精品解析：上海市闵行区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_上学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2021 学年九年级第一学期期末考试 数学学科 （考试时间 100 分钟， 满分 150 分） 考生注意 1．本试卷含三个大题， 共 25 题． 答题时， 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上 作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外， 其余各题如无特别说明， 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤． 一、选择题： （本大题共 6 题， 每题 4 分，满分 24 分） 1. 在 Rt  ABC 中， 各边的长度都扩大 4 倍． 那么锐角 B 的正切值（ ） A. 扩大 4 倍 B. 扩大 2 倍 C. 保持不变 D. 缩小 4 倍 【答案】C 【解析】 AC 4AC AC 【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB ，求出  ，再得出选项即可． BC 4BC BC AC 【详解】解：如图，在Rt ABC中，C 90，则tanB ，  BC 4AC AC  ，  4BC BC 在Rt  ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值保持不变， 故选：C． AC 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是能根据锐角三角函数的定义得出tanB ． BC 3 2. 在 Rt  ABC 中， C 90,BC 4,AC 3， 那么 A 的三角比值为 的是（ ） 5 A. sinA B. cosA C. tanA D. cotA 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可． 【详解】解：在Rt ABC中，C 90，BC 4，AC 3，  第 1 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AB AC2 BC2  32 42 5， AC 3 cosA  ， AB 5 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余 切的区别． 3. 下列二次函数与抛物线 y x2 2x3的对称轴相同的函数是（ ） A. y x2 4x3 B. y  2x2 3x 1 C. y 3x2 6x7 D. y  x2 x5 2 【答案】D 【解析】 b 【分析】通过抛物线对称轴为直线x 求解． 2a 2 【详解】解：抛物线y x2 2x3的对称轴为直线x 1， 2 4 选项A中抛物线对称轴为直线x 2，不符合题意． 2 3 3 选项B中抛物线对称轴为直线x  ，不符合题意． 4 4 6 选项C中抛物线对称轴为直线x 1，不符合题意． 6 1 选项D中抛物线对称轴为直线x 1，符合题意． 1 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴与系数的关系． 4. 如图， 已知在 ABC 中， 点 D 在边 AB 上， 那么下列条件中 不能判定 ABC ACD 的是    （ ） AC AB A.  B. AC2  ADAB CD BC 第 2 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C. BACD D. ADC ACB 【答案】A 【解析】 【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断A，B，由两个角对应相等的两个三角形 相似可判断C，D，从而可得答案. AC AB 【详解】解：  而ÐACD,ÐB不一定相等，不能判断 ABC ACD，故A符合题意；   CD BC  AC2  ADAB， AC AB \ = , 而AA, AD AC   ABC  ACD,故B不符合题意；  BACD，AA,   ABC  ACD,故C不符合题意；  ADC ACB，AA,   ABC  ACD,故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且 夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键. 5. 如果a  b  c ，ab  3c，且c  0  ，下列结论正确的是 A. a =b  B. a2b  0     C. a与b 方向相同 D. a与b 方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a  b  c 代入ab  3c， 计算得：a-2b  （方向相反）. 故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键. 第 3 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) `2 6. 二次函数 y ax bxca 0 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） b0 ： （2） abc0； （3）abc0， （4） abc0； （5） b2 4ac 0 ； 其中正确的结论有（ ） A 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个． . 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对 称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． b 【详解】解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴ 0，∴b＞0，故命题正 2a 确； （2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确； （3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误； （4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确； （5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系， 以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空題：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 如果 x: y 5:2， 那么 x y: y 的值为_________ 7 【答案】 ##7：2 2 【解析】 【分析】设x=5k，y=2k，代入计算即可． 