精品解析：上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 上海实验中学 2023 学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一､填空题（共 40分，每小题 4分，答案正确得 4分，否则不得分） AÎ ,AÎ   l 1. 若 ，且  ，则A____l（用集合符号表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个面的交点在两个面的交线上来解答问题. 【详解】两个面的交点在两个面的交线上， 若AÎ ,AÎ ，且  l ，则Al 故答案为：. 2. 已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则圆锥的表面积为___________. 【答案】10π 【解析】 【分析】先算出圆锥底面周长，进而算出侧面积和底面积，最后得到答案. 1 【详解】由题意，底面周长为224，则圆锥表面积为： 4322 10. 2 故答案为：10π. 3. 设,是两个不同的平面，m是直线且m.“m//”是“//”的__________条件.（填“充分不必 要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据线面平行与面面平行的判定的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线m且m//，则//或与相交，所以充分性不成立； 反之：若m且//，根据两平面平行的性质，可得m//，即必要性成立， 所以m//是//的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 4. 设x,yR，向量a  x,1,1，b  1,y,1，c  2,4,2，且a  c  ，b  //c  ，则x y的值为 ______________. 【答案】1 第 1 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解. r r    【详解】Qac，向量ax,1,1，b1,y,1，c2,4,2， r r   ac2x420，解得x1，又b//c， 1 y 1    ，解得y=2， 2 4 2 则xy1. 故答案为：1. 5. 如图的四面体OABC中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，M,N 分别是棱OA,BC的中 点，则直线OA与平面CMN 所成角的大小为______.  【答案】 2 【解析】 【分析】由题意得，四面体OABC为正四面体，进而可以证明OA平面CMN ，求出线面角. 【详解】 如图，连接CM,BM ， 由题意得，四面体OABC为正四面体， 所以CM OA，BM OA， 因为CM BM 与点M ，CM 平面CMN ，BM平面CMN ，  所以OA平面CMN ， 第 2 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) π 所以直线OA与平面CMN 所成角的大小为 . 2 π 故答案为： . 2 6. 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为________. 27 27 【答案】 或 2  【解析】 【分析】根据母线的长度分类讨论． 【详解】设圆柱底面半径为r，高为h， 3  3  2 27 若h6，则2r 3，r  ，V r2h   6 ， 2 2 2 3  3 2 27 若h3，则2r 6，则r  ，V r2h   3 ．    27 27 故答案为： 或 ． 2  7. 如图，已知四边形ABCD是矩形，AB1,BC 2,PD平面ABCD且PD3，PB的中点E，则 异面直线AE与PC所成角的余弦值为__________. 4 35 【答案】 35 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.    【详解】根据题意，以D为坐标原点，以DA,DC,DP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 1 3  1 3  则P(0,0,3),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),E(1, , )，AE (1, , ),PC (0,1,3)， 2 2 2 2 第 3 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 9      AEPC 2 2 4 35 所以cos AE,PC       . AE PC 14 35 10 4 4 35 所以异面直线AE与PC所成角的余弦值为 . 35 4 35 故答案为： . 35 8. 在棱长为6的正方体ABCDABC D 中，E是棱AB的中点，过E,D,C 作正方体的截面，则该截面 1 1 1 1 1 的面积是___________． 81 【答案】 2 【解析】 【分析】先确定截面为等腰梯形DEFC ，画出平面图形DEFC ，计算即得解. 1 1 【详解】如图，在正方体ABCDABC D 中，E是棱AB的中点，过E,D,C 作正方体的截面为等腰梯 1 1 1 1 1 形DEFC ．画出平面图形DEFC ，过点E作EH  DC ,垂足为H . 1 1 1 9 2 因为C D6 2 ，EF 3 2 ，DE C F 3 5，所以EH  ， 1 1 2 1 9 2 81 所以截面DEFC 的面积为 (6 23 2)  . 1 2 2 2 81 故答案为： 2 第 4 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9. 已知两平行平面、间的距离为2 3，点A、B，点C、D，且AB 4,CD3，若异面 直线AB与CD所成角为60°，则四面体ABCD的体积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】在内过C作CE //AB，使得CE AB，利用已知结合等体积法可得答案. 