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2022 学年第一学期初三数学
（测试时间：100分钟，满分：150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列函数中， 关于 的二次函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】形如： ，则 是 的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解： ，当 时， 不是 的二次函数，故 错误；
， 不是 的二次函数，故 错误；
，即 ， 是 的二次函数，故 正确；
，即 ， 不是 的二次函数，故 错误；
故选：
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2. 在 中， ，如果 ， ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正
切为对边比邻边．
3. 已知 和 都是单位向量，下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断即可．
【详解】解：A、单位向量的模相等，故该选项正确；
B、单位向量 与单位向量 方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意；
C、 ，故该选项错误，不符合题意；
D、单位向量 与单位向量 方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
4. 已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（ ）
A. 5( -1) B. 5( +1) C. 10( -2) - D. 5(3- )
【答案】C
【解析】
【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据PQ=AQ+PB
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学科网（北京）股份有限公司－AB即可求出PQ的长度．
【详解】解：如图，
根据黄金分割点的概念，可知 ，
AQ=PB，
AB=10，
AQ=PB= ，
PQ=AQ+PB－AB= ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
5. 在 ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【详解】解：当 时，不能判定DE∥BC，A选项错误；
时，不能判定DE∥BC，B选项错误；
时，DE∥BC，C选项正确；
时，不能判定DE∥BC，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
6. 如图，正方形 与 在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与 相似的
是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 以点 、 、 为顶点的三角形 B. 以点 、 、 为顶点的三角形
C. 以点 、 、 为顶点的三角形 D. 以点 、 、 为顶点的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出三角形的边长，根据相似三角形的判定判断即可．
【详解】由图可知 ， ，由勾股定理得： ，
A． 最大的角为 ，∴ 两三角形不相似，故A选项不符合题意．
B． 最大的角为 ，∴ 两三角形不相似，故B选项不符合题意．
C．由图可知 的边 ，由勾股定理得 两条边分别为 ， ，∴
，∴ 与 三边成比例，∴ 两三角形相似，故C选项符合题意．
D．由图可知 的边 ，由勾股定理得 两条边分别为 ， ，∴
与 三边不成比例，∴ 两三角形不相似，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定定理的应用，解题的关键是熟练应用相似三角形的判定
定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设 ， ，代入即可求得结果．
【详解】解：设 ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，设出x、y是解决本题的关键．
8. 已知抛物线 ，它与 轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
故它与 轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与y轴的交点问题，熟练掌握和运用二次函数与y轴的交点坐标的求法是解
决本题的关键．
9. 抛物线 向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向下平移1个单位所得抛物线解析式为： ，即 ；
再向右平移3个单位为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司10. 二次函数 图像上的最低点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先可求得该二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解： ，
该二次函数的顶点坐标为 ，
又 ，
该二次函数图像的开口向上，
该二次函数图像上的最低点的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标及二次函数的性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本
题的关键．
11. 如果两个相似三角形的面积之比为 ，这两个三角形的周长的和是 ，那么较小的三角形的周
长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，即可解答．
【详解】解： 两个相似三角形的面积之比为 ，
这两个三角形的周长之比为 ，
设两个三角形的周长分别为 ， ，
又 这两个三角形的周长的和是 ，
，
解得 ，
故较小的三角形的周长为： ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
12. 如图，Rt 中， 是斜边AB上的中线，已知 ，则 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形斜边中线的性质得出AC长，再根据余弦三角函数的定义计算即可．
【详解】解：∵D是AB上的中点，CD=2，
∴ ，
∴cosA= = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形斜边中线的性质，余弦三角函数的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
13. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度 ，如果它把某物体从地面送到离地面 米高的地方，那么
该物体所经过的路程是______米．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】首先根据坡度求出 ，再利用勾股定理求出 即可得结论．
【详解】解：如图：作 于点B，
由题意得， 米，
∵斜坡的坡度 ，
，即 ，
解得 ，
由勾股定理得 (米)，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
14. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，
若 ＝ ， ＝ ，则用 、 表示 ＝_____．
【答案】 .
【解析】
【分析】由梯形中位线定理得到EF＝ ，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF的
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学科网（北京）股份有限公司长度，利用平面向量表示即可．
【详解】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，
∴四边形AHCD是平行四边形．
∴AD＝HC．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝ ，且GF＝AD．
∴EG＝EF﹣GF＝ ﹣AD＝ ．
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ .
故答案是： .