【详解】∵x: y 5:2， 第 4 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴设x=5k，y=2k， ∴ x y: y=（5k+2k）：2k=7：2， 7 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质，并灵活解题是解题的关键． 8. 已知线段 AB 的长为 2 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长线段 AP 的长 是 _________厘米． 【答案】( 51) 【解析】 51 【分析】根据黄金分割：AP：AB= 解答即可． 2 51 【详解】解：根据题意，AP：AB= ，AB=2厘米， 2 51 ∴AP= ·AB=( 51)厘米， 2 故答案为：( 51)． 51 【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割和黄金数 =较长线段：全线段是解答的关键． 2 2 9. 在ABC中，C 90,BC 4,sinA ,则AB _________． 3 【答案】6 【解析】 2 【分析】根据sinA ，即可求得AB的长. 3 2 【详解】∵BC 4,sinA ， 3 4 BC ∴AB= = 2 =6. sinA 3 故答案为6. 【点睛】本题考点：锐角的正弦函数. 10. 两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形 对应边上的高为_________厘米． 第 5 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】3 【解析】 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x x 3 ∴  ，解得x=3 5 5 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键．      11. e 为单位向量， a 与 e 的方向相同， 且长度为 2 ， 那么 a  _________e 【答案】2 【解析】 【分析】两向量方向相同可做线性运算，单位向量长度为1，故可得二者的数量关系．   【详解】解：∵e长度为1，a长度为2，二者方向相同   ∴做线性运算可得a 2e 故答案为：2． 【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量． 12. 如果拋物线 y  x2 m1 的顶点是坐标轴的原点，那么 m 的值是__________ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据顶点为原点得出m+1=0，再解出m即可． 【详解】∵该函数顶点是坐标轴的原点 ∴m+1=0；解得m=-1 答案为：m=-1 【点睛】本题考查一元二次方程中参数的取值，掌握各种典型函数图像的知识是关键． 1 13. 已知二次函数 f x x2 bxc图像的对称轴为直线x4，则 f 1 ________ f 3 ．（填“＞”或 2 “＜”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案． 第 6 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 【详解】解：∵二次函数 f x x2 bxc的图象开口向上，对称轴为直线x4， 2 ∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大， ∴ f 1 > f 3 ， 故答案为：＞． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性． 14. 如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 P 处， 光线从点 A 出发，经过平 面镜反射后，光线刚好照到古城墙 CD 的顶端 C 处． 如果 AB  BD， CD  BD,AB 1.5 米， BP1.8 米， PD12 米， 那么该古城墙的高度是__________米 【答案】10 【解析】 【分析】根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出古城墙高度． 【详解】∵入射角=反射角 ∴入射角的余角∠APB=反射角的余角∠CPD 又AB⊥BD；CD⊥BD ∴△ABP∽△CDP AB CD 1.5 5 ∴    BP PD 1.8 6 5 ∴CD=PD× =10 6 故答案为：10 【点睛】本题考查相似三角形在求建筑物的高度中的应用，找出比例是关键． 15. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为______． 第 7 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 【答案】 3 【解析】 【分析】根据坡度的概念计算，得到答案． 20 2 【详解】解：斜面AB的坡度为：  ， 30 3 2 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的 比是解题的关键． 16. 如图， 已知在 Rt△ABC 中， ACB 90,B 30,AC 1,D 是 AB 边上一点， 将 △ACD 沿 CD 翻折， 点 A 恰好落在边 BC 上的点 E 处，那么AD__________ 【答案】 31##1 3 【解析】 【分析】翻折的性质可知AD DE，AC CE，ACED；在Rt ABC中有A60，  BC  3；CEDBEDB，得 DEB是等腰三角形，AD DE  BE  BCCE  BCAC  即可求出长度． 