精品解析：上海市徐汇中学2023届高三上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高三_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 徐汇中学 2022 学年高三年级第一学期 期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共 12题，满分 54分，第 1~6 题每题 4分，第 7~12 题每题 5分）  x3    Bx 0 A x x2 3  x  A B 1. 若集合 ，集合 ，则  ________． 【答案】(1,0)  (3,5)##{x|1 x0或3 x5} 【解析】 【分析】解绝对值不等式、分式不等式分别求集合A、B，再应用集合交运算求AB. 【详解】由题设，A{x|1x5}，B{x|x0或x3}， ∴A  B{x|1 x0或3 x5}. 故答案为：(1,0)  (3,5) 2. 已知函数 f xsin2x2 3cos2x，则函数 f x 的最小正周期是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.   2 【详解】 f xsin2x2 3cos2xsin2x 3cos2x 3 2sin  2x   3，故T  ，  3  2 故答案为：．  2 6 3. 二项式 x2   的展开式中常数项为______.  x 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中x的指数等于0，即可得出r，再代入得出答案. 【详解】二项式  x2  2  6 的通项公式为T Cr  x26r   2  r Crx123r2r ，  x r1 6  x 6 令123r 0，解得r 4， 则展开式中常数项为C424 240， 6 第 1 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：240 y2 4. 双曲线 x2 1两条渐近线的夹角大小是__________ 3 π 【答案】60°## 3 【解析】 【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小. y2 【详解】双曲线 x2 1的两条渐近线的方程为y  3x， 3 π 由直线y  3x的斜率为 3，可得倾斜角为 ， 3 2π y  3x的斜率为 3，可得倾斜角为 ， 3 π 所以两条渐近线的夹角的大小为 ， 3 π 故答案为： . 3 5. 已知在等比数列{a }中，a =7，S =21，则公比q=__________ n 3 3 1 【答案】1或 2 【解析】 【分析】由a =7，S =21，得到aq2 7,a aq 14求解. 3 3 1 1 1 【详解】解：因为在等比数列{a }中，a =7，S =21， n 3 3 所以aq2 7,a aq 14， 1 1 1 两式相除得： 2q2 q10， 1 解得q 1或q  ， 2 1 故答案为：1或 2 6. 函数 f(x)excosxx在点(0, f(0))处的切线方程为____． 【答案】y 1 【解析】 【分析】先求出切点坐标，利用导数求切线的斜率，再由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为 f(x)excosxx，所以 f(0)e0cos001， 第 2 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) f(x)excosxexsinx1， 所以函数 f(x)在点(0,1)处的切线斜率为k  f0e0cos0e0sinx10， 所以函数 f(x)在点(0,1)处的切线方程为：y 1. 故答案为：y 1 1 1 7. 若a，b是正实数，且ab1，则  的最小值为_________． a ab 【答案】32 2； 【解析】 1 1 b 1 1 2b a 【分析】利用“1”的代换，将  转化为1   3  ，再利用基本不等式求解. a ab a b a a b 【详解】因为ab1， 1 1 ab ab b 1 1    1   a ab a ab a b a b ab ab 2b a 1   3  a b a a b b 2a 2  332 2 ， a b ab1  当且仅当b 2a ，即a 21,b2 2时，等号成立，   a b 故答案为：32 2 8. 若 z z 1，则称z 与z 互为“邻位复数”．已知复数z a 3i与z 1bi（a，bR）互为 1 2 1 2 1 2 “邻位复数”， 则a2 b2的最大值_______． 【答案】9 【解析】 【分析】由已知条件与复数模长的计算公式可知a12   b 3 2 1，所求表达式表示点 a,b 到原点 的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解. 【详解】因为复数z a 3i与z 1bi互为“邻位复数”， 1 2 所以 a 3i1bi 1，故a12   3b 2 1，即a12   b 3 2 1， 第 3 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   其表示的是点 a,b 的轨迹是以A 1, 3 为圆心，半径r 1的圆， 而 a2 b2 表示点 a,b 到原点的距离， 故 a2 b2 的最大值为原点到圆心的距离加半径，  2 即 OA r  12  3 13， 所以a2 b2的最大值为32 9， 故答案为：9. 9. 设 f(x)是R上的奇函数， f(x2)f(x)，当0 x1 时, f(x) x,则当4 x4时， f(x)的图象 与x轴所围成图形的面积=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由 f(x2)f(x)可得 f(x) 是以 4 为周期的周期函数,再结合奇函数的性质即可推导出函数 y f(x) 的图象关于直线 x1 对称，结合函数图像即可得出结论. 