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2023 届闵行区高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考
生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设全集 ，集合 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】由补集的含义得 ，
故答案为： .
2. 若实数 、 满足 、 ，则 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的关系，将 转化为指数式，再根据指数运算公式求值.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
故答案为： .
3. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为_____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用复数除法运算可求得 ，由虚部定义可得结果.
【详解】由 得： ， 的虚部为 .
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故答案为： .
4. 已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________．
【答案】18π
【解析】
【分析】由圆柱的侧面积公式与圆面积公式求得底面半径和高，再由体积公式计算．
【详解】设圆柱底面半径为 ，高为 ，
由题意 ，解得 ，
所以体积为 ．
故答案为： ．
5. 已知常数 ， 的二项展开式中 项的系数是 ，则 的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式确定特定项系数，进而确定 的值.
【详解】由已知 ，则其展开式的通项为 ，
又其二项展开式中 项的系数是 ，
则令 ，即 ， ，
又 ，
所以 ，
故答案为： .
6. 已知事件A与事件B互斥，如果 ， ，那么 _____________．
【答案】0.2##
【解析】
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【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【详解】由题意 ．
故答案为：0.2.
7. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流
感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．
【答案】12
【解析】
【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.
【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有 ＝12种方法，
剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，
根据分步计数原理得不同的分配方法共有 ×1＝12种.
故答案为：12.
8. _____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.
详解】设函数 ，则 ；
【
.
故答案为： .
9. 若关于 的方程 在实数范围内有解，则实数 的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
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【分析】依题意 在数范围内有解，令 ， ，则问题转
化为 与 有交点，求出 的值域，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为关于 的方程 在实数范围内有解，
即 在实数范围内有解，令 ， ，
则问题转化为 与 有交点，
因为 与 在定义域上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
则 .
故答案为：
10. 已知在等比数列 中， 、 分别是函数 的两个驻点，则
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得 ， 的关系，后利用等比数列的性质可得答案.
【详解】由题意可得： ，
则 、 是函数 的零点，则 ，
且 为等比数列，设公比为 ，
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可得 ，解得 ，
注意到 ，可得 .
故答案为： .
11. 已知抛物线 ： ，圆 ： ，点M的坐标为 ，P、Q分别为 、 上的
动点，且满足 ，则点P的横坐标的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆 的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出 ，结
合已知建立不等式，求解作答.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ，设点 ，有 ，
依题意， ，当且仅当 三点共线时取等号，而 ，
即有 ，于是 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
所以点P 的横坐标的取值范围是 .
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故答案为：
12. 平面上有一组互不相等的单位向量 ， ，…， ，若存在单位向量 满足
，则称 是向量组 ， ，…， 的平衡向量．已知
，向量 是向量组 ， ， 的平衡向量，当 取得最大值时，
值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，结合题意可得 ，为使 最大，则
两向量的方向相同，即 两向量的方向相同，也即 ，设直线 与直线 交
于点 ，再分如图所示两种情况讨论即可得解.
【详解】设 ，
由 ，得 ，即 ，
由题意可得 ，
即 ，即 ，
为使 最大，则 两向量的方向相同，即 两向量的方向相同，
也即 ，所以 ，
设直线 与直线 交于点 ，
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，
则 ，
因为 ，所以 ，
如图 所示，
，
所以 ，
即 ，
如图 所示，
，
所以 ，
即 ，
综上所述， .
故答案为： .
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.
【点睛】关键点睛：设 ，结合题意可得 ，根据 最大，
说明 两向量的方向相同，即 ，是解决本题的关键所在.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义判断.
【详解】A. 定义域为R，且 ，则 为偶函数，故错误；
B. 则 为奇函数，故错误；
C. 定义域为R，且 ，则 为偶函数，故错误；
D. 定义域为R，且 ，则 既不是奇函数，也不是偶函数，
故正确；
故选：D
14. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情
况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100分）作为样本进行统计，样本容量为n．
按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已
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知成绩落在 内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）
A. 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯
定不是A等
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图区间 的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图
估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图可得： ， ， ， ， 的频率依次为
.