【详解】解：翻折可知： ACD≌ ECD，AD DE，AC CE   ∵B30，AC 1，ACB90 ∴在Rt ABC中，AB2AC 2  ∴ACED60，BC  22 12  3 ∵CEDBEDB ∴EDBB30 ∴ DEB是等腰三角形  第 8 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴DE  EB ∴AD EB BCCE  31 故答案为： 31． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，勾股定理等知识点．解题 的关键在于找出边相等的关系． 12 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 a,3(a 4)，射线OA与反比例函数y  的图像 x 交于点P，过点A作x轴的垂线交双曲线于点B，过点A作y轴的垂线交双曲线于点C，联结 S BP、CP，那么 ABP 的值是__________ S ACP 【答案】1 【解析】  12 y 3   x 6 a 【分析】求出AO的直线解析式y  x，联立 ，求出P(2 a， )，过P点作PM  AB交于 a y 3 x a  a 12 12 点B，PN  AC交于点N ，则C(a, )，B(4,3)，分别求出AC 3 ，PN a2 a， a a 6 a 1 6 a 1 12 S ABa4，PM 3 ，即可求S  (a4)(3 )，S  (a2 a)(3 )，再求 ABP a ABP 2 a ACP 2 a S ACP 即可． 【详解】解：设AO的解析式为y kx， 3ak， 3 k  ， a 3 y x， a 第 9 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  12 y   x 联立 ， 3 y x  a x2 a  解得 6 a ， y  a 6 a P(2 a ， )， a 过P点作PM  AB交于点B，PN  AC交于点N ， 12 C(a, )，B(4,3)， a 12 6 a AC 3 ，PN a2 a，ABa4，PM 3 ， a a 1 6 a S  (a4)(3 )， ABP 2 a 1 12 S  (a2 a)(3 )， ACP 2 a 24 a 3a12 6 a S a  ABP  1， S 24 a ACP 3a6 a 12 a 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质． 18. 如图， 在 Rt  ABC 中， C 90,AC 8,BC 6， 点 P 是 AC 边上一点，将 △ACB 沿着 过点 P 的一条直线翻折，使得点 A 落在边 AB 上的点 Q 处，联结 PQ， 如果 CQB APQ， 那么 AQ 的长为______ 第 10 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 39 4 【答案】 ##7 5 5 【解析】 【分析】由题意知，AB AC2 BC2 10，A和Q关于过点P的直线对称，如图所示，APPQ， CQB APQ，有CPQAQC，QCPACQ，故有 QPC∽  AQC， 1 QP QC PC AQ AQ 8 AQ   ； 2 AC 8 得  = ，求出QC，PC，AP的值，进而 AQ AC QC tan∠A   AP 5 QP AP AB 10 得出AQ的值． 【详解】解：由题意知，A和Q关于过点P的直线对称，如图所示 在Rt ABC中， C 90，AC 8 ，BC 6  ∴AB AC2 BC2 10 ∵APPQ，CQB APQ ∴APQA，CPQAQC QCPACQ  在  QPC和  AQC中CPQCQA  PQC A  ∴ QPC∽  AQC QP QC PC ∴   AQ AC QC 1 AQ 又∵ 2 AC 8 cosA   AP AB 10 AQ 8 AQ ∴  = AP 5 QP QP 5 QC PC ∴    AQ 8 8 QC 第 11 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 25 25 39 ∴QC 5，PC  ，AP ACPC 8  8 8 8 39 ∴AQ 5 39 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查了轴对称，相似三角形的判定与性质，正切值等知识点．解题的关键与难点在于相似比 找出线段之间的数量关系． 三、解筨题： （本大题共 7 题，满分 78 分） 1  0 1 4 19. 计算：tan45  31     ． 2 31 【答案】2 32 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，化简零指数幂，负整数指数幂，利用平方差公式进行二次根式分母有理 化计算，然后再算加减． 4( 31) 【详解】解：原式112 ， ( 31)( 31) 1122 32， 2 32． 1 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解a0 1(a0)，ap  (a 0)，解题的关键是熟记特殊 ap 角三角函数值，掌握利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算． 20. 如图， AD,BE 是 ABC 的中线， 交于点 G， 且  A  B  a  ,BC  b  ．  （1）直接写出向量  A  G  关于 a 、b  的分解式，  A  G  ______ 第 12 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )    （2）在图中画出向量 BG 在向量 a 和 b 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并 写明结论） 2  1 【答案】（1） a b； 3 3 （2）见解析 【解析】 1 2    【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD= BC，AG= AD，由AD ABBD求解即可； 2 3   （2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F，作向量BF 、BH 即可． 