文档内容
2023 学年第一学期期末学业质量调研
九年级数学
（满分150分，完卷时间100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 如果两个相似三角形的周长之比为 ，那么它们对应边之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为 ，
∴它们对应边之比为 ，
故选B．
2. 在直角坐标平面内有一点 ，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为 ，那么 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求锐角的正切值；画出图形，过 A作 轴于B，则由点A的坐标可得 ，由正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，过A作 轴于B，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
3. 将抛物线 向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移；原抛物线的顶点为原点，向左
平移3个单位后的顶点坐标为 ，由此即可得平移后新抛物线的表达式．
【详解】解：抛物线 的顶点为原点，原点向左平移3个单位后的坐标为 ，
由于平移不改变图象的大小与形状，则平移后的新抛物线表达式为 ；
故选：C．
4. 已知非零向量 ，下列条件中不一定能判定 的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的
性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、只能判定 的模的数量关系，不能判定 ，符合题意；
B、 ，能判定 ，不符合题意；
C、 ，根据平行的传递性得到 ，不符合题意；
D、 ，得到 ，平行的传递性得到 ，不符合题意；
故选A．
5. 在 中，点D、E分别在边 上，以下能推出 的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质
逐一判断即可．
【详解】解：画出图形如下：
A、由 不能得出 相似，故不能判定 ；
B、由 不能得出 相似，故不能判定 ；C、∵ ，则有 ，∴ ，则 ，
∴ ，从而 ；
D、由 不能得出 相似，故不能判定 ；
故选：C．
6. 在二次函数 中，如果 ，那么它的图像一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数 ， 和二次函数的
性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一
定不经过第二象限．
【详解】解：∵二次函数 ， ，
∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，
∴该函数图象存在三种情况，如图所示，
∴它 的图象一定不经过第二象限，
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知 ，那么 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键．
根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
故答案为： ．
8. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了向量的线性运算；根据向量的运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： .
9. 已知点P是线段 的黄金分割点，且 ，则 的值=___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义列可得答案．
【详解】∵点 是线段 的一个黄金分割点，且 ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部
分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；其比值是 ；理解黄金分割点的定义是解题的关键．
10. 在 中， ，则 的长为__________．
【答案】10
【解析】
【分析】利用锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：在 中， ，
∵
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用三角函数值求边长．解题的关键是掌握正弦等于对边比斜边．
11. 如果抛物线 经过原点，那么该抛物线的开口方向________．
【答案】向下
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质；根据抛物线过原点，把原点坐标代入解析式中可求得 m的值，
根据二次项系数的符号可确定抛物线的开口方向．
【详解】解：∵抛物线 经过原点，∴ ，
∴ ，
∴抛物线为 ；
∵ ，
∴抛物线开口向下；
故答案为：向下．
12. 已知一条抛物线的对称轴是直线 ，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以
是________．（只要写出一个符合条件的即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；由题意知，抛物线的开口向上，根据对称轴与开口方向写出
一个二次函数的表达式即可．
【详解】解：∵在对称轴右侧的部分是上升的
∴抛物线的开口向上；
∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴抛物线可为： ；
故答案为： （答案不唯一）．
13. 如图，已知 ，它们与直线 依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果 ，
，那么线段 的长是________．
【答案】15
【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由 得 ，根据平行线分线段成比例定理即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：15．
14. 如图，在平行四边形 中，点E在边 上，联结 ，交对角线 于点F，如果 ，
，那么 ________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质对边平行可得
，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
为
故答案 ：5．
15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于
灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为________海里．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意，利用余弦函数即可求解．
【详解】解：∵轮船位于灯塔P的南偏东 方向，
∴ ，
在 中， （海里）；
即此时轮船与灯塔P 的距离为 海里．故答案为： ．
16. 如图，在 中， ，P是 内一点，且 ，如果
，那么 ＝________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意可以得到 ，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出最
终结果；
本题考查的是相似三角形的判定与性质，运用相似三角形的知识解决问题是解题关键．
【详解】解：
设
所以故答案为： ．
17. 如图，将矩形 沿 折叠，点A、D分别与 对应，B、C两点对应点落在AD 上的
点G处，且 ，如果 ，那么 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质；
由折叠的性质及已知可和 ，结合面积得 ；设 ，则可得
的关系，再由面积可求得b，从而求得a的值．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ；
由折叠知， ， ；
， ，
∴ ；
∵ ，
∴ 三点共线， 三点共线，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
即 ；
设 ，则 ；
由 得： ，
即 ；
∵ ，
∴ （负值舍去），
∴ ；
故答案为： ．
18. 定义：P为 内一点，连接 ，在 和 中，如果存在一个三角
形与 相似，那么就称P为 的自相似点，根据定义求解问题：已知在 中，
是 边上的中线，如果 的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么
的余切值为________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，重心的性质，锐角三角函数等知识；过点E作
于E，由题意得 ，结合重心性质得 ；设 ，则 ，由勾股定
