文档内容
九年级数学练习
一、选择题：
1. 下列图形中一定是相似形的是（ ）
A. 两个等边三角形 B. 两个菱形
C. 两个矩形 D. 两个直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
2. 如图，已知 ，它们依次交直线l、l 于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：
1 2
1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成．
【详解】∵
第1页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴
∴BC=3CE
∵BC+CE=10
∴3CE+CE=10
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
3. 如图，己知在 中， ，垂足为点D，那么下列线段的比值不
一定等于 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定义解答即可．
【详解】在 中， ，故B正确，不符合题意；
在 中， ，故D正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
第2页/共31页
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，故C正确，不符合题意；
无法说明 ，故A不一定正确，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在
中，若 ，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，
∠A的正切等于∠A的对边比邻边．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果 为单位向量，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 都是单位向量，那么 D. 如果 ，那么
【答案】B
【解析】
【分析】向量有方向，大小，加减运算，根据相关的概念和运算方法即可求解．
【详解】解： 选项，如果 为单位向量，且 与 的方向相同，那么 ，故不符合题意；
选项，如果 ，大小相同，方向相反，那么 ，故符合题意；
选项，如果 都是单位向量，那么 ，方向不确定，故不符合题意；
选项，如果 ，那么 ，模相等，方向不确定，故不符题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查向量的基本知识，掌握向量的大小，方向，模的基础知识是解题的关键．
5. 抛物线 向下平移 个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质，求出新抛物线的解析式，再求顶点坐标即可求解．
第3页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：抛物线 向下平移 个单位得， ，
∴根据顶点坐标公式得， ，把 代入 得， ，
∴顶点坐标为： ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查函数的平移的性质，顶点坐标的计算方法，掌握平移的性质，顶点坐标的计算公式
是解题的关键．
6. 如图，某零件的外径为 ，用一个交叉卡钳（两条尺长 和 相等）可测量零件的内孔直径
．如果 ，且量得 ，则零件的厚度x为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出 和 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出 ，再根据外径的长
度解答．
详解】解：∵ ，
【
∴ ，
∵ ，
第4页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵外经为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出 的长．
二、填空题：
.
7 如果 ，那么 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入 ，约分化简即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查代入求值，掌握整体代入的方法，化简求值的方法是解题的关键．
8. 化简： ___________．
【答案】
【解析】
第5页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据有理数的混合运算，结合向量的加减运算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量的加减运算，理解和掌握向量的加减运算方法，有理数的混合运算是解题的关
键．
9. 已知 ，那么 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入 计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的函数的代入求值，掌握函数的代入求值的计算方法是解题的关键．
10. 抛物线 在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．
【答案】下降
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴在对称轴左侧部分 随着 的增大而减小．
故答案为：下降．
【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键．
11. 已知两个相似三角形的相似比为 ，那么这两个三角形的面积之比为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
【详解】解：根据面积比等于相似比的平方，得：这两个三角形的面积之比为 ，
第6页/共31页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12. 设点 是线段 的黄金分割点 ，那么线段 的长是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】黄金分割点的值是 ，根据黄金分割点的定义即可求解．
【详解】解：∵点 是线段 的黄金分割点 ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查黄金分割点的定义，掌握黄金分割点的定义，比值是解题的关键．
13. 在直角坐标平面内有一点 ，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为 ，那么 的值
为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可．
【详解】解：∵在直角坐标平面内有一点 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
第7页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，
掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键．
14. 已知 、 分别是 的边 、 上的点（不与端点重合），要使得 与 相似，
那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】判断 与 相似，根据相似的判断条件即可求解．
【详解】解：判断两个三角形相似的条件有：有两个角对应相等，则两个三角形相似；两边对应成比例，
夹角相等，则两个三角形相似；过三角形两边的点的线段平行与第三边，则两个三角形相似，
∵ ，
∴当 时， 与 相似；当 时， 与 相似；当
时， 与 相似．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，理解和掌握三角形相似的判定的条件是解题的关键．
15. 已知一斜坡的坡角为 ，则它坡度 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】由于斜坡的坡角为 ，而坡度为坡角的正切，由此即可确定个斜坡的坡度i.