【详解】由 f(x2)f(x) 得, f(x4) f[(x2)2]f(x2) f(x), 所以 f(x) 是以 4 为周期的周期函数, 由 f(x) 是奇函数且 f(x2)f(x), 得 f((x1)2)f(x1) f((x1)), 即 f(1x) f(1x). 故知函数 y f(x) 的图象关于直线 x1 对称. 又当 0 x1 时, f(x) x, 且 f(x) 的图象关于原点成中心对称, 则 f(x) 的图象如图所示： 第 4 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1  当 4 x4 时, f(x) 的图象与x轴围成的图形面积为 S, 则 S 4S 4  21  4. △OAB 2  故答案为：4. 10. 如图，在正四棱柱ABCDABC D 中，AB 1，AA  3，点E为AB上的动点，则DECE 1 1 1 1 1 1 的最小值为____________. 【答案】 10 【解析】 【分析】 将平面ABC D 与平面ABCD延展至同一平面，由C、E、D 三点共线可求得DECE 的最小值. 1 1 1 1 【详解】如下图所示，将平面ABC D 与平面ABCD延展至同一平面， 1 1 第 5 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  2 AD  12  3 2，延展后DD  AD AD 3， 1 1 1 CD 1，由勾股定理可得CD  12 32  10.  1 由图形可知，当C、E、D 三点共线时，DECE 取得最小值 10 . 1 1 故答案为： 10 . 【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三 点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 11. 已知向量a  cosα,sinα ，b  cosβ,sinβ，且αβ π ，若向量c  满足 c  a  b  1，则 c  的最 3 大值为______． 【答案】 31 【解析】         【分析】先由题中条件求出 ab ，再由 cab  c  ab 即可求出结果. 【详解】因为a  cosα,sinα ，b  cosβ,sinβ，且αβ π 所以 3 a  b   a 2  b  2 2a  b   22cosαcosβsinαsinβ  22cosαβ  3，  所以1 c  a  b   c   a  b   c   3，因此 c   31.  故 c 的最大值为 31 【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型. 12. 若直线y kx与曲线y 2|log 2 (x2)||x1|恰有两个公共点，则实数k的取值范围为________. 【答案】(,0]  {1} 【解析】 【分析】根据函数y log x2 的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出 2 这个分段函数的图像，根据图像和直线y kx的交点有两个，求得实数k的取值范围.  log x2,x1 【详解】如图，可知 log x2  2 2  log 2 x2,2 x1 第 6 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   3,x1   2log 2 x2  x1,x1  y 2log 2 x2  x1   2x1,1 x1  2log 2 x2  x1,2 x1  1  x1,2 x1 x2 由图可知，直线y kx与曲线y 2log 2 x2  x1 恰有两个公共点，则k 0或k 1 【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处 理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题. 二、选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20分） 13. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰 有1人是女队员的概率为（ ） 3 3 2 2 A. B. C. D. 10 5 5 3 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算得到答案. C1C1 6 3 【详解】P 3 2   C2 10 5 5 故选B 【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题. 第 7 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 14. 使得a b  0成立的一个充分不必要条件是（ ） 1 1 A.  B. ea eb C. ab ba D. lna lnb0 b a 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 1 1 1 1 【详解】A选项，若a<0，b0，则满足  ，但不能得出a b  0；所以  不是 b a b a a b  0的充分不必要条件；故A错； B选项，若ea eb，则ab，但不能得出a b  0，所以ea eb不是a b  0的充分不必要条 件；故B错； C选项，若a 1，b=-1，则满足ab ba，但不能得出a b  0；所以ab ba不是a b  0的 充分不必要条件；故C错； D选项，由lna lnb0可得lna lnbln1，则ab1，能推出a b  0，反之不能推出，所以 lna lnb0是a b  0的充分不必要条件；故D正确. 