文档内容
2023-2024 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷
（时间100分钟 满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）．【下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的】
1. 下列抛物线中，对称轴为直线 的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 与 轴正半轴的夹角为 ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
的
3. 下列两个三角形一定相似 是（ ）
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个面积相等的三角形
的
4. 如图，已知平行四边形 对角线 和 交于点O，设 ， ，那么向量 、
、 、 关于 、 的分解式中，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.
5. 进博会期间，从一架离地 米的无人机 上，测得地面监测点 的俯角是 ，那么此时无人机 与
地面监测点 的距离是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图，点D是 内一点，点E在线段 的延长线上， 与 交于点O，分别连接 、 、
，如果 ，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ______．
8. 已知点 是线段 的黄金分割点 ，如果 ，那么 的长是______．
9. 已知 ，如果它们对应高的比 ，那么 和 的面积比是
_______．
10. 在 中，点 、 分别在边 、 上，如果 ， ， ， ，那么 的长是______．
11. 如图， ，如果 ， ， ，那么 的长是______．
12. 如图，在 中， ， 于D，如果 和 的面积比为 ，
，那么 的长是_______．
13. 如图，一段东西向的限速公路 长 米，在此公路的南面有一监测点 ，从监测点 观察，限速
公路 的端点 在监测点 的北偏西 方向，端点 在监测点 的东北方向，那么监测点 到限速
公路 的距离是______米（结果保留根号）．
14. 将抛物线 向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），
联接 如果 是等边三角形，那么点B的坐标是_______．15. 如图，在 中， 和 是 的高，且交于点 ，已知 ， ， ，
那么 的正切值是______．
16. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都
有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即 里)，出西门往前直走2里到B处(即 里)，
此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、
E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是_______里．
17. 在 中， ， ，如果将 绕着点 旋转，使得点 落在边 上，此时，
点 落在点 处，连接 ，那么 的长是______．
的
18. 如图，在 中， ， ，如果点 在 内部，且满足
，那么 的长是______．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分
78分）
19. 已知： ．
（1）求代数式 的值；
（2）当 时，求a、b的值．
20. 已知抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点 和点B，顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；
（2）连接 、 ，求 的余弦值．
21. 如图，在梯形 中， ， 平分 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）设 ， ，求向量 （用向量 、 表示）．
22. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中
的一个斜坡 ，首先在斜坡 的底端 测得高楼顶端 的仰角是 ，然后沿斜坡 向上走到 处，
再测得高楼顶端 的仰角是 ，已知斜坡 的坡比是 ，斜坡 的底端 到高楼 底端 的
距离是 米，且 、 、 三点在一直线上 如图所示 ．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：
（1）求高楼 的高度；
（2）求点 离地面的距离 结果精确到 米 ．(参考数据： ， ，
， )
在
23. 如图， 中，点 在边 上， ．
（1）求证： ；
（2）当点 是边 的中点时，分别延长 、 交于点 ，求证： ．
的
24. 如图，在平面直角坐标系 中，第二象限 点 在抛物线 上，点 到两坐标轴的
距离都是 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位后，所得新抛物线与
轴交于点 和点 ，已知 ，且 ，与 轴负半轴交于点 ．①求 的值；
②设直线 与上述新抛物线的对称轴的交点为 ，点 是直线 上位于点 下方的一点，
分别连接 、 ，如果 ，求点 的坐标．
25. 如图，在 中， ， ，点 是边 上的动点（点 不与点
重合），以 为斜边在直线 上方作等腰直角三角形 ．
（1）当点 是边 的中点时，求 的值；
（2） ，点 在边 上运动的过程中， 的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，
请求出 的大小；
（3）设 与 的交点为 ，点 是边 上的一点，且 ，如果点 到直线 的
距离等于线段 的长度，求 的面积．