【详解】在内过C作CE //AB，使得CE AB， 则四边形CEBA是平行四边形，CE 4,ECD 60 因为两平行平面、间的距离为2 3，所以B到平面CDE的距离h2 3， 1 1 所以V V V  2 3 43sin60 6. DABC DBCE BCDE 3 2 故答案为：6 10. 如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且 EF  3.若 记EF 中点P的轨迹为L，则 L 等于____________.（注： L 表示L的测度，在本题，L为曲线、平面 图形、空间几何体时， L 分别对应长度、面积、体积.） 第 5 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 【解析】 【详解】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为 2 ，建立如图所示的   空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 E0,y ,y ,F 2,y , 2 y ,Px,y,z ， 1 1 2 2 EF   2 2 y  y 2   y  2 y 2  3， 即 y  y 2   y  y  2 2 1 ， 又 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x 2 2 x 2 y  y  2  2 {y  1 2 ， 即 {y  y 2y ， 代 入 上 式 得 2z 2  2y 2 1 ， 即 2 1 2 y  2 y y  2 y z  1 2 z  1 2 2 2 2 2  2   2  1 y  z   ，即P的轨迹为半径为 1 的圆，周长为 L 2r  .  2   2  4 2     【点睛】本题考查了立体几何中的解析几何问题，属于难题，立体几何中的轨迹问题，既考查了空间想象 能力，同时又将空间几何的轨迹问题转化为平面几何的轨迹，一般会有两种方法，一种题设更趋向于空间 几何，根据几何关系与圆锥曲线的定义建立联系，得到轨迹，另一种需建立坐标系，得到动点的轨迹方 第 6 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 程，根据方程形式判断轨迹. 二､选择题（共 16分，每小题 4分） 11. 直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】借助长方体模型可判断直线a与直线c的位置关系. 【详解】如下图所示： 在长方体ABCDABC D 中，将直线a、b、c分别视为棱AB、AD、AA 所在直线，则直线a与直 1 1 1 1 1 线c相交； 将直线a、b、c分别视为棱AB、AA 、AB 所在直线，则直线a与直线c平行； 1 1 1 将直线a、b、c分别视为棱AB、AA 、AD 所在直线，则直线a与直线c异面. 1 1 1 综上所述，直线a与直线c相交、平行或异面. 故选：D. 12. 已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面，，，给出下列四个命题，错误的命题是 （ ） A. 若a//，a//，  b，则a//b r r B. 若，a ，b，则a b C. 若，，  a，则a  D. 若//，a//，则a// 【答案】D 第 7 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】A：根据线面平行的性质定理进行判断即可； B：利用平面法向量和面面垂直的性质进行判断即可； C：利用线面垂直的判定定理进行判断即可； D：根据线面关系进行判断即可. 【详解】A：过a作一平面，与，都相交，设d,c，如下图所示： 则有a//c,a//d a//c//d，又d ，所以c//， b，所以c//b，因此有a//b，故本命  题是真命题； r r     B：因为a ，b，所以向量a，b是平面，的法向量，而，所以a  b，即a b， 故本命题是真命题； C：设  b,  c，在平面a内任意一点O，作b' b,c' c，如下图所示：由面面垂直的性质 定理可知：b' ,c' ，因为  a，所以有b' a,c' a， 又因为b' c' O,b',c' ，所以a ，故本命题是真命题；  D：因为//，a//，所以a//或a，故本命题是假命题. 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了面面垂直的性质理，考查了线面垂直的判定 定理，考查了面面平行的性质. 第 8 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 13. 下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得出 AB//平面MNP的图形的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④ 的正确性. 【详解】对于①，连接AC如图所示，由于MN //AC,NP//BC，根据面面平行的性质定理可知平面 MNP//平面ACB，所以AB//平面MNP. 对于②，连接BC交MP于D，由于N 是AC的中点，D不是BC的中点，所以在平面ABC内AB与 DN 相交，所以直线AB与平面MNP相交. 对于③，连接CD，则AB//CD，而CD与PN 相交，即CD与平面PMN相交，所以AB与平面MNP 相交. 第 9 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 对于④，连接CD，则AB//CD//NP，由线面平行的判定定理可知AB//平面MNP. 综上所述，能得出AB//平面MNP的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 14. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A DE(A ∉平面 1 1 ABCD)，若M，O分别为线段A C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ） 1 A. 与平面A DE垂直的直线必与直线MB垂直 1 B. 异面直线BM与A E所成角是定值 1 C. 一定存在某个位置，使DE⊥MO D. 三棱锥A -ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值 1 【答案】C 【解析】 【分析】取DC 中点N ，连接MN ，NB，证明MB//平面ADE，然后判断A．取AD的中点为F ， 1 1 连接MF，EF ，说明AEF 为异面直线BM 与AE所成的角．求解即可判断B；连接AO．推出 1 1 1 OA 2 DE  AC ．判断DE  AE ，判断C．推出  为定值，判断D正确． 1 1 AD 2 第 10 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：取DC 中点N ，连接MN ，NB． M 为AC的中点，MN //AD，  1 1 又 E为AB的中点，DN //EB且DN  EB，  四边形BNDE为平行四边形，NB//DE．  A 1 D  DE D，MN  NBN ， 平面MNB//平面ADE， 1 MB//平面ADE，与平面ADE垂直的直线必与直线BM 垂直，A正确； 1 1 取AD的中点为F ，连接MF，EF ，则MF //EB且MF  EB， 1 四边形BEFM 是平行四边形，BM //EF， AEF为异面直线BM 与AE所成的角． 1 1 1 设AD1，则AB2AD2，AD AE 1， AF  ， 1 1 1 2 1 tanAEF  ，故异面直线BM 与AE所成的角为定值，B正确； 1 2 1 连接AO． 1 △A 1 DE为等腰直角三角形且O为斜边DE中点， DE AO．若DE MO，则DE平面AMO，DE  AC． 1 1 1 又  DE  EC  2，DC 2，DE2 EC2  DC2，DE  EC， 又  EC  A 1 C C，DE 平面A 1 EC，DE  A 1 E，与已知矛盾，C错误； QODOE OAOA，O为三棱锥A ADE的外接球球心． 1 1 OA 2 又   为定值，D正确； AD 2 故选：C． 第 11 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化 归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；   ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,  ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面  2 直线所成的角． 三､解答题（共 44分，要求写出必要的解答或证明步骤） 15. 如图，三棱柱ABC- ABC 中，M，N分别是AB,BC 上的点，且BM 2AM,C N 2BN ．设 1 1 1 1 1 1 1 1 1       AB=a，AC b，AA c． 1     （1）试用a，b ，c表示向量MN； （2）若BAC 90,BAA CAA 60,AB AC  AA 1，求MN的长． 1 1 1  1 1  1   【答案】（1）MN  a b  c 3 3 3 5 （2） 3 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解. （2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解. 【小问1详解】     解：MN MA  AC C N 1 1 1 1 1  2  BA  AC CB 3 1 3 1 1  2     AB  AA  AC  (AB  AC) 3 3 1 3 第 12 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 1  AB  AA  AC， 3 3 1 3  1 1  1   ∴MN  a b  c ； 3 3 3 【小问2详解】    解： AB AC  AA 1,|a||b ||c|1，  1   BAC 90,ab0, BAA CAA 60，   1 1  1    ac bc  ， 2 |M  N  |2 1 a  b  c 2  1 a 2 b  2 c 2 2a  b  2a  c  2b  c   5 ， 9 9 9  5 |MN | ， 3 5 即MN的长为 . 3 16. 如图，四棱锥PABCD中，PACD，PADABC 90，AB//CD， 1 DC CB AB2，PA2. 2 （1）求证：PA平面ABCD； （2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值. 3 【答案】（1）证明见解析；（2） . 3 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）因为AB//CD,则PCD即为异面直线AB与PD所成角,在PDC中求得各边的长度,由余弦定理 即可求得PDC,根据异面直线夹角的范围即可判断夹角的余弦值. 第 13 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】（1）证明：∵PACD,PA AD,CD  AD D, ∴PA平面ABCD, （2）∵AB//CD ∴PDC为异面直线AB与PD所成的角或其补角, 1 ∵PA平面ABCD,DC CB AB2,PA2. 2 则AD 22 22 2 2  2 ∴在RtPAD中,PD PA2  AD2  22  2 2 2 3, AC  AB2 BC2  42 22 2 5,  2 ∴PC  PA2  AC2  22  2 5 2 6 ∴在PDC中,由余弦定理可得 CD2 PD2 PC2 41224 3 ∴cosPDC    2CDPD 8 3 3   因为异面直线夹角的范围为 0，   2 3 ∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为 . 