精品解析：上海市徐汇区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_上学期_3：期末

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徐汇区学年初二年级第一学期
期末考试数学试卷
（考试时间 90分钟，满分 100分）
一．选择题（本大题共 6题，每题 3分，满分 18 分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
1
A. B. 12y C. x2 2x1 D. 13ab
p1
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义去判断即可．
1
【详解】∵ 含有分母，
p1
1
∴ 不是最简二次根式，
p1
故A不符合题意；
∵ 12y = 223y 含有开方不尽的因数，
∴ 12y 不是最简二次根式，
故B不符合题意；
∵ x2 2x1= (x1)2 含有开方不尽的因数，
∴ x2 2x1不是最简二次根式，
故C不符合题意；
13ab 是最简二次根式，
故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式即被开方数中的每一个因数的指数都小于根指数2，正确理解最简二次
根式的定义是解题的关键．
2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2 3x10 B. x2 3x0 C. x2 2x10 D. x2 2x30
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【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：A、32 41130 ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题
意；
B、32
4090，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、22
410，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、22
4380，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数y ax2 bxca 0 ，当
b2 4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当b2 4ac0 时，方程有两个相等的实数根；
当b2 4ac<0 时，方程没有实数根是解题的关键．
3. 如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为（3，-4），那么另一个交点的坐标为（ ）
A. （-3，-4） B. （3，4） C. （−3，4） D. （-4，3）
【答案】C
【解析】
【分析】根据两交点关于原点对称求解．
a
【详解】设正比例函数解析式为y kx，反比例函数解析式为y
x
 a  a
 a x x
y  a  k  k
∴联立得 x ，解得x2  ， 或
 y kx k  y k a  y k a
 
 k  k
∴正比例函数和反比例函数交点关于原点对称
∴如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为（3，-4），那么另一个交点的坐标为（−3，
4）
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，也是基本的
方法，需熟练掌握，另外，利用对称性求解更简单，且不容易出错．
4. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
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A. 三内角之比为3：4：5 B. 三边长的平方之比为1：2：3
C. 三边长之比为7：24：25 D. 三内角之比为1：2：3
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可直接进行排除选项．
【详解】解：A、由三内角之比为3：4：5可设这个三角形的三个内角分别为3k,4k,5k ，根据三角形内角
和可得3k4k5k 180，所以k 15，所以这个三角形的最大角为5×15°=75°，故不是直角三角
形，符合题意；
B、由三边长的平方之比为1：2：3可知该三角形满足勾股定理逆定理，即1+2=3，所以是直角三角形，
故不符合题意；
C、由三边长之比为7：24：25可设这个三角形的三边长分别为7k,24k,25k ，则有
7k2 24k2 25k2
，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由三内角之比为1：2：3可设这个三角形的三个内角分别为k,2k,3k，根据三角形内角和可得
k2k3k 180，所以k 30，所以这个三角形的最大角为3×30°=90°，是直角三角形，故不符
合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题
的关键．
5. 下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（ ）
（1）全等三角形的对应边相等； （2）对顶角相等；
（3）等角对等边； （4）全等三角形的面积相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】（1）逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，正确；
（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；
（3）逆命题是：等边对等角，正确；
（4）逆命题是：面积相等，两三角形全等，错误．
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故选：B．
【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，
难度适中．
k
6. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y= （k＞0）上不同的三点，连接
x
OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相
交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S 、S 、S ，则（ ）
1 2 3
A. S =S +S B. S =S
1 2 3 2 3
C. S ＞S ＞S D. S S ＜S 2
3 2 1 1 2 3
【答案】B
【解析】
k
【分析】先根据反比例函数的几何意义可得

AOD,

BOE,

COF 的面积都等于 ，再逐项分析即可得．
2
k
【详解】解：由题意得：

AOD,

BOE,

COF 的面积都等于 ，
2
k k
S  ,S S  S ，
1 2 2 3 2 EOM
A、S 与S S 不一定相等，此项错误；
1 2 3
B、S S ，此项正确；
2 3
C、S S S ，此项错误；
3 2 1
D、S S S S S2 S2，此项错误；
1 2 2 2 2 3
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．
二．填空题（本大题共 12题，每题 2分，满分 24 分）
7. 函数y  2x的定义域为 ___________________．
【答案】x≤2.
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【解析】
【分析】y  2x有意义，可得2-x≥0，解不等式即可得到所求定义域．
【详解】解：y  2x有意义，
可得2-x≥0，
解得x≤2.
故答案为x≤2.
【点睛】本题考查求函数的定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，
从而求出定义域来．
x
8. 已知函数y＝ ，当x＝ 2 时，y＝_____．
x1
【答案】2+ 2
【解析】
【分析】把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可．
【详解】解：当x＝ 2 时，
x 2 2( 21)
函数y＝ ＝ ＝ ＝2+ 2 ，
x1 21 ( 21)( 21)
故答案为：2+ 2 ．
【点睛】本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．
9. 已知0是关于x的一元二次方程(m1)x2 2xm2 10的一个实数根，则m=______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零可得m10，由0是一元二次方程方程的解，把
x0，代入方程可得m2 10，进而即可解得m的值．
【详解】解：∵0是关于x的一元二次方程(m1)x2 2xm2 10的一个实数根，
∴m2 10，且m10，
∴m1，
故应填-1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程中的字母求值问题．
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10. 在实数范围内因式分解：2x2 3x1_________．
 3 17  3 17 
【答案】2x x 
  