理得 ；由E为中点及 ，可得 ，进而得 ，由中线性质及面积关系可求得 ，由勾
股定理求得 ，则由余切的定义即可求得结果；由相似及重心性质得到 的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，中线 交于点P，过点E作 于E，
∵ ， ，
∴ 不可能与 相似，
∴ 与 相似，
即 ，且 ，
∴ ，即 ；
∵P是重心，
∴ ；
∵ 是斜边上中线，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，由勾股定理得 ；
∵E为 中点， ，
∴ ，
由重心性质得： ；
∵ 为中线，
∴ ，
即 ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
在 中， ；
故答案为： ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；利用特殊角三
角函数化简即可．
【详解】解：原式
．
20. 如图，已知在 中， ，点D在边 上， ．
（1）求 的长；
（2）连接 ，设 ，试用 表示 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算：（1）证明 得到 ，则 ，由此可得 ；
（ 2 ） 先 求 出 ， 再 由 得 到 ， 则
．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
21. 已知二次函数（1）用配方法把二次函数 化为 的形式，并指出这个函数图像的对称轴
和顶点坐标；
（2）如果该函数图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形
的面积．
【答案】（1） ，对称轴为直线 ，顶点坐标为
（2）15
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；
（1）配方法配方即可，配方后即可求得对称轴与顶点坐标；
（2）设对称轴交 x 轴于点 E；令 ，可求得点 A 的坐标；令 ，可求得点 C 的坐标；由
即可求解．
【小问1详解】
解： 配方得： ，
则抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：设对称轴交x轴于点E；
令 ，即 ，
解得： ，点A的坐标为 ，即 ，
令 ，得 ，
∴ ，即 ；
∵抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
22. 如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．
已知小山的斜坡 的坡度 ，在坡面D处有一棵树 （假设树 垂直水平线 ），在坡底
B处测得树梢A的仰角为 ，沿坡面 方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角 为 ．
（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；
（2）求树 的高度（结果精确到 米）．（参考数据： ）
【答案】（1）
（2）树 的高度约为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等：
（1）如图所示，延长 交 于G，过点C作 于H，先 得到 ，进而
推出 ，再求出 ，则可推出 ，得到 ；
（2）先解 得到 ，再解 得到 ，则
．
【小问1详解】
解：如图所示，延长 交 于G，过点C作 于H，
∵ ，
∴ ，
∵小山的斜坡 的坡度 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 中，
，
在 中， ，
∴ ，
∴树 的高度约为 ．
23. 如图，已知在梯形 中， ，E是边 上一点， 与对角线 相交于点F，且
．（1）求证： ；
（2）联结 ，与 相交于点O，若 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键．
（1）由 及 可得 ，则有 ；再由平行条
件得 ，则可证明 ；
（2）由 及 ，可得 ，则可得 ，进而
得 ；再证明 即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】证明：∵
∴ ；
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∵ ，
∴ ．
24. 已知 在直角坐标平面 中，抛物线 经过点 三点．备用图
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接 ，将抛物线向下平移 个单位后，
点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段 交于点F．
①如果 ，求 的值；
②如果 与 相似，求m的值．
【答案】（1）
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出抛物线对称轴为直线 ，则 ，进而得到 ；求出直线 的解析式为
，同理可得直线 的解析式为 ，进而求出 ；利用勾股定理求出 ，
， ，进而利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，则
；② 时，则此时点F与点A重合，则 与 重合，可得；当 时，则 ，如图所示，设直线 交x轴于G，则
，推出 ，得到 ，如图所示，取点 ，则
， ， ，证明 是等腰直角三角形，得到 ，则点F
在直线 上，同理可得直线 的解析式为 ，在 中，当 时， ，
则 ，即可得到 ；综上所述， 或 ．
【小问1详解】
解：把 代入 中，
得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：①∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，
∴ ，
∵将抛物线向下平移 个单位后，点D落在点E处，且 ，∴ ；
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
同理可得直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
∴ ；
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；②当 时，则此时点F与点A重合，则 与 重合，
∴ ；
当 时，则 ，
如图所示，设直线 交x轴于G，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，取点 ，则 ， ，
，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点F在直线 上，
同理可得直线 的解析式为 ，在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定
理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定
理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键．
25. 已知 中， ，点D是 边上的一个动点（不与点A、B重
合），点F是边 上的一点，且满足 ，过点C作 交 的延长线于E．
（1）如图1，当 时，求 的长；（2）如图2，联结 ，设 ，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）过点C作射线 的垂线，垂足为H，射线 与射线 交于点Q，当 是等腰三角形时，
求 的长．
【答案】（1）
（2）函数关系式为 ，定义域为
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行关系可得 ，由 ，则可得 ，由面积关系可求得 ，
进而由勾股定理求得结果；
（2）由已知易得 ，由相似三角形的性质及 ，可得 ，
由相似三角形的性质即可得函数关系式；再由点 D是 边上的一个动点，且不与点A、B重合，即可确
定自变量的取值范围；
（3）由（2） 得 ，则可得 ，进而得 ；由面积关
系求得 的长；由勾股定理可求得 ；由平行可得 ，由相似三角形的性质即可求得
的值．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；∴ ；
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∵点D是 边上的一个动点，且不与点A、B重合，
∴自变量x的取值范围为 ；
【小问3详解】解：由（2）知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
由勾股定理得 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ,
∴ 为等腰三角形时，只能是 ；
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，设 ，由勾股定理得 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，面积关系的应用，等腰
三角形的性质，综合运用这些知识是关键．