3 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,余弦定理在解三角形中的应用,注意异面 直线夹角的范围,属于基础题. 17. 如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD是菱形，BCD60，四边形BDEF 是正方形且DE 平面ABCD. 第 14 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：CF//平面ADE ； （2）若AE  2，求多面体ABCDEF 的体积V . 3 【答案】（1）证明详见解析；（2） . 3 【解析】 【分析】（1）由面面平行的判定定理先证明平面BCF //平面AED，进而可得CF //平面AED； （2）将多面体ABCDEF 拆成两个四棱锥，由四棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】（1）证明： ABCD是菱形，BC//AD.  又BC 平面ADE ，AD平面ADE ，BC//平面ADE .又BDEF 是正方形，BF //DE. BF 平面ADE ，DE 平面ADE ，BF //平面ADE . BC 平面BCF ，BF 平面BCF   BCBF  B 平面BCF //平面AED，CF //平面AED. （2）解：连接AC，记ACBDO. ABCD是菱形，AC  BD，且AO BO.  由DE 平面ABCD，AC 平面ABCD，DE  AC . DE 平面BDEF ，BD平面BDEF ，DEBD D，  AC 平面BDEF 于O， 即AO为四棱锥ABDEF 的高. 由ABCD是菱形，BCD60，则ABD为等边三角形，由AE  2，则 3 1 3 3 AD DE 1，AO ，S 1，V  S AO  ，V 2V  2 BDEF ABDEF 3 BDEF 6 ABDEF 3 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及几何体的体积，证明线面垂直，有时需要先证面面垂直，熟记 判定定理以及体积公式即可，属于常考题型. 18. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M 在线段PB 上，PD  平面MAC，PA PD 6，AB 4． 第 15 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：M 为PB的中点； （2）求二面角BPDA的大小； （3）求直线MC 与平面BDP所成角的正弦值．  2 6 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ． 3 9 【解析】 【分析】（1）设AC，BD的交点为E，由线面平行性质定理得PD  ME ，再根据三角形中位线性质得 M 为PB的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向 量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空 间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与 向量夹角互余关系求线面角大小 【详解】（1）设AC，BD的交点为E，连接ME． 因为PD  平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PD  ME ． 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M 为PB的中点． （2）取AD的中点O，连接OP，OE．因为PA PD，所以OP AD． 又平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD． 因为OE 平面ABCD，所以OPOE．因为ABCD是正方形，所以OE AD．   如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P 0,0, 2 ，D2,0,0 ，B2,4,0 ，     所以BD4,4,0，PD 2,0, 2 ．   nBD0  4x4y 0 设平面BDP的法向量为nx,y,z，则  ，即 ． nPD0 2x 2z 0 第 16 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )    令x1，则y 1，z  2 ，于是n 1,1, 2 ．      np 1 平面PAD的法向量为 p0,1,0，所以 cos n,p     ． n p 2  由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为 ． 3  2    2  （3）由题意知M 1,2, ，C2,4,0 ，MC 3,2, ．     2 2       nMC   2 6 设直线MC 与平面BDP所成角为，则sin cos n,MC     ． n MC 9 2 6 所以直线MC 与平面BDP所成角的正弦值为 ． 9 四､附加题（共 20分，要求写出必要的解答或证明步骤） 19. 如图，直线AQ平面，直线AQ平行四边形 ，四棱锥 的顶点P在平面 上，AB 7 ，AD  3，AD DB，ACBDO,OP//AQ,AQ2，M,N 分别是AQ与CD 的中点. （1）求证：MN //平面QBC； （2）求二面角M CBQ的余弦值. 第 17 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 10 【答案】（1）见解析；（2） 10 【解析】 【分析】（1）连接OM,ON ，由题意可证得平面OMN//平面QBC，利用面面平行的性质定理可得MN// 平面QBC； （2）过D作DZ//OP，以DA,DB,DZ 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面   MCB的法向量为n 0,1,2，平面QCB的法向量为n 0,1,1，据此计算可得二面角 1 2 3 10 M CBQ的平面角的余弦cos . 