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虹ロ区 2022 学年第二学期期中学生学习能力诊断测试
高三数学试卷
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上
作答一律不得分.
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ， ，则 ________.
2. 函数 的定义域为________.
3. 复数 ， 在复平面上对应的点分别为 ， ，则 ________.
4. 抛物线 上的点 到其焦点的距离为________.
5. 已知 是第二象限的角，且 ，则 ________.
6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.
7. 在 中，已知 ， ， ，则 ________.
8. 对于定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则该函数的值域为________.
9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，
白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为________.
的
10. 已知 是球 球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大
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值为6，则球 的表面积为________.
11. 过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点， 为
的右焦点，若 ，且 ，则双曲线 的方程为________.
12. 已知平面向量 ， ， ， 满足 ， ， ， ，且对任意的实数 ，
均有 ，则 的最小值为________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D. 2
14. 某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 ，则该同学在
上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
15. 对于函数 ，给出下列结论：
（1）函数 的图像关于点 对称；
（2）函数 在区间 上的值域为 ；
（3）将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像；
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（4）曲线 在 处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（ ）
A. （1）（2） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （1）（3）
16. 在数列 中，若有 （ ， 均 为正整数，且 ），就有 ，则称数列 为
“递等数列”.已知数列 满足 ，且 ，将“递等数列” 前 项和记为 ，若
， ， ，则 （ ）
A. 4720 B. 4719 C. 4718 D. 4716
三、解答题（本大题共 5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要
的步聚.
17. 记 为数列 的前 项和，已知 ， （ 为正整数）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若 ，求正整数 的值.
18. 如图，在圆锥 中， 是底面的直径， 是底面圆周上的一点，且 ， ，
， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
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19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在 的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将
其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝䈹是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在 的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进
行测试，得到如下 列联表，那么他们是否有 的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明
理由；
电解电容 为次品 电解电容为正品
铝 箔 为 次
174 76
品
铝 箔 为 正
108 142
品
（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优
等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的
是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：
，其中 .
0.05
0.100 0.025 0.010 0.001
0
3.84
2.706 5.024 6.635 10.828
1
20. 已知动点 到点 的距离和它到直线 的距离之比等于 ，动点 的轨迹记为曲线
，过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点.
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
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（3）已知 ，直线 ， 分别与直线 相交于 ， 两点，求证：以 为直径的圆
经过点 .
21. 设 ， ， .
（1）求函数 ， 的单调区间和极值；
（2）若关于 不等式 在区间 上恒成立，求实数 的值；
（3）若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： 成等比数列.
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