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2023 届长宁区高三二模考试数学试卷
一、填空题
1. 已知集合 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】找出A与B 的公共元素，即可确定出交集．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2. 若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】 “ ”是“ ”的充分条件， ， ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
3. 已知事件A与事件B相互独立，如果 ， ，那么 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
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【详解】解：因为事件A与事件B相互独立， ，
则 ，
所以 ，
故答案为：
4. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 ，底面周长为 ，则这个圆锥的体积为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，
代入圆锥体积公式即可.
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，
，解得： ， ，
圆锥体积 .
故答案为： .
5. 若函数 为奇函数，则实数a的值为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再由 ，代入求解即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
解得： ，
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所以由函数 为奇函数，
则 ，由 ，
解得： .
故答案为： .
6. 设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
故答案为： .
7. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，
如图．则至少需要___________米栅栏．
【答案】
【解析】
【分析】设矩形植物种植园的宽、长为 ，由题意结合均值不等式求解即可.
【详解】设矩形植物种植园的宽、长为 ，
所以 ，
则 ，当且仅当“ ”时取等.
故至少需要 米栅栏．
故答案为： ．
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.
8 若函数 ， 满足 ，且 ，则 ___________.
【答案】3
【解析】
【分析】先求 ，再对 两边求导后令 可求 的值.
【详解】因为函数 ， 满足 ，且 ，
所以 ，则 ，对 两边求导，
可得 ，所以 ，因此 .
故答案为：3
9. 若对任意 ，均有 ，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由绝对值三角不等式可得 在 恒成立，即有 或
在 恒成立，分别求解即可得答案.
【详解】解：因为在绝对值三角不等式 中，当 同号时有 ，
又因为 ，
所以 在 恒成立，
所以 或 在 恒成立，
即有 或 在 恒成立，
由 ，解得 ，
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由 ，解得 ，
综上所述实数a的取值范围为 .
故答案为：
10. 已 知 空 间 向 量 ， ， ， 满 足 ： ， ， ，
，则 的最大值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】令 ， ， ， ，由向量的线性运算，由平行推出A，B，C三点共线，
由数量积为0推出 ，即可分析D在以AB为直径的球面上，进而得到 的最大值.
【详解】解：令 ， ， ，
则 ，
所以A，B，C三点共线，
又 ，
即 ，所以D在以AB为直径的球面上，
因为 ， ，
则 的最大值为 .
故答案为：3.
11. 已知 是双曲线 的左、右焦点，l是 的一条渐近线，以 为圆心的
圆与l相切于点P，若双曲线 的离心率为2，则 __________．
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【答案】
【解析】
【分析】以 为圆心的圆与l相切于点P， ，所以由点到直线的距离求出 ，由余弦定理
可得 ，求出 ，再由余弦定理求出 ，即可求出
的值.
【详解】设双曲线 的一条渐近线为 ，
则 到直线 的距离为 ，
因为以 为圆心的圆与l相切于点P， ，所以 ，
又因为双曲线 的离心率为2，所以 ，则 ，
在 中， ，
在 ， ，
解得： ，
由余弦定理可得： ，
所以 .
故答案为： .
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二、单选题
12. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断.
【详解】平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量，
所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A、B不正确；
百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位，
则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数.
所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C不正确；
标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故D正确.
故选：D.
13. 设复平面上表示 和 的点分别为点A和点B，则表示向量 的复数在复平面上所对应的点位
于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义求出 ，即可得出向量 的复数在复平面上所对应的点所在象限.
【详解】复平面上表示 和 的点分别为点A和点B，
则 ，所以 ，
所以向量 的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
故选：A.
14. 已知正方体 ，点P在直线 上，Q为线段BD的中点．则下列说法不正确的是（
）
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A. 存在点P，使得
B. 存在点P，使得
C. 直线PQ始终与直线 异面
D. 直线PQ始终与直线 异面
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，若 包含在 所垂直的平面内，则 ，当点P和点 重合时， 平
面 ，可判断A正确；
对于B，通过线面平行的判定定理，当点P为线段 的中点时，即可判断；
对于C，当点P和点 重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线；
对于D，直线PQ与另一条线所在的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可.
【详解】正方体 种，易得 平面 ，
因为点P在直线 上，Q为线段BD的中点，
当点P和点 重合时， 平面 ，
，故A正确；
连接 ,当点P为线段 的中点时， 为三角形 的中位线，即 // ,故B正确；
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平面 ,当点P和点 重合时, 平面 ，所以直线PQ和 在同一平面内，故
C错误；
平面 , 平面 ， ,所以直线PQ始终与直线 不相交，且不平行，
是异面直线，故D正确；
故选：C
15. 设 各 项 均 为 实 数 的 等 差 数 列 和 的 前 n 项 和 分 别 为 和 ， 对 于 方 程 ①
，② ，③ ．下列判断正确的是（ ）
A. 若①有实根，②有实根，则③有实根
B. 若①有实根，②无实根，则③有实根
.
C 若①无实根，②有实根，则③无实根
D. 若①无实根，②无实根，则③无实根
【答案】B
【解析】
【分析】若①有实根，得到 ，设方程 与方程 的判别
式分别为 和 ，得到 ，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项CD.
【详解】若①有实根，由题意得： ，
其中 ， ，
代入上式得 ，
设方程 与方程 的判别式分别为 和 ，
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则 等号成立
的条件是 ．
又 ，
如果②有实根，则 ，则 或者 ，所以③有实根或者没有实根，如
满足 ， ，但是
，所以③没有实根，所以选项A错误；
如果②没实根，则 ，则 ，所以③有实根，所以选项B正确；
若①无实根，则 ，②有实根，则 ,
设 ，所以 ， ，
此时 ，则③有实根，所以选项C错误；
若①无实根，则 ，②无实根，则 ,
设 ，所以 ， ，
此时 ，则③有实根，所以选项D错误.