10 【详解】（1）连接OM,ON ，底面ABCD为平行四边形，  N 是CD的中点，O是BD的中点， ON// BC，  M 是AQ的中点，O是AC的中点， OM// QC， ON OM O，BCQC C，平面OMN//平面QBC， MN 平面OMN， MN//平面QBC； （2）由AQ平面，AQ平行四边形ABCD， 平面//底面ABCD，OP//AQ， OP AQ2， 四边形PQAO为矩形，且PO底面ABCD，AD DB，过D作DZ//OP， 以DA,DB,DZ 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）， 由AB 7 ，AD 3，AD DB，知DB 2，  D（0，0，0）、A（ 3，0，0） 、M（ 3，0，1）、N（ 3，0，2）、B（0，2，0）、C（ 3，2，0），      MB（ 3，2，1）、CB DA（ 3，0，0）、QB（ 3，2，2）， 第 18 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  设平面MCB的法向量为n x ,y ,z  ， 1 1 1 1    n MB 3x +2y +z 0 1 1 1 1 则 ,    n CB 3x 0 1 1  取y 1，z 2，x 0，即n 0,1,2， 1 1 1 1  设平面QCB的法向量为n x ,y ,z  2 2 2 2    n QB 3x +2y +2z 0 2 2 2 2 则 ,    n CB 3x 0 2 2  取y 1，z 1，x 0，即n 0,1,1， 2 2 2 2 n  n  0,1,20,1,1 二面角M CBQ的平面角的余弦 cos  1  2    3 10 . n  n 5 2 10 1 2 【点睛】本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推 理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推 理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向 量，利用向量的夹角公式求解. 20. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 H ABC，J CDE，K EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将 ACH ， CEJ ， EAK分别向    上翻转180，使H ，J ，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶 空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点 的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度 π 制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 3 第 19 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) π 2π3 π. 3 （1）求蜂房曲顶空间的弯曲度； （2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH  x （i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S(x)； （ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值. 【答案】（1）2π 3 3 23 （2）（i）Sx  14x2 3x12,x0,2；（ii） 2 27 【解析】 【分析】（1）根据弯曲度、曲率的定义求得正确答案. （2）（i）结合多面体的表面积的求法求得Sx ；（ii）利用导数求得蜂房表面积最小时BH 的值.令 ASC ，利用余弦定理求得cos，结合三角恒等变换的知识求得顶点S的曲率的余弦值. 【小问1详解】 蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和， 根据定义其度量值等于72π减去三个菱形的内角和32π， 再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和6π， 即蜂房曲顶空间的弯曲度为72π32π6π2π. 【小问2详解】 （i）如图所示，连接AC，SH，则AC  3，设点S在平面ACE的射影为O， 2  AC 则OB 1，则SH 2 AB2 BH2   14x2 ，    2  3 菱形SAHC的面积为S   14x2 ， 2 第 20 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 22x 侧面积6 134x123x， 2 3 3 所以蜂房的表面积为Sx  14x2 3x12,x0,2. 2 6 3x 6 3 3  1  S'(x) 3 3 2 3 4  （ii） 14x2 1 1   x2   ， 4 4 x2 x2 2 令S'(x)0得到x ， 4  2   2  所以Sx 在0, ,S'x0,Sx 递增；在 ,2,S'x0,Sx 递增.     4 4     2 所以S(x)在x 处取得极小值，也即是最小值. 4 3 2 此时SASC  1x2  ，在 SAC中，令ASC ，由余弦定理得  4 SA2 SC2 AC2 1 cos  ， 2SASC 3 又顶点S的曲率为2π3， cos(2π3)cos3cos(2)cos2cossin2sin   2cos21  cos2sin2cos   2cos21  cos2  1cos2  cos 1 1 23 4cos33cos4( )3 3( ) . 3 3 27 第 21 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 22 页 共 22 页