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2023 年上海静安区静安区实验中学初三中考一模数学试卷-学生用卷
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质和零指数幂进行化简，再根据无理数的定义逐项进行判断即可．
【详解】A. ，是整数，是有理数，不是无理数，故不符合题意；
B. 是无理数，故符合题意；
C. ，是整数，是有理数，不是无理数，故不符合题意；
D. ，是分数，是有理数，不是无理数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂及无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数为无理数是解
题的关键．
2. 计算 的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则求解即可．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟知运算法则： ．
3. 如果非零向量 、 互为相反向量，那么下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
为
【分析】非零向量 、 互 相反向量，则非零向量 、 大小相等，方向相反，据此分析即可．
【详解】∵非零向量 、 互为相反向量，
∴ ， ， ，
∴ ，则C选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查相反向量的概念，属基础题，正确理解定义是解决问题的关键．
4. 如图，已知 与 ，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构
成的三角形与原三角形相似；
（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比
例且夹角相等，两个三角形相似.）；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边
对应成比例，两个三角形相似.）；
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。
【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意．
B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．
C选项相等的角不是对应角，不符合题意．
D选项相等的角不是对应角，不符合题意．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法．
5. 如果 ，那么 与 的差（ ）．
A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不能确定
【答案】D
【解析】
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，
，
，
；
当 时， ，
，
，
；
当 ， ，
，
，
，
综上所述， 与 的差不能确定，故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在 之间（不包括 和 ），角度
变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
6. 如图，在 中，中线 与中线 相交于点G，联结 ．下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中线 与中线 得出 是 的中位线，推出 ， ，由
相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】∵中线 与中线 相交于点G，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论正确的是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 的倒数是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数，求解．
【详解】解：∵ ×3=1，∴ 的倒数是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查倒数的概念，掌握定义正确计算是关键．
8. 计算： _________．
【答案】2
【解析】
【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分．
【详解】解：
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
9. 已知 ，那么 的值是 __________ ．
【答案】 ##
【解析】
分析】由已知可知 ，代入计算即可求值．
【
【详解】解： ，
，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，根据题意正确得出 、 的关系是解题关键．
10. 抛物线 与 轴的交点坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出 时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当 时， ，
所以抛物线与y轴的交点坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题
的关键．
11. 请写出一个以直线 为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是
_________．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）
【答案】 ，答案不唯一
【解析】
【分析】本题答案不唯一，根据顶点式写抛物线 的解析式，只需要对称轴为 ，开口向上即可．
【详解】解：根据题意可得满足条件抛物线解析式可为：
故答案为： ，答案不唯一【点睛】此题考查了二次函数的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧， 随 增大而减小，根据二
次函数性质解答是关键．
的
12. 有一座拱桥 截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面 宽20米，拱桥的最高点O距离
水面 为3米，如图建立直角坐标平面 ，那么此抛物线的表达式为_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设抛物线解析式为 ，由图象可知，点 的坐标 ，利用待定系数法求解即可．
【详解】设抛物线解析式为 ，
由图象可知，点 的坐标为 ，
代入解析式得 ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关
键．13. 一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作 、 ，且迎水坡 的坡度为 ，背水
坡 的坡度为 ，则迎水坡 的坡角________背水坡 的坡角．（填“大于”或“小于”）
【答案】大于
【解析】
【分析】先根据迎水坡 的坡度为 ，背水坡 的坡度为 ，得出 ， ，
根据 ，即可得出 ．
【详解】解：∵迎水坡 的坡度为 ，背水坡 的坡度为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即迎水坡 的坡角大于背水坡 的坡角．
故答案为：大于．
【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数正切值与角度的关系．
14. 已知 ， 与 的相似比为 ， 与 的相似比为
，那么 与 的相似比为_________．【答案】
【解析】
【分析】设 ，根据相似三角形的对应边成比例分别表示出 ，继而求解即可．
【详解】设 ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够用同一个字母表示 的长度是解题的关键．
15. 在矩形 内作正方形 （如图所示），矩形的对角线 交正方形的边 于点P．如果点
F恰好是边 的黄金分割点 ，且 ，那么 _________．
【答案】 ##
【解析】【分析】结合已知条件易证得 ， ，则 ，根据点F恰好是边
的黄金分割点可得 ，求解即可．
【详解】∵四边形 为矩形，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F恰好是边 的黄金分割点 ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握黄金分割比的值是解