【详解】解：∵斜坡的坡角为 ，
∴这个斜坡的坡度
故答案为：
【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用-坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用
第8页/共31页
学科网（北京）股份有限公司三角函数即可解决问题．
16. 如图，一艘船从 处向北偏西 的方向行驶 海里到 处，再从 处向正东方向行驶 千米到 处，
此时这艘船与出发点 处相距___________海里．
【答案】
【解析】
【分析】从 处向北偏西 的方向行驶 海里到 处，可知 ， ，从 处向正东方
向行驶 千米，可知 ，且 ，如图所示（见详解），根据直角三角形的勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
第9页/共31页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形的勾股定理的综合，掌握方位角的表示，角度的关系，勾股定
理是解题的关键．
17. 如图，在 中， ， ， ，点D在边 上，点E在边 上，将
沿着折痕 翻折后，点A恰好落在线段 的延长线上的点P处，如果 ，那么折痕
的长为___________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 过 点 D 作 于 点 F ， 首 先 根 据 题 意 可 证 得 ， ，
，根据勾股定理即可求得 ， ，再由折叠的性
质可知： ， ，即可求得 ， ，再根据勾股定理即可求得
， ，由 ，可证得 ， ，据此即
可求得 ， ， ，再根据勾股定理即可求得 ， ，据
此根据勾股定理即可求得结果．
第10页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图：过点D作 于点F，
，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，
由折叠的性质可知： ， ，
，
解得 ，
第11页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
在 中， ，
，
，
，
，
，
解得 ， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，
在 中， ，
第12页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确
找到各线段之间的关系是解决本题的关键．
18. 阅读：对于线段 与点O（点O与 不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线 与
线段 交于点Q，且 ，那么称点P为点O关于线段 的“准射点”．
问题：如图，矩形 中， ，点E在边 上，且 ，联结 ．设点F是点A
关于线段 的“准射点”，且点F在矩形 的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d
的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设 交 于点 Q，由点 F 是点 A 关于线段 的“准射点”可得 ，过点 F 作
交 于点G，交 于点H，由平行线分线段成比例定理得 ， ，
连接 ，求出 的长，作 于M，求出 的长即可．
【详解】如图，设 交 于点Q，
第13页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∵点F是点A关于线段 的“准射点”，
∴ ，
∴Q是 的中点，即 ，
过点F作 交 于点G，交 于点H，
∴ ，
∴ ， ，
∴点F在线段 上，
连接 ，则 ．
作 于M，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴
第14页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴d的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成
比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键．
三、解答题：
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后
再计算加减法．
【详解】
，
．
【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三
角函数值是解题的关键．
20. 如图，已知 中，点D、E分别在边 和 上， ，且 经过 的重心，设
．
（1） ___________（用向量 表示）；
第15页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（2）求作： ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由 ， 经过 的重心，可得 ，即可求得 ；
（2）过点B作 ，在 上截取 ，连接 ， 即为所求．
【小问1详解】
解：∵ ， 经过 的重心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【小问2详解】
如图：过点B作 ，在 上截取 ，连接 ， 即为所求．
第16页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的运算法则．
21. 已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，其顶点坐标为 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）将抛物线 沿x轴正方向平移 个单位后得到的新抛物线的顶点 恰好落在反比
例函数 的图像上，求 的余切值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ， ，用待定系数法即可求解；
（2）由 沿 轴正方向平移 个单位，得 ，顶点 恰好落在反比例函数的图像
上，可求出 ，延长 交 轴的正半轴于点 ，在 中，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
由 ，得 ，
第17页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
设直线 的表达式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的表达式为 ．
【小问2详解】
解：由 沿 轴正方向平移 个单位，得 ，
又∵顶点 恰好落在反比例函数的图像 上，
∴ ．
∴ ，即 ，
如图所示，延长 交 轴的正半轴于点 ，
得 ，
在 中， ，
第18页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，函数图
像交点坐标的计算及余切值的计算方法是解题的关键．
22. 2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发
射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度 米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现
役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．己知飞船发射塔垂直