【点睛】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．
15. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，
AD＝2，那么DE的长等于________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一线三等角证明 ，列出比例式代入数值计算即可．
【详解】 △ABC为等边三角形，
，
∠ADE＝60°，
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学科网（北京）股份有限公司,
BD：DC＝1：2，AD＝2，
设
则
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键．
16. 如图，在 中， ， ， ，正方形 内接于 ，点 、 分
别在边 、 上，点 、 在斜边 上，那么正方形 边的长是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过点C作 于点M，交 于点N，首先由勾股定理得出 的长，由面积法即可求出
的长，可证得 ，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图：过点C作 于点M，交 于点N，
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学科网（北京）股份有限公司中， ， ， ，
，
，
∴ ，
∵正方形 内接于 ，
， ，
，
， ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵
活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17. 在 中， ， ， ，以 为边在 外作等边 ，设点
、 分别是 和 的重心，则两重心 与 之间的距离是______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】连接 并延长交 于点M，连接 并延长交 于点N，连接 ，过点N作 ，
交 的延长线于点G，首先根据直角三角形的性质，可求得 ， ，根据等边三角形
的性质，可得 ， ，
可求得 ， ，再根据重心的定义及性质，可得 ， 、 分
别是 边、 边上的中线，可求得 ， ，即可求得 ， ， ，
再利用勾股定可理可求得 ，由相似三角形的判定定理，可证得 ，可得
，据此即可求得 的长．
【详解】解：如图：连接 并延长交 于点M，连接 并延长交 于点N，连接 ，过点N作
，交 的延长线于点G，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ， ，
， ，
以 为边在 外作等边 ，
， ，
，
，
点 、 分别是 和 的重心，
， 、 分别是 边、 边上的中线，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
两重心 与 之间的距离是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，重心的定义及性质，相似三角形的判定及性
质，作出辅助线是解决本题的关键．
18. 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，点 在边 上，将
沿 翻折，使得点 落在点 处，当 时，那么 的长为________________．
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情形分别求解，作DF⊥AB于F，连接AA′．想办法求出AE，利用等腰直角三角形的性
质求出AA′即可．
【详解】如图，作DF⊥AB于F，连接AA′．
在Rt△ACB中，BC＝ ＝6，
∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，
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学科网（北京）股份有限公司∴△AFD∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴DF＝ ，AF＝ ，
∵A′E⊥AB，
∴∠AEA′＝90°，
由翻折不变性可知：∠AED＝45°，
∴EF＝DF＝ ，
∴AE＝A′E＝ ＋ ＝ ，
∴AA′＝ ，
如图，作DF⊥AB于F，当 EA′⊥AB时，同法可得AE＝ − ＝ ，AA′＝ AE＝ ．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
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学科网（北京）股份有限公司19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先将特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后根据实数混合运算的法则进行计算即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是特殊三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.
20. 已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C
（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】 ，函数图像的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3．
【解析】
【分析】（1）分别把A（1，0），B（0，-5），C（2，3）代入 ，利用待定系数法可得
a=1，b＝6，c＝-5，从而得出这个二次函数关系式；然后将函数解析式化为顶点式，即可的得到答案．
【详解】解：由这个函数的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
解得
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学科网（北京）股份有限公司所以，所求函数的解析式为 ．
．
所以，这个函数图像的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
21. 如图，已知在 中， ，垂足为点 ， 点 是边 的
中点．
（1）求边 的长；
（2）求 的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 求出 ，在 中由勾股定理可求出 的长；
（2）过点 作 于点F，证明 ，根据相似三角形的性质求出EF，DF的长，根据
勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴ 和 均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
【小问2详解】
过点 作 于点F，如图，
∵ ，
∴ //
∴
∴
∵点 是边 的中点
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∵
∴
∴
∴
在 中，∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构
造直角三角形是解答本题的关键．
22. 如图，在大楼 的正前方有一斜坡 ， 米，坡度 ，小明在斜坡下端 处测得楼
顶点 的仰角为60°，在斜坡上的点 处测得楼顶 的的仰角为30°， 与地面垂直，垂足为 ，其
中点 、 、 在同一直线上．
的
（1）求 值；
（2）求大楼 的高度（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）10米 （2） 米
【解析】
【分析】（1）在 中，利用坡度的定义及勾股定理求出 的长即可；
（2）过D作 垂直于 ，交 于点F，设 米，可求得 ，表示出 ，
，在 中，利用三角函数列出关于 的方程，求出方程的解得到 的值，即可确定出 的长．
【小问1详解】
∵在大楼 的正前方有一斜坡 ，坡度
设 ，
∴在 中，根据勾股定理得：
∵ 米
∴ 米
∴ 米
∴ 米
答： 为10米．
【小问2详解】
作 ，交 于点 ，
由（1） ，
设 米，在 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司米, 米, 米
在 中，
，
，
，
米，
米，
答：大楼 的高度为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用坡度和锐角三角函数解答问题．
23. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，
．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）由 及∠AFG=∠EFA，证得△FAG∽△FEA，结合 AE∥BC，证得∠EBC
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学科网（北京）股份有限公司=∠FAG，从证得结论；
（2）由（1）的结论得到 ，证得△CDG ∽△CAB，结合AE∥BC，证得 ，继而证得
结论.
