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2023 届静安区高三二模考试数学试卷 2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸
相应编号的空格内直接填写结果.】
1. 若集合 ， ，且 ，则 ___________.
2. 已知{ }是公比为q 的等比数列，且 、 、 成等差数列，则 =___________.
3. 若复数 （ 为虚数单位），则 ___________.
4. 已知 ， 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________.
5. 已知 ，且 ，则 ________．
6. 已知 中， ，且 ，则 面积的最大值为___________.
7. 已知函数 为偶函数，则函数 的值域为___________.
8. 已知向量 ，且 ， 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影向量等
于___________.
的
9. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们 皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪
含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下
个体编号 体重x（kg） 脂肪含量y（%）
1 89 28
2 88 27
3 66 24
4 59 23
5 93 29
6 73 25
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7 82 29
8 77 25
9 100 30
10 67 23
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小数）
10. 如图，正方体 中， 为 的中点， 为正方形 的中心，则直线 与侧
面 所成角的正切值是___________.
的
11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名 牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的
质量指标X是服从正态分布 的随机变量.若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产
品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为_________%（结果保留一位
小数）（已知 表示标准正态分布的密度函数从-∞到
x的累计面积）
12. 若 ，其中 ，则 的最小值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，
选对得相应分值，否则一律得零分.】
13. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则能使 ∥ 的是（ ）
A. B.
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C. D.
14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天
轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度
的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地
面的高度为h米， .若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则 的最小值
为（ ）
.
A 6 B. 12 C. 18 D. 24
15. 设直线 与 关于直线 对称，则直线 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
16. 函数 （ ）
A. 严格增函数
B. 在 上是严格增函数，在 上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在 上是严格减函数，在 上是严格增函数
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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.】
17. 已知各项均为正数的数列{ }满足 （正整数
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列{ }的前n项和 .
18. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD， ，若
.
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面 平面AMD.
19. 已知双曲线Γ： （其中 ）的左、右焦点分别为 （ c，0）、 （c，0）
（其中 ）.
（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为 ；直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为
.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求 的面积；
△
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切
线的斜率为 ，求双曲线Γ的离心率.
20. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生
篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的
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球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放
回原处. 设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这
个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结
果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯
固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在
右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张 列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右
侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.（显著性水平
习惯固定在左侧接听电话 习惯固定在右侧接听电话 总计
脑瘤部位在左侧的病人 a b 42
脑瘤部位在右侧的病人 c d 46
总计 a+c b+d 88
参考公式及数据： ，其中，
21. 已知函数 .（其中 为常数）
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的最小值；
（3）当 时，试讨论函数 的零点个数，并说明理由.
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