于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角 ，顶部B处的仰角为 ，求此时观测点A到发射
塔 的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据： ）
【答案】此时观测点A到发射塔 的水平距离为32.1米
【解析】
【分析】设此时观测点A到发射塔 的水平距离为 米，在 中根据 得到
，之后在 中根据 得到 ，根据 进而得到答
案．
【详解】解：设此时观测点A到发射塔 的水平距离为 米．
由题意，得 ．
第19页/共31页
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∵
∴
在 中， ，
∵
∴
∵
∴ ，即 ；
（米）．
答：此时观测点A到发射塔 的水平距离为32.1米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
23. 已知：如图，在 中， ，点 、 分别是边 的中点， ， 与
相交于点 ， 的延长线与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）点 、 分别是边 的中点， ，可知 ，可证 ，
第20页/共31页
学科网（北京）股份有限公司由此即可求解；
（2）根据题意可证 ，则 ， ，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点 、 分别是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ；
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵点 是边 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
第21页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形相似的性质，掌握三角形全等的判定和性质，三
角形相似的判定和性质是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线线 经过 ，点C是该抛物线上的一个
动点，连接 ，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当 时，求点C到x轴的距离；
（3）如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接 ，当 时，在 中是否存在大小保持
不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，设点 ，证明
，求出 ， ，然后分两种情况进行讨论，求出结果即可；
第22页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（3）过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为点 P，过点 A 作 的垂线，垂足为点 Q，设点 C 的坐标为
， 求 出 ， 得 出 ， 在 中 ， 根 据 ，
，得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴该抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
解：过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，如图所示：
设点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴，
第23页/共31页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ， ，
①当 时，点 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 代入得： ，
则 ，
此时点 在y轴的负半轴，不符合题意，舍去；
②当 时，点 ，
第24页/共31页
学科网（北京）股份有限公司设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 代入得： ，
则 ，符合题意，
则点C到x轴的距离为 ．
【小问3详解】
解：存在， ．
过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作 的垂线，垂足为点Q，如图所示：
由题意得 ，点C的坐标为 ，
第25页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∵ 轴，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
中， ， ，
在
∴
∵ 轴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，平行线的
性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类
讨论．
25. 如图1，点 为 内一点，联结 ，以 为邻边作平行四边形
与边 交于点 ， ．
（1）求证： ；
第26页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（2）延长 ，交边 于点 ，如果 ，且 的面积与平行四边形 面积相等，求
的值；
（3）如图2，联结 ，若 平分 ，求线段 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）平行四边形 中， ， ，可求出 ， ，由
此即可求证；
（2）延长 交 于点 ，过点 作 ，交射线 于点 ， ，由
的面积与平行四边形的面积相等，可知 ，由 ，得 ，由
，得 ，设 ，则 ，进一步得 ，由此即可求解；
（3）延长 ，交 于点 ，交边 于点 ，由 ，可得 ，
设 ， 得 ， 根 据 ， 得
，得 ， ，由
此即可求解．
【小问1详解】
解：在平行四边形 中， ， ，
第27页/共31页
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图所示，延长 交 于点 ，过点 作 ，交射线 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
如图所示，延长 交 于 ，
由 ，得 ，即 ，
∵ 的面积与平行四边形的面积相等，
第28页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，得 ，
∵ ，得 ，
设 ，则 ，则 ，
， ，得 ，
∴ ．
【小问3详解】
解：如图所示，延长 ，交 于点 ，交边 于点 ，
由 ，
∴ ，
设 ，得 ，
由 ，得 ，
第29页/共31页
学科网（北京）股份有限公司又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由 ，得 ，
由 ，
由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，得 ．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握三角形相似的判断和性质,根据题意列出方程是关
键．
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