【小问1详解】 解：∵AD,BE 是 ABC 的中线， 交于点 G，  1 2 ∴BD= BC，AG= AD， 2 3 ∵  A  B  a  ,BC  b  ，     1 ∴AD ABBD=a b， 2  2 2  1 2 1 ∴AG  AD (a b) a b， 3 3 2 3 3 2  1 故答案为： a b； 3 3 【小问2详解】      解：如图所示，BF 、BH 是向量 BG 在向量 a 和 b 方向上的分向量． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟 练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键． 21. 如图， 已知在 Rt  ABC 中， ACB 90,tanCAB 2， 点A的坐标为 (-1,0) ，点 B 在 x 轴正半轴上， 点 C 在 y 轴正半轴上． 第 13 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求经过 B、C 两点的直线的表达式． （2）求图像经过 A、B、C 三点的二次函数的解析式． 1 【答案】（1）y =- x+2. 2 1 3 （2）y =- x2 + x+2. 2 2 【解析】 【分析】（1）利用tanCAB2先求解C的坐标，再证明ÐCAO=ÐBCO,tanÐCAO=tanÐBCO,再 求解B的坐标，利用待定系数法求解BC的解析式即可； （2）根据抛物线与x轴的交点设抛物线为y =a(x+1)(x- 4),再把C的坐标代入求解a即可. 【小问1详解】 解：  tanCAB2， 点A的坐标为 (-1,0) ，AO^ CO, OC \ =2, 则OC =2,C(0,2), OA QÐACB=90°,ÐAOC =90°, \ ÐCAO+ÐACO=90° =ÐACO+ÐBCO, \ ÐCAO=ÐBCO,tanÐCAO=tanÐBCO, OB \ =2,OB=2OC =4, OC B4,0, 设直线BC为：y =kx+b, 1 ì 1 ì ï 4k+b =0 ï k =- \ í 1 , 解得：í 2 ， ïî b =2 ï 1 î b =2 1 1 所以直线BC为：y =- x+2. 2 第 14 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问2详解】 解：设过A(-1,0),B(4,0),C(0,2) 的抛物线为： y =a(x+1)(x- 4), \ -4a=2, 1 解得：a  , 2 1 1 3 所以抛物线为：y =- (x+1)(x- 4) =- x2 + x+2. 2 2 2 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解 析式，熟练的利用锐角三角函数求解B,C 的坐标是解本题的关键. 22. 为了维护南海的主权， 我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图， 在一次巡航中，预警机沿 AE 方向飞行， 驱护舰沿 BP 方向航行， 且航向相 同 AE∥BP ． 当预警机飞行到 A 处时，测 得航行到 B 处的驱护舰的俯角为 45 ，此时 B 距离相关岛屿 P 恰为 60 千米； 当预警机飞行到 C 处 时 ， 驱护舰恰好航行到预警机正下方 D 处，此时 CD10 千米，当预警机继续飞行到 E 处时， 驱护舰到达相关岛屿P,且测得E处的预警机的仰角为22.求预警机的飞行距离AE．（结果保留整数） （参考数据： sin22 0.37,cos22 0.93,tan22 0.40．） 【答案】预警机的飞行距离AE为95千米 【解析】 【分析】过B作BH⊥AE于H，过E作EF⊥BP交延长线于F，利用锐角三角函数解直角三角形求得 AH、PF即可． 【详解】解：过B作BH⊥AE于H，过E作EF⊥BP交延长线于F，则∠AHB=∠EFP=90°， 由题意，∠A=45°，∠EPF=22°，BH=CD=EF=10千米，EH=BF，BP=60千米， 在Rt△AHB中，∠A=45°，BH= 10千米， ∴AH=BH=10千米， 第 15 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 在Rt△EFP中，∠EPF=22°，EF=10千米， EF 10 ∴PF   25， tan22 0.4 ∴AE=AH+HE=10+60+25=95（千米）， 答：预警机的飞行距离AE为95千米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形，作垂线构造直角 三角形是解答的关键． 23. 如图，在等腰 ABC中，AB AC，点D是边BC上的中点，过点C作CE  BC，交BA的延长线  于点E，过点B作BH  AC，交AD于点F ，交AC于点H ，交CE于点G． 求证： （1）BCBH CH EC； （2）BC2 4DFDA． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证明BCE∽CHB即可； DC AD 1 （2）通过证明ADC∽BDF得出  ，再根据BD DC  BC，得出结论． DF BD 2 【小问1详解】 证明： CE  BC，BH  AC，  BCECHB90， AB AC，  ABC ACB， 第 16 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BCE∽CHB， BC CE   ， CH BH BCBH CHEC ； 【小问2详解】 证明 AB AC，点D是边BC上的中点，  AD BC，BH  AC，  ADC AHF 90， DAC HAF ，  ACDAFH ， AFH BFD，  ACDBFD， ADC BDF 90，  ADC∽BDF ， DC AD   ， DF BD 1 BDDC  BC，  2 1  BC2  ADDF ， 4 即BC2 4DFDA． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相 似三角形的判定定理进行证明． 24. 如图， 在平面直角坐标系 xQy中， 直线 y x5 与 x 牰交于点 A， 与 y 轴交于点 B． 点 1 C为拋物线 y ax2 2a2xa3 a 的顶点． 2 第 17 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）用含 a 的代数式表示顶点 C 的坐标： 5 （2）当顶点 C 在 AOB 内部， 且 S  时，求抛物线的表达式：  AOC 2 1 （3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 2 AOB 内， 求 a 的取值范围．  