对于A：∵成绩落在 内的人数为16，则 ，
解得 ，故A错误；
对B：由频率可得 ，解得 ，故B错误；
对C：由选项B可得：成绩落在 的频率为 ，
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估计全体学生该学科成绩的平均分 分，故C正
确；
对D：设该学科成绩为A等的最低分数为 ，
∵ ， ， 的频率依次为 ，即
，
可知 ，则 ，解得 ，
虽然 ，但 是估计值，有可能出现没有学生考到 分的情况（学生成绩均为正整数），
这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；
故选：C.
15. 已知 ，若存在正整数n，使函数 在区间 内有2023个零点，则
实数a所有可能的值为（ ）
A. 1 B. －1 C. 0 D. 1或－1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意令 分析可得关于t的方程 有两个不相等的实根，结合韦达定理可
得 ，分类讨论 的分布，结合正弦函数分析判断.
【详解】令 ，
令 ，则 ，即 ，
∵ ，
则关于t的方程 有两个不相等的实根，设为 ，令 ，
可得 ，则有：
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1.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有两个不相等的实数根，
无实数根，
故对任意正整数n， 在 内有偶数个零点，不合题意；
2.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 无实数根， 在 内有
两个不相等的实数根，
故对任意正整数n， 在 内有偶数个零点，不合题意；
.
3若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有两个不相等的实数根，
在 内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n， 在 内有偶数个零点，不合题意；
4.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有两个不相等的实数根， 在
内有且仅有一个实数根，
①对任意正奇数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，不合题意；
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②对任意正偶数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，不合题意；
5.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有且仅有一个实数根， 在
内有两个不相等的实数根，
①对任意正奇数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，符合题意；
②对任意正偶数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，不合题意；
综上所述：当 ， 时，符合题意.
此时 ，解得 .
故选：B.
16. 若数列 、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 ，则称
数列 为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列选项中为假命题的是（ ）
A. 存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
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B. 存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
C. 存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
D. 存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：取 ，分析判断；对于B、D：取 ，分析判断；对于C：根据题意结合等
差数列的性质分析判断.
【详解】对于A：例如 ，则 为等差数列，且 、 均为严格增数列，
可得 ，则 ，
取 ，则 ，即 成立，
所以 是 的“M数列”，故A为真命题；
对B：例如 ，则 为等比数列，且 、 均为严格增数列，
可得 ，则 ，
取 ，则 ，即 成立，
所以 是 的“M数列”，故B为真命题；
对于C：若存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”，
设等差数列 的公差为 ，
∵ 、 均为严格增数列，则 ，故 ，
取 满足 ，可知必存在 ，使得 成立，
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当 时，对任意正整数 ，则有 ；
对任意正整数 ，则有 ；
故不存在正整数 ，使得 ，故C为假命题；
对D：例如 ，则 为等比数列，且 、 均为严格增数列，
可得 ，则 ，
取 ，则 ，即 成立，
所以 是 的“M数列”，故D为真命题；
故选：C.
【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明 ，故取 即可.
三、解答题（本大题满分 78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤．
17. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.
（2）根据余弦定理可得 ，由 可得 ，进而可得面积.
【小问1详解】
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在 中，由正弦定理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
解得 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，则 ，
又由余弦定理 ， ，
解得 ，
所以 .
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD， ， ，点E
在线段AB上，且 ．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P－CE－A的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
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【解析】
【分析】（1）结合三角函数的定义证明 ，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【小问1详解】
设BD与CE相交于点H，
因为PD⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
由 ， ，得 ，
因此 ， ，
可得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， ， 平面 ,
所以CE⊥平面PBD；
【小问2详解】
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
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则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面PCE的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，于是 ，
平面ACE的一个法向量为 ，
则 ，
由图形可知二面角P－CE－A为锐角，
所以二面角P－CE－A的余弦值是 ．
19. 在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件 表示试验者的检测结
果为阳性，事件 表示试验者患有此疾病，据临床统计显示， ， ．已知该
地人群中患有此种疾病的概率为 ．（下列两小题计算结果中的概率值精确到 ）
（1）对该地某人进行抗原检测，求事件 与 同时发生的概率；
的
（2）对该地 个患有此疾病 患者进行抗原检测，用随机变量 表示检测结果为阳性的人数，求 的分
布和期望．
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【答案】（1） ；
（2）分布列见解析，数学期望为 .