故选：D. 【点睛】结论点睛： 判定充分条件和必要条件时，一般可根据概念直接判定，有时也需要根据如下规则判断： （1）若 p是 q 的必要不充分条件，则 q 对应集合是 p对应集合的真子集； （2） p是 q 的充分不必要条件， 则 p对应集合是 q 对应集合的真子集； （3） p是 q 的充分必要条件，则 p对应集合与 q 对应集合相等； （4） p是 q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与 p对应集合互不包含． 2 1 15. 若两个正实数x，y满足  1，且x2y m2 2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ） x y A. ,2  4, B. ,4  2, C. 4,2 D. 2,4 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式，求得x2y最小值，转化为m2 2m8，结合一元二次不等式的解法，即可 第 8 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 求解. 2 1 【详解】由题意，两个正实数x，y满足  1， x y 2 1 4y x 4y x 则x2y (x2y)(  )4  42  8， x y x y x y 4y x 当且仅当  ，即x4,y 2时，等号成立， x y 又由x2y m2 2m恒成立，可得m2 2m8，即(m4)(x2)0， 解得4m2，即实数m的取值范围是 4,2 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中利用基本不等式求得 x2y最小值，转化为m2 2m8，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查推理与运 算能力. 16. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列Aa 1 ,a 2 ,a 3 ,  进行重新编辑， a a a  a 重新编辑后的新序列为A*   2 , 3 , 4 , ，它的第n项为 n1 .若序列  A** 的所有项都是2，且 a a a a   1 2 3 n a 1，a 32，则a 等于（ ） 5 6 1 1 1 1 1 A B. C. D. . 512 256 2048 1024 【答案】D 【解析】 a a 【分析】设 2 q，则 n1 2n1q，利用累乘法可求得a ，利用a ,a 可构造方程求得结果. a a n 5 6 1 n a 【详解】设 2 q，  序列  A** 的所有项都是2， a 1 a A   q,2q,22q,  ，即 n1 2n1q， a n a a a a  a n  a n  a n1  a n2  a 2 a 1 ， n1 n2 n3 1 第 9 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) n2n1 ∴ a 2n2q2n3qqa 2 2 qn1a ， n 1 1  1 a 26q4a 1 a   5 1 ，解得： 1 1024. a 210q5a 32  6 1  q 2 故选：D. 【点睛】本题考查数列新定义运算问题的求解，关键是能够明确新定义运算实际给出了数列的递推关系 式，根据递推关系式选择累乘法即可求得数列的通项公式. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤． 17. 在棱长为4的正方体ABCDABC D 中，点P在棱CC 上且CC 4CP， 1 1 1 1 1 1 （1）求AP与 BC 所成角的大小 1 （2）求点A到平面APD 的距离 1 1 5 66 【答案】（1）arccos 66 16 41 （2） 41 【解析】 【分析】（1）由题意可得BC ∥AD ，所以D AP为异面直线AP与 BC 所成的角，然后在△APD 中求 1 1 1 1 1 解即可， （2）利用V V 求解 AAPD PAAD 1 1 1 1 【小问1详解】 连接BC ， 1 因为在正方体ABCDABC D 中，AB∥C D ，ABC D ， 1 1 1 1 1 1 1 1 第 10 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以四边形ABC D 为平行四边形，所以BC ∥AD ， 1 1 1 1 所以D AP为异面直线AP与 BC 所成的角， 1 1 因为正方体ABCDABC D 的棱长为4，点P在棱CC 上且CC 4CP， 1 1 1 1 1 1 所以CP1,C P3， 1 所以AP AC2 CP2  AB2 BC2 CP2  16161 33， DP DC2 C P2  143 5，AD  DD2  AD2  1616 4 2， 1 1 1 1 1 1 AP2  AD2 DP2 333225 5 66 所以由余弦定理得cosD AP 1 1   , 1 2APAD 2 334 2 66 1 5 66 所以D AParccos ， 1 66 5 66 所以AP与 BC 所成角的大小为arccos ， 1 66 【小问2详解】 连接AP，设点A到平面APD 的距离为d， 1 1 1 5 66 因为cosD AP ，D AP为锐角， 1 66 1 2 5 66  41 所以sinD AP 1   ， 1  66  66   1 1 41 所以S  APAD sinPAD   334 2 2 41， APD 1 2 1 1 2 66 1 1 因为V V ，所以 S d  S 4， A 1 APD 1 PA 1 AD 1 3 APD 1 3 AA 1 D 1 1 16 41 所以2 41d  444，解得d  2 41 18. 