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只
需举一个反例即可.
三、解答题（本大题共有 5题、满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤．
16. 盒子中有5个乒兵球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．
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（1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证： ；
（2）用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望．
【答案】（1）证明见解析；
（2）分布列见解析，X的期望为 .
【解析】
【分析】（1）由题设 第 次抽到正品， 第 次抽到次品， ，利用概率的加法公式证
明；
（2）由题得X 利用超几何分布写分布列，求出期望.
【小问1详解】
由题设 第 次抽到正品， 第 次抽到次品， .
所以 .
故得证.
【小问2详解】
由题得X
所以 ； ； .
所以X的分布列为
0 1 2
.
所以X的期望为 .
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17. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ，
， 分别为棱 中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，直线 与平面 所成的角为 ，且 ，求二面角
的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得 平面 ，
平面 ，由面面平行的判定可证得结论；
（2）根据面面垂直的性质可证得 平面 ，由线面角定义可知 ，根据二面角平面角
的定义可知所求二面角的平面角为 ，由长度关系可得结果.
【小问1详解】
为 中点， ， ， ， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
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分别为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 .
【小问2详解】
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 即为直线 与平面 所成角，即 ；
设 ，则 ，
平面 ， 平面 ， ， ；
， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
即为二面角 的平面角，
， ， ，
即二面角 的大小为 .
18. 某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型 ，其中 为自统计之日起，经过t年后该
地新能源汽车保有量、 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
t 0 1 2 3 4
保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
假设该地新能源汽车饱和量 万辆．
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（1）若 ，假设2018年数据满足公式 ，计算 的值（精确到0.01）并估算2023年
年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
（2）设 ，则 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 和r
的值（精确到0.01）．
附：线性回归方程 中回归系数计算公式如下： .
【答案】（1） ， 万辆
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据题意代入 即可求出 ，代入 利用公式估算即可得解；
（2）设设 ，转化为 关于 的线性回归问题，利用公式求出 即可.
【小问1详解】
由题意可知，2018年对应 ， ，
满足 ，所以 ，解得 ，
因为 年对应的 ，
所以
所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.
【小问2详解】
，
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设 ，则 ，
t 0 1 2 3 4
9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
3.37 3.07 2.77 2.44 2.11
， ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 .
(该题无参考数据，需要计算器计算)
19. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，直线 经过点 且与 交于点 、 .
（1）求以 为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为 的椭圆的标准方程；
（2）若 ，求线段 的中点到 轴的距离；
（3）设 为坐标原点， 为 上的动点，直线 、 分别与准线 交于点 、 .求证：
为常数.
【答案】（1）
（2）1 （3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）已知焦点，就确定了椭圆的实轴所在的坐标轴和焦距，通过离心率就可以解出 ， ， 的
值，进而写出椭圆的标准方程.
（2）因为 是焦点弦，所以能求出 值，设出直线 方程与抛物线联立，解出直线方程，把中
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点横坐标代入求出纵坐标即为所求.
（3）设 ，利用点斜式写出 ， 方程，进而表示出 、 两点坐标，用数量积表示出
，再进行化简出常数即可.
【小问1详解】
解：根据题意设椭圆方程为 ，焦距为 ，
因为抛物线 ： 的焦点为 ，且椭圆以 为焦点，
所以 ，因为离心率为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以椭圆标准方程为 .
【小问2详解】
解：因为直线 经过点 且与 交于点 、 ，设 ， ，
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因为 ，所以直线 斜率一定存在，设方程为 ，组成方程组 ，则有
，
则 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
当 时，直线方程为 ，且 ，所以中点 纵坐标为 ，
此时中点到 轴的矩离为 .
根据对称性，当 时，中点到 轴的矩离也为 .
【小问3详解】
由题意设 直线方程为 ，与抛物线组成方程组：
，则 ，
有 ， ， ，
根据题意设 ， ， ，
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则直线 方程为 ，即 ，
因为 点横坐标为 ，所以 ，即 ，
同理 点坐标为 ，
所以 ，
化简得
因为 ， ，
所以 ，即 为常数.
20. （1）求简谐振动 的振幅、周期和初相位 ；
（2）若函数 在区间 上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设 ， ，若函数 在区间 上是严格增函数，求实数a的取值范
围．
【答案】（1）振幅为 ，周期 ，初相位 ；
（2） ；
（3） ；
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可得到振幅、周期和初相位；
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（2）求导，令 ，求出导函数的零点，利用三角函数的单调性判断导函数的正负，进而分析出
的单调，列表分析出有唯一的极大值点的情况，即可得到实数m的取值范围；
（3）求导，并对a分类讨论，利用余弦函数的单调性分析导函数在区间 的正负，即可判断
是否为严格增函数，进而得到实数a的取值范围.
【详解】解：（1） ，
所以振幅为 ，周期 ，初相位 ；
（2） ，
令 ，得 , ，列表，
x
0 0 0
y 极大值 极小值 极大值
函数 在区间 上有唯一的极大值点时， ，
即实数m 取值范围为 .
的
（3） ，
当 时，
因为 ，所以 ，
进而 ，
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此时， 在区间 上是严格增函数；
当 时， ， 不是严格增函数；
当 时，设 ，则 ，
进而 ， ，
此时， 在区间 上是严格减函数；
综上，若函数 在区间 上是严格增函数，则 ，
即实数a的取值范围 .
【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方
法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处
理能力和解决能力.
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