【解析】
【分析】（1）根据 直接求解即可；
（2）根据 ，由二项分布概率公式可求得 每个取值对应的概率，由此可得分布；根据二
项分布期望公式直接求解即可得到期望值.
【小问1详解】
由题意知： ， ，
，
即事件 与 同时发生的概率为 .
【小问2详解】
， ，
所有可能的取值为 ，
；
；
；
；
的分布为 ，数学期望 .
20. 已知O为坐标原点，曲线 ： 和曲线 ： 有公共点，直线 ：
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与曲线 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
（1）若曲线 和 有且仅有两个公共点，求曲线 的离心率和渐近线方程；
（2）若直线OM经过曲线 上的点 ，且 为正整数，求a的值；
（3）若直线 ： 与曲线 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：
．
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据曲线 和 有且仅有两个公共点，可得曲线 和 的两公共点为左右顶点，从而可
求出 ，再根据双曲线的离心率公式即可得解；
（2）设 ，联立方程，利用韦达定理求得 ，从而可得 点的坐标，即可得
出 的方程，再将 代入可得 的关系，再根据直线 与曲线 的左支相交，从而可得 ，
结合曲线 和 有公共点即可得出答案；
（3）由（2）可得 ，同理可得 ，再根据 ，即可得出结论.
【小问1详解】
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因为曲线 和 有且仅有两个公共点，
所以曲线 和 的两公共点为左右顶点，
则 ，曲线 的半焦距 ，
所以曲线 的离心率 ，
渐近线方程为 ；
【小问2详解】
联立 ，得 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
故直线OM的方程为 ，依题意直线OM经过点 ，
代入得 ，则 ，所以 ，
因为直线 与曲线 的左支相交于两点，故 ，
得 ，则 ，所以 ，
又曲线 和 有公共点，所以 ，所以 ，
又 为正整数，所以 ，
所以 ；
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【小问3详解】
由（2）可得 ，
同理，联立直线 ： 与曲线 ： ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
21. 如果曲线 存在相互垂直的两条切线，称函数 是“正交函数”．已知
，设曲线 在点 处的切线为 ．
（1）当 时，求实数 的值；
（2）当 ， 时，是否存在直线 满足 ，且 与曲线 相切？请说明理由；
（3）当 时，如果函数 是“正交函数”，求满足要求的实数 的集合 ；若对任意 ，
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曲线 都不存在与 垂直的切线 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，理由见解析
（3） ，
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数值直接可得参数值；
（2）假设存在，根据导数的几何意义可得 ，再利用垂直可得 ，再根据 是否有解确定假设
是否成立；
（3）根据二阶导判断导数的单调性，分别讨论导数的正负情况，进而可得 ，再根据导数的正负情况分
别解不等式即可.
【小问1详解】
由题设，函数定义域为 ，且 ，
由 ，则 ；
【小问2详解】
当 时， ，则 ，
即 的斜率 ，假设 存在，则 的斜率 ，
则 有解，即 在 上有解，
该方程化简为 ，解得 或 ，符合要求，
因此该函数存在另外一条与 垂直的切线 ；
【小问3详解】
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，
令 ，则 ，
当 时 ， 单调递减；
当 时 ， 单调递增；
设曲线 的另一条切线的斜率为 ，
①当 时， ，显然不存在 ，即不存在两条相互垂直的切
线；
②当 时， ，且 ，
趋近于 或 趋向于正无穷大时， 都趋向于正无穷大，
所以 在 、 上各有一个零点 、 ，
故当 或 时，都有
当 时 ，故必存在 ，
即曲线 存在相互垂直的两条切线，所以
因为 ，
由②知，曲线 存在相互垂直的两条切线，
不妨设 ， ，
满足 ，即 ，
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又 ， ，
所以 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，解得 ，
又 ，即 ，解得 ，
因为 ， ，
所以 ．
综上可知，对任意满足 的所有函数不存在与 垂直的切线 的 的取值范围是
．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解
决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
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