1 【答案】（1）C(a, a) 2 （2）y 2x2 8x9； （3）1＜a＜3 【解析】 【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答； （2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答； （3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等 式组，解不等式组即可求解 【小问1详解】 1 1 解：拋物线 y ax2 2a2xa3  a a(xa)2  a， 2 2 1 ∴顶点C的坐标为(a, a)； 2 【小问2详解】 解：对于y x5，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5， ∴A（5，0），B（0，5）， 5 ∵顶点 C 在 AOB 内部， 且 S  ，  AOC 2 1 1 5 ∴ 5 a  ， 2 2 2 ∴a=2， ∴拋物线的表达式为 y 2x2 8x9； 【小问3详解】 1 1 解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为(a1, a )， 2 2 ∵平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内，  第 18 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  a10  1 1 ∴ a 0 ， 2 2   1 1 (a1)5 a   2 2 解得：1＜a＜3， 即a 的取值范围为1＜a＜3． 【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交 点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不 等式组是解答的关键． 25. 已知四边形 ABCD 是菱形， AB 4， 点 E 在射线 CB 上， 点 F 在射线 CD 上，且 EAF BAD． （1）如图， 如果 BAD90， 求证： AE AF ； AF （2）如图， 当点 E 在 CB 的延长线上时， 如果 ABC 60， 设 DF  x,  y， 试建立 y AE 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 （3）联结 AC,BE 2， 当 △AEC 是等腰三角形时，请直接写出 DF 的长． 【答案】（1）证明过程详见解答； 4x （2）y (0x4) 4 8 16 （3）DF  或 5 7 第 19 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCD是正方形，再证明ABEADF，从而命题得证； （2）在AD上截取DG  DF ，先证明DGF 是正三角形，再证明ABE∽AGF ，进一步求得结果； （3）当AE  AC时，作AH⊥CE于H ，以F 为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN  AD于 DG 1 N ，证明ABH∽FND，AGF ABE，可推出  ，再证明ABE∽AGF ，可推出 DF 2 4DG GF  ，从而求得DF，当AC CE 6时，作AH⊥CE于H ，以F 为圆心，DF为半径画弧交 4 2 1 1 AD于G，作FN  AD于N ，作BM  AC于M ，先根据S  ACBM  BCAH 求得AH ，进 ABC 2 2 DG 1 4DG 1 而求得BH ，根据ABH∽FGN ，ABE∽AFF，  和  ，从而求得DF，根据三角形 GF 4 GF 2 三边关系否定AE CE，从而确定DF的结果． 【小问1详解】 解：证明： 四边形ABCD是菱形，BAD90，  菱形ABCD是正方形， BAEABC ADF 90，AD AB， QBAE DAF ， ABEADF(ASA)， AE  AF； 【小问2详解】 解：如图1， 在AD上截取DG  DF ， 四边形ABCD是菱形，  ADF ABC 60，AD AB6， DGF是正三角形， DFG60，GF DF DGx， 第 20 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AGF ABE120，AG 4x， QBAE DAF ， ABE∽AGF ， AF AG   ， AE AB 4x y (0x4)； 4 【小问3详解】 如图2， 当AE  AC时，作AH⊥CE于H ，以F 为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN  AD于N ， 1 1 CH  CE (42)3，FNDAHB90，DFGD，DG2DN ， 2 2 BH BCCH 431， 四边形ABCD是菱形，  DABC， ABH∽FND，AGF ABE， DN BH 1    ， DF AB 4 DG 1   ①， GF 2 QBAE DAF ， ABE∽AGF ， AG GF   ， AB BE 4DG GF   ②， 4 2 由①②得， 8 GF  ， 5 8 DF  ， 5 第 21 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 如图3， 当AC CE 6时，作AH⊥CE于H ，以F 为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作FN  AD于 N ， 作BM  AC于M ， 1 CM  AC 3， 2 BM  BC2 CM2  7， 1 1 由S  ACBM  BCAH 得， ABC 2 2 6 7 4AH ， 3 7 AH  ， 2 1 BH  AB2 AH2  ， 2 由第一种情形知：ABH∽FGN ，ABE∽AFF， GN BH 1 AG AB 1    ，   ， FG AB 8 GF BE 2 DG 1 4DG 1   ①，  ②， GF 4 GF 2 由①②得， 16 GF  ， 7 16 DF  ， 7 ABBE AE，  BCBE AE， 即CE AE， 8 16 综上所述：DF  或 ． 5 7 第 22 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解题的 关键是作辅助线，构造相似三角形． 第 23 页 共 23 页