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2022 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ， ，则 _________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】首先求集合 ，再求 .
【详解】 ， ，
所以 .
故答案为：
2. 若角 的终边过点 ，则 的值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公式化
简，代入即可求解．
【详解】解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5， ，
．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
3. 抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163 165 161 157 162
165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.
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【答案】
【解析】
【分析】计算 ，确定从小到大第 个数即可.
【详解】 ，第25百分位数是从小到大第 个数为 .
故答案为：
4. 命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由 解得 或 ，则 能推出 或 成立，即可得出实数 的取值范围.
【详解】由 可得： ，解得： 或 ，
“若 ，则 ”是真命题，则 能推出 或 成立，
则 .故实数 的取值范围是 .
故答案为：
5. 在正项等比数列 中， ，则 ______．
【答案】10
【解析】
【分析】利用等比数列性质，将 ，转化为 求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
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即 ，
因为数列 是正项数列，
所以 ，
故答案为： .
6. 设一组样本数据 ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， 的方差为
___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的性质，若 ， ， ， 的方差为 ，则 ， ， 的方差为 ，计算
即得答案.
【详解】根据题意，一组样本数据 ， ， ， 的方差 ，
的
则数据 ， ， ， 方差为 ；
故答案为： .
7. 如图所示，圆锥 的底面圆半径 ，侧面的平面展开图的面积为 ，则此圆锥的体积为
_________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积
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公式即可得出答案.
【详解】设圆锥的母线长为 ，
所以圆锥侧面的平面展开图的面积为： ，
所以 ，所以圆锥的高 .
故圆锥的体积为： .
故答案为： .
8. 若 ， ，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】赋值， 和 ，即可求解.
【详解】令 ， ，
令 ， ，
所以 .
为
故答案 ：
9. 已知双曲线 的左焦点为 ，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于
A、B两点，O为坐标原点， 的面积为 ，则F到双曲线的渐近线距离为_________.
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【答案】 ##
【解析】
【分析】取 ，解得 ，根据面积得到 ，解得渐近线方程，再根据点到直线的距离
公式计算得到答案.
【详解】取 ，则 ，解得 ，故 ，
即 ，解得 或 （舍）， ，
不妨取渐近线方程为 ，即 ， 到渐近线的距离为 .
故答案为：
10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰
问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件
B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】 ， ，故 .
故答案为：
11. 已知函数 ， ，其中 ， ，若 的最小值为2，则实数 的取
值范围是__________.
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【答案】
【解析】
【分析】根据 讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定 的取值范围.
【详解】①当 时， 在 上单调递增，
所以 ，因此 满足题意；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
（i）当 时， 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
，
所以 ， ， ，
， ，
，
或 或
；
（ii）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
，即 ，
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；
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
12. 已知数列 满足：对于任意 有 ，且 ， ，其中
.若 ，数列 的前 项和为 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】对 求导，可证得 是以 为首项，1为公差的等差数列，可求出
，再由并项求和法求出 .
【详解】因为 ，则 ，
由 ， ，可得 ，
，所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ， ， ，则 ，
所以 ，
所以
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.
故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设 ，则 是 为纯虚数的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.
【详解】对于复数 ，若 ，则 不一定为纯虚数，可以为 ；
反之，若 为纯虚数，则 ，
所以 是 为纯虚数的必要非充分条件.
故选：B.
14. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确
率如下图：
则（ ）
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A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确
率的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所
以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.
15. 设函数 ，现有如下命题，①若方程 有四个不同的实根 、 、 、
，则 的取值范围是 ；②方程 的不同实根的个数只能是
1，2，3，8.下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
【答案】C
【解析】
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【分析】首先画出函数 的图象.根据二次函数的对称性得 ，根据 得
，从而求得 的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出 的根，再
对根的大小分类讨论，并结合 的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假.
【详解】当 时， ，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶
点为 ，过 和 ；
当 时， ，图象过 ，如图所示.
对于①，当方程 有四个不同的实根 、 、 、 时，不妨假设 ，
则 ， ，且 ， ，
所以 ，所以 .
因此 ， ，
所以 ，故①为真命题.
对于②，方程 等价于 且 ，所以
或 .
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当 时， ，由 的图象得 有2个不同实根， 有4个不同实根，故
原方程有6个不同实根；
当 时， ，由 的图象得 有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；
当 时， ，由 的图象得 有4个不同实根， 有2个不同实根，故原
方程有6个不同实根；
当 时， ，由 的图象得 有1个实根，故原方程有1个实根；
当 且 时， 且 ，由 的图象得 有1个实根， 有1个实
根，故原方程有2个不同实根；
综上所述，方程 的不同实根的个数可能是1，2，3，6.
故②为假命题.
故选：C
16. 如图：棱长为2的正方体 的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱 的中点，G
在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（ ）
①存在点G，使OD垂直于平面 ；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线 被球О截得的
弦长为 ；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 .
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】①当点 为中点时，证明 平面 ；②当点 与 重合时， 在平面 上， 在平
面 外，说明不成立；③点 是线段 的中点，利用弦长公式求弦长；④当 垂直于过 的平
面，此时截面圆的面积最小，利用③的结果求圆的面积.
【详解】当 为 中点时， ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ， ，同理 ， ，
平面 ,
所以 平面 ，即 平面 ，故①正确；
当 与 重合时， 在平面 上， 在平面 外，故②不正确；
如图，点 是线段 的中点，由对称性可知 ，
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由勾股定理可知易知 ，
球心 到 距离为 ，
则 被球截得的弦长为
故③正确；
当 垂直于过 的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是 ，
面积 为，故④正确.