4 4
  
【解析】
3 1
【分析】结合题意，当x2  x 0时，通过求解一元二次方程，得
2 2
3 1  3 17  3 17   3 1
x2  x   x     x   0，结合2x2 3x12  x2  x ，即可得到答案．
2 2  4  4   2 2
 3 1
【详解】2x2 3x12

x2  x

 2 2
当x2  3 x 1 0时，得
x
3 32 421

3 17
2 2
4 4
3 1  3 17  3 17 
∴x2  x x x 0
  
2 2 4 4
  
3 1  3 17  3 17 
∴x2  x x x 
  
2 2 4 4
  
 3 17  3 17 
∴2x2 3x12x x 
  
4 4
  
 3 17  3 17 
故答案为：2x x ．
  
4 4
  
【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而
完成求解．
1 k
11. 若M(1,y )、N( ,y )两点都在函数y  的图像上，且y <y ，则k的取值范围是______．
1 2 2 x 1 2
【答案】k<0
【解析】
1
【分析】根据1 ，且y <y ，可得y随x 的增大而增大，即可求解
2 1 2
1
【详解】解：∵1 ，且y <y ，
2 1 2
∴y 随x 的增大而增大，
∴k 0
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故答案为：k 0
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握对于反比例函数y  k 0 ，当k 0
x
时，在每一象限内， y 随x 的增大而减小，当k 0 时，在每一象限内，y 随x 的增大而增大是解题
的关键．
12. 已知正比例函数y kxk 0 的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据正比例函数的图象可得k 0，再将点(k,k2)代入函数的解析式可得一个关于k的一元
二次方程，解方程即可得．
【详解】解：

正比例函数y kxk 0 的图象经过第一、三象限，
k 0，
由题意，将点(k,k2)代入函数y kxk 0 得：k2 k2，
解得k 2或k 10（舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关
键．
13. 以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是_____．
【答案】线段AB的垂直平分线（AB中点除外）
【解析】
【分析】根据等边对等角，得到两个底角相等，两个底角的一半也是相等的，利用等角对等边，交点到
A，B的距离相等，得到结论．
【详解】如图，∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，
1 1
∴ ∠CAB= ∠CBA，
2 2
∴∠DAB=∠DBA，
∴D在AB的垂直平分线上，
故答案为：线段AB的垂直平分线（AB中点除外）．
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【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的逆定理，
熟练等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．
14. 如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么
∠A=____°．
【答案】74
【解析】
【分析】连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及
等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵DE垂直平分BC，AB=CD，
∴BD=CD=AB，
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∵∠C=37°，
∴∠DBC=∠C=37°，
∴∠ADB=2∠C=74°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=74°，
故答案为74．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线
段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝___．
【答案】4
【解析】
【分析】作EG⊥OA于G，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝
∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一
半解题．
【详解】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线
的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
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16. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，
AE⊥AB，∠B=60°，AF=2 3，则梯形的面积是___．
【答案】8 3
【解析】
【分析】根据已知条件易证△ADM≌△ECM，得 S ＝S ，进而得到 S ＝S ，然后解直角
△ADM △ECM 梯形 △ABE
△ABF，求出AB，进而可得AE，根据三角形面积公式求出S 即可．
△ABE
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠E，∠D＝∠ECM，
∵DM＝CM，
∴△ADM≌△ECM，
∴S ＝S ，
△ADM △ECM
∴S ＝S ，
梯形 △ABE
∵AF⊥BC，∠B＝60°，AF＝2 3，
AF 3 2 3
∴sin60°＝ ，即 = ，
AB 2 AB
解得：AB 4，
∵AE⊥AB，
∴AE = 3AB=4 3，
1 1
∴S ＝ AB×AE = ´ 4´ 4 3 =8 3，即梯形的面积是8 3，
△ABE
2 2
故答案为：8 3．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识点，求出S ＝
梯形
S 是解题关键．
△ABE
17. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC
中，∠C=90° ，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB=_______．
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2 21
【答案】 7 或
3
【解析】
【分析】分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
∵∠C=90°，AC=2，
∴CD=1,BD=2
∴BC2  BD2 CD2 22 12 3,
∴AB AC2 BC2  22 3  7
当BC边上的中线AE等于BC时，
∵AC2=AE2−CE2，
1
∴BC2−( BC)2=22，
2
16
解得，BC2= ，
3
16 2 21
∴AB AC2 BC2  22   ,
3 3
2 21
综上所述，AB= 7 或AB= ,
3
2 21
故答案为 7 或 .
3
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2. 熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，ACB90，B 30，
AC 1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A处，如图2，第二步，将纸片
沿CA折叠，点D落在D¢处，如图3．当点D¢恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为
__________．
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1
【答案】 或2 3
2
【解析】
【分析】因为点D¢恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D¢落在AB边上和BC边上两种情况分
析，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当D¢落在AB边上时，如图（1）：
设DD交AB于点E，
由折叠知：EADA60,
AD AD AD,DD AE,AC  AC
ACB90，B 30，AC 1

