文档内容
2023-2024 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷
（时间100分钟 满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）．【下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的】
1. 下列抛物线中，对称轴为直线 的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键．
分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项中，抛物线 的对称轴为 轴，故本选项不符合题意；
选项中，抛物线 的对称轴为 轴，故本选项不符合题意；
选项中，抛物线 ，该抛物线的对称轴为直线 ，故本选项不符合题意；
选项中，抛物线 ，该抛物线的对称轴为直线 ，故本选项符合题意；
故选： ．
2. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 与 轴正半轴的夹角为 ，则 的值为（
）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过P作 轴于N， 轴于M，根据点P的坐标求出 和 ，解直角三角形求出
即可．
【详解】解：过P作 轴于N， 轴于M，则 ，
∵点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出 和 的长是解此题的关键．
3. 下列两个三角形一定相似的是（ ）
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个面积相等的三角形【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据相似三角
形的判定即可得到答案．
【详解】解：两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，故选项A错误；
两个等腰三角形确定两边对应成比例，无法判定相似，故选项B错误；
两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，故选项C正确；
两个面积相等的三角形，只能得到底和高积相等，无法判定相似，故选项D错误．
故选：C．
4. 如图，已知平行四边形 的对角线 和 交于点O，设 ， ，那么向量 、
、 、 关于 、 的分解式中，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是利用三角形法则解决问题．
利用平行四边形 的性质，三角形法则求解即可．
【详解】 四边形 是平行四边形
，
，故A选项不符合题意
，故B选项符合题意
，故C选项不符合题意
，故D选项不符合题意故选：B
5. 进博会期间，从一架离地 米的无人机 上，测得地面监测点 的俯角是 ，那么此时无人机 与
地面监测点 的距离是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
根据题意，得到 ，利用已知角的正弦，求出答案．
【详解】解：如图，在 中，
米， ，
，
（米），
故选： ．
6. 如图，点D是 内一点，点E在线段 的延长线上， 与 交于点O，分别连接 、 、
，如果 ，那么下列结论正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】 ，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
， ，
则 ，
，
，与 不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明 ， ，故A、B选项不符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
8. 已知点 是线段 的黄金分割点 ，如果 ，那么 的长是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知， ，由点 是线段
的黄金分割点，可得 ，即 ，整理得 ，计算求出满足要求
的解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵点 是线段 的黄金分割点，
∴ ，即 ，整理得 ，
解得： 或 （舍去），
∴故答案为： ．
9. 已知 ，如果它们对应高的比 ，那么 和 的面积比是
_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．
【详解】解：∵ ，如果它们对应高的比 ，
∴ 和 的相似比是
∴ 和 的面积比是 ，
故答案为： ．
10. 在 中，点 、 分别在边 、 上，如果 ， ， ， ，
那么 的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
根据题意，得到 ，可以证明 ，再根据相似三角形的性质，可以得到
，由此得到答案．
【详解】解：如图，， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
11. 如图， ，如果 ， ， ，那么 的长是______．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据
平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解： ，
，
， ， ，
，
．
故答案为： ．
12. 如图，在 中， ， 于D，如果 和 的面积比为 ，
，那么 的长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似的性质求出 即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
和 的面积比为 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
13. 如图，一段东西向的限速公路 长 米，在此公路的南面有一监测点 ，从监测点 观察，限速
公路 的端点 在监测点 的北偏西 方向，端点 在监测点 的东北方向，那么监测点 到限速
公路 的距离是______米（结果保留根号）．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角，正确作辅助线，构造直角三角形是解答本题
的关键．
过点 作 于点 ，则 ，设 米，通过证明 是等腰直角三
角形，得到 米，再由勾股定理得到 米，再由 ，求
出答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
则 ，
设 米，
由题意得：
， ，
是等腰直角三角形，
米，
在 中，
，
，
又 ，（米），
，
，
解得： ，
即监测点 到限速公路 的距离是 米，
故答案为： ．
14. 将抛物线 向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），
联接 如果 是等边三角形，那么点B的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根
据题意得到关于 的方程是解题的关键．由题意设 点坐标为 ，根据等边三角形的性质得到
，解出 的值即可得到答案．
【详解】解： 点A在抛物线 上，
设 点坐标为 ，
是等边三角形，， ，
或 （舍），
．
故答案为： ．
15. 如图，在 中， 和 是 的高，且交于点 ，已知 ， ， ，
那么 的正切值是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了求正切值，勾股定理；利用勾股定理求出 的长，再将 转化成 即可解决
问题．
【详解】解：令 ，
在 中， ．
在 中， ．
则 ，
解得 ，
则．
又因为 ， ，
所以 ．
在 中，
；
故答案为： ．
16. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都
有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即 里)，出西门往前直走2里到B处(即 里)，
此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、
E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是_______里．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出 ，再
根据相似三角形的性质列方程求解．
【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为 里，
正方形的中心为 ，里， ，
，
即
解得： ，或 不合题意，舍去 ，
，
故答案为： ．
17. 在 中， ， ，如果将 绕着点 旋转，使得点 落在边 上，此时，
