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2023 届崇明区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，其中 1～6题每题 4分，7～12题每题 5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1. 若不等式 ，则x的取值范围是____________．
2. 设复数z满足 （i为虚数单位），则 ____________．
3. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为____.
4. 已知函数 ， 的最小正周期为1，则 ______.
的
5. 已知正实数a、b满足 ，则 最小值等于____________．
6. 在 的展开式中常数项是________________.（用数字作答）
的
7. 以下数据为参加数学竞赛决赛 15 人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：
,则这15人成绩的第80百分位数是________．
8. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 26 34 38
由表中数据所得回归直线方程为 ，据此预测当气温为 5℃时，用电量的度数约为
____________℃．
9. 已知抛物线 上的两个不同的点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，则直线 的
方程为______．
10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车
通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的
习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，
需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：
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通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．
11. 设平面向量 满足： ， ， ， ，则 的取值范围是____________．
12. 若函数 的图像上点 与点 、点 与点 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数
图像上的其它两点关于原点对称，则实数 的取值范围是____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每
题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对
得满分，否则一律得零分．】
的
13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数 为（ ）
A. B.
.
C D.
14. 设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．则有
A.
B.
C.
D.
15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱
垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵
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中， ，且 .下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥 为“阳马”
B. 四面体 为“鳖臑”
C. 四棱锥 体积的最大值为
D. 过A点作 于点E，过E点作 于点F，则 面AEF
16. 已知数列 是各项为正数 等的比数列，公比为q，在 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，
记公差为 ，在 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 ，在 之间插入n个
数，使这 个数成等差数列，公差为 ，则（ ）
A. 当 时，数列 单调递减 B. 当 时，数列 单调递增
C. 当 时，数列 单调递减 D. 当 时，数列 单调递增
三、解答题（本大题共有 5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤．】
17. 如图，已知点P在圆柱 的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为 ， ，
．
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（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）求点 到平面 的距离．
18. 在△ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边， ， ，
.
（1）求角B大小；
（2）设 ，当 时，求
的最小值及相应的x.
19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职
工乙微信记步数情况：
（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为 ，求
的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布
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直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第
142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
20. 已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与 轴的交点（点 在点 的上
方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
（1）若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
（2）若 ，求 的面积；
（3）设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
21. 已知定义域为D的函数 ，其导函数为 ，满足对任意的 都有 ．
（1）若 ， ，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程 至多只有一个实根；
（3）若 ， 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 ， ，都有 ．
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