如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点M 作x轴的垂线 第 11 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 交其“ 伴随圆” 于点 N （ M 、 N 在同一象限内），称点 N 为点 M 的“ 伴随点”．已知椭圆 x2 y2  3   E:  1(ab0)上的点 3, 的“伴随点”为 3,1 ．   a2 b2  2  （1）求椭圆E及其“伴随圆”的方程； （2）求S 的最大值，并求此时“伴随点”N 的坐标； OMN x2 y2 【答案】（1）椭圆E的方程  1；伴随圆的方程为x2  y2 4 4 3 2 3 （2） ，N( 2, 2) 2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，把已知点分别代入椭圆，得出结果； 1 （2）设M m,y ,Nm,y  ，根据S  m  y  y 并结合基本不等式得出结果. m n OMN 2 n m 【小问1详解】  3 3 因为椭圆𝐸: 𝑥2 + 𝑦2 =1(𝑎>𝑏>0)过点   3, 3 ，伴随圆x2  y2 a2过点( 3,1)，所以  a2  4b2 1 ， 𝑎2 𝑏2  2     31a2 解得b2 3， x2 y2 ∴椭圆E的方程  1；伴随圆的方程为x2  y2 4． 4 3 【小问2详解】 m2 y2 设M m,y ,Nm,y  ，则  m 1, m2  y2 4； m n 4 3 n 1 1 3 S  m  y  y  m  4m2  3 m2 OMN 2 n m 2 4 第 12 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 3 2 3 2 3  |m| 4m2  4m2  |m| 4m2  m2 4m2 2 2 4 4 2 2 3 m2 4m2  2 3     ， 4  2  2 当且仅当m2 4m2，即m 2 时等号成立，此时N( 2, 2)． . 19. 我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角 π AOB ，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证 3 (如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内)在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直 线距离为100海里． 1 求海域ABCD的面积； 2 现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点20 19 海里 . 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由． 2200π 【答案】（1） (平方海里)； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD．. 3 【解析】 【分析】 1 利用扇环的面积公式求出海域ABCD的面积； 2 由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P的位置，判断点P是否在海域ABCD内． 第 13 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) π 【详解】1  AOB ，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB100 3 ADBC20，OAOBAB100， ODOAAD10020120， π S  3 π  OD2 OA2  1 π  1202 1002  2200π ( 平方海里)， ABCD 2π 6 3 2 由题意建立平面直角坐标系，如图所示； 由题意知，点P在圆B上，即(x100)2 y2 7600①， 点P也在圆A上，即(x50)2 (y50 3)2 1600②； 由①②组成方程组，  x30  x90 解得 或 ； y 30 3 y 50 3  x2y210000 又区域ABCD内的点满足x2 y2 14400，  由302 (30 3)2 360010000，   点 30,30 3 不在区域ABCD内， 由902 (50 3)2 1560014400，   点 90,50 3 也不在区域ABCD内； 即这艘不明船只没进入了海域ABCD． 【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题． 第 14 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 20. 观察数列：①1,1,1,1,  ；②正整数依次被4除所得余数构成的数列1,2,3,0,1,2,3,0,  ；③ nπ a n tan 3 ,n1,2,3, . （1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定 义：对于数列 a  ，如果________________，对于一切正整数 a  都满足___________________成立，则 n n 称数列 a  是以T 为周期的周期数列； n （2）若数列 a  满足a a a ,nN*，S 为 a  的前 a  项和，且S =2028，S =2030，求 n n2 n1 n n n n 2 3 数列 a  的周期，并求S ； n 2038  1 （3）若数列 a n  的首项，a 1  p, p   0, 2   ，且a n1 2a n 1a n ,nN*，判断数列 a n  是否为周期 数列，并证明你的结论． 