】
【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当 时，四棱锥
体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证 平面 ，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵 中， ，侧棱 平面 ，
A选项，∴ ，又 ，且 ，则 平面 ，
∴ 四棱锥 为“阳马”，故A正确；
B选项，由 ，即 ，又 且 ，
∴ 平面 ，∴ ，则 为直角三角形，
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又由 平面 ，得 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 为直角三角形，
为直角三角形，∴ 四面体 为“鳖膈”，故B正确；
C选项，在底面有 ，即 ，当且仅当 时取等号，
，最大值为 ，故C错误；
D选项，因为 ， ， ，所以 平面 ，故D正确；
故选：C
16. 已知数列 是各项为正数的等比数列，公比为q，在 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，
记公差为 ，在 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 ，在 之间插入n个
数，使这 个数成等差数列，公差为 ，则（ ）
A. 当 时，数列 单调递减 B. 当 时，数列 单调递增
C. 当 时，数列 单调递减 D. 当 时，数列 单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列 的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.
【详解】数列 是各项为正数的等比数列，则公比为 ，
由题意 ，得 ，
时， ，有 ， ，数列 单调递增，A选项错误；
时， ， ，若数列 单调递增，则 ， 即 ，由 ，
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需要 ，故B选项错误；
时， ，解得 ，
时， ，由 ，若数列 单调递减，则 ， 即
，而 不能满足 恒成立，C选项错误；
时， ，解得 或 ，由AB选项的解析可知，数列 单调递
增，D选项正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列 的通项，根据 的定义求得通项，再讨论单调性.
三、解答题（本大题共有 5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤．】
17. 如图，已知点P在圆柱 的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为 ， ，
．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）求点 到平面 的距离．
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【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线 与平面 的夹角，即为 ，然后利用圆柱的表面积
为 求出 ，求出 ，进而求解；
.
（2）利用等体积转化法即可求解
【小问1详解】
由题意知，直线 与平面 的夹角，即为 ，
易知 ， ，又 ，故 ，进而有 ， ，
由圆柱 的表面积为 ，可得 ，
故 ，故直线 与平面 的夹角为 ．
【小问2详解】
设点A到平面 的距离为h，
则 ， ，
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，
因为 平面ABP， ，
所以BP⊥平面 ，即 ，
在 中， ，
故 ，
所以 ，即点A到平面 的距离为 ．
18. 在△ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边， ， ，
.
（1）求角B大小；
（2）设 ，当 时，求
的最小值及相应的x.
【答案】（1）
（2）当 时， 有最小值 .
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为 ，
最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的 值.
【小问1详解】
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由已知条件得 ，
由正弦定理得 ，
即 ， ,
则 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ,∴ ;
【小问2详解】
,
∵ ,∴ , ，
则 的最小值 ，其中 ，即当 时， 有最小值 .
19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职
工乙微信记步数情况：
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（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为 ，求
的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布
直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第
142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）3月3日
【解析】
【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.
（2）根据题意得到 ， ， ， ，
再写出分布列数学期望即可.
（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.
【小问1详解】
令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，
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甲乙微信记步数都不低于10000，
故 .
【小问2详解】
由（1）知： ，
， ， ，
的分布列为：
【小问3详解】
根据频率分步直方图知：微信记步数落在 ， ， ， ，
（单位：千步）区间内的人数依次为 人， 人，
人， 人， 人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，
.
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，
所以3月3日符合要求.
20. 已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与 轴的交点（点 在点 的上
方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
（1）若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
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（2）若 ，求 的面积；
（3）设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；
（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出 ，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（3）联立直线和椭圆方程，先表示出 坐标，将共线问题转化成证明 ，结合韦达定理进行化简
计算.
【小问1详解】
依题意， ，解得 （负数舍去）.
【小问2详解】
的直线经过 ，则直线方程为： ；
，则椭圆的方程为： .
设 联立直线和椭圆方程： ，消去 得到 ，
解得 ，则 ，故 ，于是
.
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依题意知， 为椭圆的下顶点，即 ，由点到直线的距离， 到 的距离为：
.
故
【小问3详解】
设 联立直线和椭圆方程： ，得到 ，由
，得到直线 方程为： ，令 ，解得 ，即
，又 ， ，为说明 三点共线，只用证 ，即证：
，下用作差法说明它们相等：
，而
， ，
，于是上式变为：
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.
由韦达定理， ，于是 ，故
，命题得证.
21. 已知定义域为D的函数 ，其导函数为 ，满足对任意的 都有 ．
（1）若 ， ，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程 至多只有一个实根；
（3）若 ， 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 ， ，都有 ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即 在 上恒成立，再利用函
数的单调性即可求出结果；
（2）构造函数 ，由题易知 在定义域上严格单调，从而得到证明；
（3）利用函数是定义域为 的周期函数，知函数 在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件
，得到 ，再对 与1的大小关系进行分类讨论，
即可得出结论.
【小问1详解】
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因为 ， ，所以 ，
由题意知， 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ，即 在 上恒成立，
令 ， 易知，在 上，函数 和 均单调递增，
所以 .
【小问2详解】
令 ，故 ，
所以函数 是严格减函数，故 至多只有一个实根；
【小问3详解】
设 的最大值为 ，最小值为 ，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设 ， ，
因为函数 是周期为2，取一个周期 ，且 ，
则有 ，
若 ，则 成立，
若 ，设 ，即 ，故 ，且 ，则 ，
所以 成立，
综上， 对任意实数 ， 都成立，所以原式得证．
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【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解；
对于（3），设 的最大值为 ，最小值为 ，在一个周期 上， ，当
时，结论显然成立，当 时，利用基本不等式的性质可证明
.
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