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
又∵∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA．
∴∠FAG=∠E．
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∴∠EBC =∠FAG．
又∵∠ACD=∠BCG，
∴△CAD ∽△CBG．
（2）∵△CAD ∽△CBG，
∴ ．
又∵∠DCG=∠ACB，
∴△CDG ∽△CAB，
∴ ．
∵AE∥BC，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间
比是解题的关键.
24. 在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交
点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求 AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线△BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．
【答案】（1）y＝ ；（2） ；（3）点E的坐标为（3，1）．
【解析】
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点M作
MH⊥y轴，垂足为点H，利用分割图形求面积法可得出 AMC的面积；
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，则 B△GA， OCB是等腰直角三角形，进而可得出
∠BAO＝∠DBO，由∠DOB＋∠BOE＝45°，∠BOE＋△∠EOA＝△45°可得出∠EOA＝∠DOB，进而可证出
AOE∽△BOD，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线x＝1可求出AE的长，过点E作
△
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学科网（北京）股份有限公司EF⊥x轴，垂足为点F，则 AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出AF、EF的长，
进而可得出点E的坐标． △
【详解】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2＋bx＋2，得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2＋ x＋2．
（2）∵y＝﹣ x2＋ x＋2＝﹣ （x﹣1）2＋ ，
∴顶点M的坐标为（1， ）．
当x＝0时，y＝﹣ x2＋ x＋2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．
∴S ＝S ﹣S ﹣S ，
AMC 梯形AOHM AOC CHM
△ △ △
＝ （HM＋AO）•OH﹣ AO•OC﹣ CH•MH，
＝ ×（1＋4）× ﹣ ×4×2﹣ ×（ ﹣2）×1，
＝ ．
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．
∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），
∴BG＝2，GA＝2，
∴△BGA是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
第24页/共32页
学科网（北京）股份有限公司同理，可得：∠BOA＝45°．
∵点C的坐标为（2，0），
∴BC＝2，OC＝2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，BO＝2 ，
∴∠BAO＝∠DBO．
∵∠DOE＝45°，
∴∠DOB＋∠BOE＝45°．
∵∠BOE＋∠EOA＝45°，
∴∠EOA＝∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴ ．
∵抛物线y＝﹣ x2＋ x＋2的对称轴是直线x＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
∴BD＝1，
∴ ，
∴AE＝ ，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则 AEF为等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝1， △
∴点E的坐标为（3，1）．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、
三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点
的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积
公式，求出 AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度．
△
25. 如图，已知在 中， ， ，点D为边 上一动点（与点B、C不重
合），点E为边 上一点， ，过点E作 ，垂足为点G，交射线 于点F．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如果点D为边 的中点，求 的正切值；
（2）当点F在边 上时，设 ， ，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结 如果 与 相似，求线段 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）4 -4、 或 ．
【解析】
【分析】（1））过点D作 于H，在 中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等
积法，解得DH、AH的长即可解题；
（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示 ， 再证明
由 即 得到与x的关系；
（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，继而解得
x、y的值即可解题．
【详解】（1）过点D作 于H，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，
；
（2）过E作EH⊥CB于H
∵ ，
∴ ．
第28页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ 即 ．
∴ ．
∵EH⊥CB， ，
∴ ， ．
∴
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ．
∵
∴ ．
∴ 即 ．
整理得， ；
（3）在Rt MDB中，DB=4-x,
△
所以MD=MB=
在Rt ADM中，AM=AB一MB=
△
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学科网（北京）股份有限公司所以tan∠DAB=
按照点F的位置，分两种情况讨论 CDF与 AGE相似:
①点F在线段AC上，此时y=4-2x.△ △
如图，
如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得
结合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.
解得x=4 -4 或-4 -4 （舍去）,
如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得
结合y=4-2x,整理，得x2-16x+16=0.
解得 或 （舍去）
②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4
如图
第30页/共32页
学科网（北京）股份有限公司如果∠FDC=∠DAB,由 结合y=2x-4，整理，得
解得x= 或 （舍去）
如果∠CFD=∠DAB, 与y=2x-4
整理，得
此方程无解.
综上，CD的值为4 -4、 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形 的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利
用相似三角形性质构造方程．
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司第32页/共32页
学科网（北京）股份有限公司
