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2023 年黄埔区高三数学一模
2023年1月
（练习时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．函数 的定义域为 ．
2．已知集合 ， ∪ ，则 ∪ ．
3． 的二项展开式中 项的系数是 ．
4．已知向量 ， ，若 ∥ ，则 的值为 ．
5．已知复数z满足 为虚数单位)，则复数z的模等于 ．
6．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2 9.7 10.8 9.1 8.9 8.6 9.8 9.6 9.9
11.2 10.6 11.7, 则这组数据的第80百分数为 ．
7．在平面直角坐标系 中，若角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边与以点O
为圆心的单位圆交于点 ，则 的值为 ．
8．已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为 ．
9．已知 的三边长分别为4、5、7，记 的三个内角的正切值所组成的集合为 ，则集
合 中的最大元素为 ．
10．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机
抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为
．
11．已知四边形 是平行四边形，若 ， ∥ ， ，且 ，则
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在 上的数量投影为 ．
12．已知曲线 ： 与曲线 ： ，长度为1的线段 的两端点 分别在曲
线 上沿顺时针方向运动，若点 从点 开始运动，点 到达点 时停止运动，则
线段 所扫过的区域的面积为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5
分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
满分，否则一律得零分．
13．在平面直角坐标系 中，“ ”是“方程 表示的曲线是双曲线”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14. 如图，四边形 是边长为 1 的正方形， 平面 ， 平面 ，且
，点 为 的中点．则下列结论中不正确的是（ ）．
A．
B．平面 ∥平面
C．直线 与AM是异面直线
D．直线 与平面 无公共点
（第14题图）
15．已知 ，且函数 恰有两个极大值点在 内，则 的取值范围
是（ ）．
A． B． C． D．
16．设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式 、 与 的全
体实数x所组成的集合等于 ．则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②p＝0. 下列判
断中正确的是（ ）．
A．①和②都正确 B．①和②都错误
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C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前2n项和．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．
如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形，且 平面 ，又棱 ，
为棱 的中点， ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值．
（第18题图）
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
某展览会有四个展馆，分别位于矩形 的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所
示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中 百米， 百米，且
．
（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量 ，并求出步道的总长
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(单位：百米)关于 的函数关系式；
（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）．
（第19题图）
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆 的离心率为 ，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于
. 动直线 、 都过点 ，斜率分别为 、 ， 与椭圆 交于点 、 ，
与椭圆 交于点 、 ，点 、 分别在第一、四象限且 轴．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 ，求证： ；
（3）求直线 的斜率的最小值，并求直线 的斜率取最小值时的直线 的方程．
（第20题图）
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21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知集合 和定义域为 的函数 ，若对任意 ，都有 ，则称
是关于 的同变函数．
（1）当A= 与 时，分别判断函数 是否为关于 的同变函数并说明理由；
（2）若 是关于 的同变函数，且当 时， ，试求 在
Z 上的表达式，并比较 与 的大小；
（3）若 为正整数，且 是关于 的同变函数，求证： 既是关于 Z
的同变函数，也是关于 的同变函数．
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