点 落在点 处，连接 ，那么 的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
作出图形，可以利用 证明 ，从而得到 ，进而得到 的长．
【详解】解：如图所示：
由题意，知 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 如图，在 中， ， ，如果点 在 的内部，且满足
，那么 的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；通过证明
，可得 ， ，由勾股定理可求解．
【详解】解： ， ，
， ，
，
， ，，
，
，
，
故答案为： ．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分
78分）
19. 已知： ．
（1）求代数式 的值；
（2）当 时，求a、b的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令 即可求解．
（1）把 代入 即可求值；
（2）把 代入 求出 的值，即可得到答案．
【小问1详解】
解： ，
令 ，
原式 ；
【小问2详解】
解： ，
令 ，
故 ，
解得 ，
20. 已知抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点 和点B，顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；
（2）连接 、 ，求 的余弦值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】【分析】本题主要考查了抛物线 的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）将 代入 求出b，进而求出抛物线的表达式，再化成顶点式可得D的坐标．
（2）令 ，可求得B的坐标，令 ，求得C的坐标，再分别求出 、 、 的长，由勾股
定理逆定理可得 ，进而求出 的值．
【小问1详解】
解：将 代入 中，
，
抛物线的解析式为 ，
，
该抛物线的顶点D坐标为 ；
【小问2详解】
如图
令 ，即
，或令 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
21. 如图，在梯形 中， ， 平分 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）设 ， ，求向量 （用向量 、 表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解答本
题的关键．（1）根据题意，证明 ，得到 ，由此得到答案．
（2）过点 作 ，求出 ，再根据平行四边形法则求出 ．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
【小问2详解】
如图，过点 作 ，则四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
．
22. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中
的一个斜坡 ，首先在斜坡 的底端 测得高楼顶端 的仰角是 ，然后沿斜坡 向上走到 处，
再测得高楼顶端 的仰角是 ，已知斜坡 的坡比是 ，斜坡 的底端 到高楼 底端 的
距离是 米，且 、 、 三点在一直线上 如图所示 ．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小
杰的方案，完成下列问题：
（1）求高楼 的高度；
（2）求点 离地面的距离 结果精确到 米 ．(参考数据： ， ，
， )【答案】（1）60米 （2） 米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题；
（1）根据正切的定义求出 ；
（2）过点 作 于点 ， 于点 ，设 米，根据坡度的概念用 表示出 ，
根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：在 中， 米， ，
，
米 ，
答：高楼 的高度为 米；
【小问2详解】
过点 作 于点 ， 于点 ，
则四边形 为矩形，
， ，
设 米，
米，
斜坡 的坡比是 ： ，米，
米，
在 中，
解得： ，经检验是原方程的解，
答：点 离地面的距离约为 米．
23. 如图，在 中，点 在边 上， ．
（1）求证： ；
（2）当点 是边 的中点时，分别延长 、 交于点 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质;
（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；
（2）结合平行四边形的性质利用 证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，等
量代换即可得解．
【小问1详解】
证明： 在中， ，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，
在 中， ， ，
， ，
点 是边 的中点，
，
，
，
，
，
．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，第二象限的点 在抛物线 上，点 到两坐标轴的
距离都是 ．（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位后，所得新抛物线与
轴交于点 和点 ，已知 ，且 ，与 轴负半轴交于点 ．
①求 的值；
②设直线 与上述新抛物线的对称轴的交点为 ，点 是直线 上位于点 下方的一点，
分别连接 、 ，如果 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质，
是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法，求得 ，由此得到答案．
（2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为 ，根据已知条件，令，求出 ，得到答案．
②先利用已知条件，求出点 ，点 ，由此得到 轴，过点 ，作 轴于点
，得到 ，又 ，设 ， ，由此得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：
点 ，点 在抛物线 上，
，
解得： ，
该抛物线的表达式为： ．
【小问2详解】
①根据题意得：
将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位后的表达式为：
，
令 ，
解得： ，
，
，解得： ；
②由①抛物线的表达式为：
，
其对称轴为 ，
则点 ，
当 时， ，
即点 ，
点 、 的纵坐标相同，
轴，
过点 ，作 轴于点 ，
由 的坐标，得到 ，
则 ，，
设 ， ，
在 中，
，
解得： ，
则点 坐标为： ．
25. 如图，在 中， ， ，点 是边 上的动点（点 不与点
重合），以 为斜边在直线 上方作等腰直角三角形 ．
（1）当点 是边 的中点时，求 的值；
（2） ，点 在边 上运动的过程中， 的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，
请求出 的大小；
（3）设 与 的交点为 ，点 是边 上的一点，且 ，如果点 到直线 的
距离等于线段 的长度，求 的面积．【答案】（1）
（2）不变， ，理由见解析．
（3）
【解析】
【分析】（1）过点 作 ，根据已知条件，得到 为等腰直角三角形， ，
，利用勾股定理，得到 ，由此得到答案．
（2）根据题意，由等腰直角三角形的性质，得到 ，在 中， ，
，在 中，设 ，则 ，由此证明 ，得到答案．
（3）过点 作 ，交 与 ， ，由 ，得到 ，通过
证明 ，得到 ，再通过 ，得到 ，进而
得到 是等腰直角三角形，不难得到 ，得到 ， ，
，由此得到答案．
【小问1详解】
解：过点 作 ，
， ，，
，
为等腰直角三角形，
点 是边 的中点，
，
在 中，
，
在 中，
，
，
．
【小问2详解】
不变， ，理由如下：
在 中， ，
，
，
，
在 中， ， ，在 中，设 ，则 ，
，
，
．
【小问3详解】
过点 作 ，交 与 ， ，
，
，
，
由（2）知， ，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
，
设 ，
则 ，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
为 的角平分线，
，
，
， ， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平
分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用已知条件，作辅助线，构造全等三角形
是解答本题的关键．