题的关键．
16. 在 中， ，点D、E分别在边 上，当 时，
_________．
【答案】 ##0.8
【解析】
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似可证明 ，再根据相似三角形的对应边成比例
可得 ，代入求解即可．【详解】在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
17. 如图， 绕点C逆时针旋转 后得 ，如果点B、D、E在一直线上，且
，那么A、D两点间的距离是_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作 交于点F，由旋转的性质得出 是等腰直角三角形，再求出
，利用含 角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】过点C作 交于点F，∴ ，
∵ 绕点C逆时针旋转 后得 ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，熟练掌握知识
点是解题的关键．
18. 定义：把二次函数 与 （a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函
数”．如果二次函数 与 （b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可．
【详解】
∴
解得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 如图，已知在 中，点D、E分别在边 、 上，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，试用向量 、 表示向量 ．
【答案】（1）见解析．
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明．
（2）由三角形法则求得 ，然后由 与 的比例关系求得向量 ．
【小问1详解】证明：
【小问2详解】
，
∴
【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键在于掌握平行线的判定和三角形法则．
21. 如图，已知在 中， 为锐角， 是 边上的高， ， ．
的
（1）求 长；
（2）求 的正弦值．
【答案】（1） 长为20．
（2） 的正弦 ．
【解析】
【分析】（1）由 的余弦求出 的长，得到 长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作 于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【小问1详解】
【小问2详解】
作 于H
的面积
的正弦值是
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
22. 有一把长为6米的梯子 ，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为
，地面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足 时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求 的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？
（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑 ，如果梯子顶端A沿着
墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），
此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．
【答案】（1）人能安全地使用这架梯子，理由见解析
（2）不能安全地使用这架梯子，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出 的余弦值，再根据锐角三角函数关系求出 的度数即可；
（2）由题意得 ， ，先利用正弦值求出 的长度，继而求出 的长度，
再根据锐角三角函数关系求出 的度数，判断即可．
【小问1详解】
由题意得 ，
∴ ，
查表得 ，
一般满足 时，人才能安全地使用这架梯子，
∴人能安全地使用这架梯子；
【小问2详解】
不能安全地使用这架梯子，理由如下：
由题意得 ， ，，
∴ 米，
∵ ，
∴ 米，
∴ ，
查表得 ，
∴不在安全范围之内．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 如图，在梯形 ABCD 中， ， DF 分别交对角线 AC、底边 BC 于点 E、F，且
．
（1）求证： ；
（2）点G在底边BC上， ， ，连接 ，如果 与 的面积相等，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意及平行线的性质可证明 ，再根据相似三角形的性质及平行线的判
定即可得证；
（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
证明：【小问2详解】
根据题意得，
和 面积相等
解得：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积
比，得出方程是解题的关键．
24. 如图所示，在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与x轴交于点A、B（点A在
点B的左侧），交y轴于点C，联结BC， 的余切值为 ， ，点P在抛物线上，且
.（1）求上述抛物线的表达式；
（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且 ，求点F的坐标．
【答案】（1）
（2）①对称轴为直线 ；②
【解析】
【分析】（1）先通过解直角三角形求出点A、B的坐标，直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①设平移后的解析式为 ，求出点 ，再利用待定系数法求函数解析式即可；
②过点P作 轴于N，则 ，通过证明 ，利用相似三角形的性质计
算即可．
【小问1详解】
∵抛物线 （ ），当 时， ，
∴ ，即 ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
把A、B的坐标代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
①设平移后的解析式为 ，
∵ ，
∴P在 的中垂线上，
∴ ，
将 坐标代入 ，得 ，
∴ ，
∴新的抛物线的解析式为 ，∴对称轴为直线 ；
②过点P作 轴于N，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，二次函数与角相等的问题，相似三角形
的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
25. 在等腰直角 中， ，点D为射线 上一动点（点D不与点B、C重合），以
为腰且在 的右侧作等腰直角 ， ，射线 与射线 交于点E，联结 ．（1）如图1所示，当点D在线段 上时，
①求证： ；
②设 ，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当 时，求 的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由 和 是等腰直角三角形，证明 ，由相似三角形的性质和
角相等直接证明即可；②过点D作 于点H，通过证明 是等腰直角三角形和相似三角形
的性质求出 ，设 ，则 ，根据等腰直角三角形的性
质表示出 的长度，代入整理即可；
（2）分两种情况：当点D在线段 上时，当点D在线段 的延长线上时，利用相似三角形的性质和
正切函数建立方程，进行求解即可．
【小问1详解】
①∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②过点D作 于点H，如图，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
【小问2详解】
①当点D在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
∵ ，方程无解，
∴这种情况无意义；
②当点D在线段 的延长线上时，如图，
∵ ， ，过点D作 于G，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，解得 （负舍），
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程，能够准确添加辅助线进
行分析是解题的关键．