故选：D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤.
17. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展
“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了
300人，并将所得结果统计如下表所示.
分组区间
人数 30 75 105 60 30
支持态度人
24 66 90 42 18
数
（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；
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年龄在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计
支持态度人数
不支持态度人
数
总计
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记 为4
人中持支持态度的人数，求 的分布以及数学期望.
参考数据：
参考公式：
【答案】（1）列联表、答案见解析
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算 ，并和参考数据，比较后即可判断；
（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.
【小问1详解】
完成列联表如下，
年龄在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计
支持态度人数 60 180 240
不支持态度人
30 30 60
数
总计 90 210 300
提出原假设 年龄与所持态度无关，
确定显著性水平 ，
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， ，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相
关性.
【小问2详解】
依题意， 服从二项分布 ，
故 ， ,
, ,
,
所以分布列如下表，
1 2 3 4
所以 .
18. 已知向量 ， ，函数 .
（1）设 ，且 ，求 的值；
（2）在 中， ， ，且 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） 或
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（2）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 化 简 得 到 ， 代 入 数 据 得 到 ， 得 到
，根据范围得到答案.
（2）确定 ，根据面积公式得到 ，根据余弦定理得到 ，得到 ，
再根据正弦定理得到答案.
【小问1详解】
.
，得 ，
故 ， ，故 或 .
【小问2详解】
， 由（1）知 ，
在 中，设内角 、 的对边分别是 ，则 ，故 .
由余弦定理得 ，故 .
解得 或 ，于是 ，
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由正弦定理得 ，故 .
19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E，F分别在 ，
，且 ， .设 .
（1）当 时，求异面直线 与 所成角的大小；
（2）当平面 平面 时，求 的值.
【答案】（1）60°（2）
【解析】
【分析】（1）推导出 平面ABC， AC，建立分别以AB，AC， 为 轴
的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE与 所成角．
（2）推导出平面 的法向量和平面 的一个法向量，由平面 平面 ，能求出 的值．
【详解】解：因为直三棱柱 ，
所以 平面 ，
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因为 平面 ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以建立分别以 ， ， 为 轴的空间直角坐标系 .
（1）设 ，则 ， ，
各点的坐标为 ， ， ， .
， .
因为 ， ，
所以 .
所以向量 和 所成的角为120°，
所以异面直线 与 所成角为60°；
（2）因为 ， ，
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，
设平面 的法向量为 ，
则 ，且 .
即 ，且 .
令 ，则 ， .
所以 是平面 的一个法向量.
同理， 是平面 的一个法向量.
因为平面 平面 ，
所以 ，
，
解得 .
所以当平面 平面 时， .
【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ： 与椭圆C
交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.
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（1）当 时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求 的周长；
（2）当 且直线 过点 时，设 ， ，求证： 为定值，并求出该
值；
（3）若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大
值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3） ；
【解析】
【分析】（1） 的周长为 ，计算得到答案.
（2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到
，代入化简得到答案.
（3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到 ，计算点
到直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值.
【小问1详解】
当 时，椭圆 ： ， 的周长为 ；
【小问2详解】
当 且直线 过点 时，椭圆 ： ，直线斜率存在， ，
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联立 ，消去 得： ，
恒成立，
设 ， ，则 ，
由 ，点 的横坐标为0，
考虑向量横坐标得到 ， ， 从而 ，
，所以 为定值3；
【小问3详解】
，解得 ，故椭圆方程 ，联立 ，
消元得 ，
，即 ，
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设 ， ，则 ， ，
则
，
当 为定值时，即与 无关，故 ，得 ，
此时 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
经检验，此时 成立，所以 面积的最大值为1 .
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力，转
化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，
是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握.
21. 已知常数 为非零整数，若函数 ， 满足：对任意 ，
，则称函数 为 函数.
（1）函数 ， 是否为 函数﹖请说明理由；
（2）若 为 函数，图像在 是一条连续的曲线， ， ，且 在
区间 上仅存在一个极值点，分别记 、 为函数 的最大、小值，求
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的取值范围；
（3）若 ， ，且 为 函数， ，对任
意 ，恒有 ，记 的最小值为 ，求 的取值范围及 关于 的表
达式.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据 函数的定义，即可证明；
（2）分 为 在区间 上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据 函数的性质，列
式求解；
（ 3 ） 首 先 根 据 函 数 是 函 数 ， 构 造 函 数
，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的
值域，并求 .
【小问1详解】
是 函数，理由如下，
对任意 ， ，
，故
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【小问2详解】
（ⅰ）若 为 在区间 上仅存的一个极大值点，则 在 严格递增，在 严格递减，
由 ，即 ，得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
（ⅱ）若 为 在区间 上仅存的一个极小值点，则 在 严格递减，在 严格增，
由 ，同理可得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
综上所述：所求取值范围为 ；
【小问3详解】
显然 为 上的严格增函数，任意 ，不妨设 ，
此时 ，
由 为 函数，得 恒成立，即
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恒成立，
设 ，则 为 上的减函数，
，得 对 恒成立，
易知上述不等号右边的函数为 上的减函数，
所以 ，所以 的取值范围为 ，
此时 ，
法1：当 时，即 ，由 ，而 ，所以 为 上的
增函数，
法2： ，
因为 ，当 ， ，所以 为 上的增函数，
由题意得， ， .
【点睛】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解
函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证.
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第 26 页 共 26 页