【答案】（1）存在正整数T ，使a a nT n （2）以6为周期的周期数列；S 1017 2038 （3）不是周期数列，证明见解析 【解析】 【分析】（1）类比周期函数的定义即可得出答案； （2）先求出数列 a  是以T 6为周期的周期数列，再由周期性即可求出S ； n 2038  1 （3）当 p  0, 时， a  是递增数列，不是周期数列，再由数学归纳法证明即可.  2 n 【小问1详解】 存在正整数T ，使a a ； nT n 【小问2详解】 由a a a ，所以a a a a a a a ， n2 n1 n n3 n2 n1 n1 n n1 n 所以 a a a ，所以数列 a  是以T 6为周期的周期数列； n6 n3 n n 由S =2028，S =2030a 2,a a 2028，由题意：a a a 2， 2 3 3 1 2 3 2 1 所以a 1013,a 1015， 1 2 又a k a k1   a k6 0,kN*，因为a 1 a 4 ， 第 15 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以S 339a a a a a a a a a a a a a a 2038 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a 1017； 4 2 3 4 【小问3详解】 当 p 0时， a  是周期数列，因为此时a 0nN* 为常数列， n n 所以对任意给定的正整数T 及任意正整数n，都有a a ，符合周期数列的定义。 nT n  1 当 p  0, 时， a  是递增数列，不是周期数列.  2 n 下面用数学归纳法进行证明：  1 ①当n1时，因为a  p, p  0,  1  2 2  p1 p 1 所以a 2a 1a a 2p1 p2    ， 2 1 1 1  2  2 且a a 2a 1a a a 12a  p12p0, 2 1 1 1 1 1 1  1 所以a a 且a   0, . 1 2 2  2  1 ②假设当nk时，结论成立，即a 1 a 2   a k ，且a k    0, 2   则a a 2a 1a a a 12a 0，即a a ， k1 k k k k k k k k1 所以当nk1时，结论也成立. 根据①、②可知， a  是递增数列，不是周期数列. n 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据递推关系得数列 b  是周期为6的数列，再结合 n （2）中的条件，可求出前六项之和为0，求解即可. 21. 对于函数y  f x ，若函数Fx f x1 f x 是严格增函数，则称函数y  f x 具有性质 A． （1）若 f x x2 2x，求Fx 的解析式，并判断 f x 是否具有性质A； （2）判断命题“严格减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由； （3）若函数 f xkx2 x3x0 具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数 第 16 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) gx f sinxsinx在区间 0,π 上零点的个数． 【答案】（1）F(x)2x1， f x 具有性质A； （2）假命题，理由见解析； （3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由 f x x2 2，结合Fx f x1 f x 即可得出Fx 解析式，由Fx 单调 性，进而可得出结果； （2）判断命题“严格减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如 f x0.5x； （3）若函数 f xkx2 x3x0 具有性质A，可知Fx 在x 0为增函数，进而可求出实数k的取 值范围；再令t sinx0t 1 ，则gx f sinxsinx在区间 0,π 上零点的个数，即是 f tt 的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果. 【小问1详解】  f x x2 2，Fx(x1)2 2x2 22x1， Fx 在R上递增，可知 f x 具有性质A； 【小问2详解】 命题“严格减函数不具有性质A”，为假命题，比如： f x0.5x， Fx f x1 f x0.5x1在R上递增， f x 具有性质A； 【小问3详解】 若函数 f xkx2 x3x0 具有性质A， 可得Fx f x1 f xk(x1)2 (x1)3 kx2 x3 3x2 32kx1k 32k 3 在x 0递增，可得 0，解得k  ； 6 2 gx f sinxsinxksinx2 sinx3 sinx,x0,π， 令gx0， 得ksinx2 sinx3 sinx0， 即sinx 0或ksinxsinx2 1， 第 17 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) sinx2 1 得x0或x  π或k  ,x0,π， sinx 令t sinx0t 1 ， 1t2 1 则k   t， t t 1 由 t 在 0,1 递减，且值域为 0, ， t  3  则k   ,0 时，无解；  2  π 当k 0时，t sinx1 x ，有一个解； 2 当k 0时，t0,1，即t sinx有两个解；  3  综上：当k   ,0 时，gx 在区间 0,π 上零点的个数为2；  2  当k 0时，gx 在区间 0,π 上零点的个数为3； 当k0, 时，gx 在区间 0,π 上零点的个数为4； 【点睛】关键点睛：本题考查函数的新概念问题，涉及到函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问 题，按照题中条件结合函数的性质分析是解决本题的关键. 第 18 页 共 18 页