AB2,BC  3
1
设AD  x，则在Rt AED中，AE  x

2
1 3
在Rt ECB中，EC  BC 

2 2
AC  AC

1 3
 x 1
2 2
即x2 3．
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当D¢落在BC边上时，如图（2）
因为折叠，ACDACDACD30,
1 1
 AD AC  AB,AC  AB AC 1
2 2
1
AD AD ．
2
1
故答案为： 或2 3
2
【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三．简答题（第 19、20、21、22、23每题 6分，24、25每题 8分，26题 12分）
2  2
19. 计算： 2 6  3 2 ．
31
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【答案】3 32 64
【解析】
【分析】先根据二次根式的乘法、分母有理化和完全平方公式化简，再计算加减即可．
【详解】解：原式=2 3 3152 6,
=3 32 64．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则．
20. 用配方法解方程：x2 4x20．
【答案】x 2 6 ，x 2 6 ．
1 2
【解析】
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：x2 4x20，
x2 4x2，
x2 4x424，
(x2)2 6，
x2 6，
x2 6，
即x 2 6,x 2 6．
1 2
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
21. 关于x的一元二次方程2x2 (m2)x20有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【答案】当m 6时，x  x 1；当m 2时，x  x 1
1 1 2 2 1 2
【解析】
【分析】根据原方程有两个相等的实数根可以得到有关m的方程，解得m的值，再代入得到方程的解即
可．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴(m2)2 422m2 4m12=0
∴m 6,m  2
1 2
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当m 6时，x  x 1
1 1 2
当m 2时，x  x 1
2 1 2
【点睛】考查了根的判别式的知识，解题的关键是根据根的情况得到方程．当Δ=0时，方程有两个相等的
两个实数根；
22. 某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6
万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．
【答案】20%
【解析】
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，
则10月份的营业额是400（1+10%）（1+x），11月份的营业额是400（1+10%）（1+x）2，据此即可列方程
求解．
【详解】解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，
依题意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用--增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），
根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
23. 接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地
在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天接种后，由于情况变化，接
种速度放缓．图中的折线BCD和线段OA分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x(天)之
间的函数关系．根据图像所提供的信息回答下列问题
（1）乙地比甲地提前了________天完成疫苗接种工作．
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（2）试写出乙地接种人数y （万人）与接种时间x(天)之间的函数解析式______．
2
（3）当甲地放缓接种速度后，每天可接种_______万人．
1
【答案】（1）20 （2）y  x
2 2
（3）0.25
【解析】
【分析】（1）看图像，乙地用80天完成，甲地用100天，时间差即为提前天数．
（2）乙地接种人数y （万人）与接种时间x(天)成正比，且过点（80，40），用待定系数法求解即可；
2
（3）先根据BC与y 相同，求得BC的解析式，确定a值，再确定CD的解析式即可．
2
【小问1详解】
看图像，乙地用80天完成，甲地用100天，∴提前100-80=20（天），
故答案为：20．
【小问2详解】
∵乙地接种人数y （万人）与接种时间x(天)成正比，
2
∴设y =mx，
2
∵函数经过点（80，40），
∴40=80m，
1
解得m= ，
2
∴y = 1 x，
2 2
故答案为：y = 1 x．
2 2
【小问3详解】
∵y = 1 x，
2 2
∴y = 1 x+b，
BC 2
∵B（0，5），
∴b=5，
∴y = 1 x+5，
BC 2
1
∴25= a+5，
2
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∴a=40，
∴C（40，25），D（100，40），
∴设y =kx+n，
CD
40kn25
∴ ，
100kn40
k 0.25
解得 ，
n15
∴设y =0.25x+15，
CD
故答案为：0.25．
【点睛】本题考查了正比例函数，一次函数解析式的确定，正确获取图像信息，灵活用待定系数法是解题
的关键．
24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，CB=2，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一
条直线上，且ED=FD，
（1）求证：FB⊥CB；
（2）联结CD，若CD⊥EF，求CE的长．
5
【答案】（1）见解析 （2）
2
【解析】
【分析】（1）先证明△ADE△BDF可得AFBD，再由∠ACB=90°可得∠A+∠ABC=90°，再根据等量
代换可得FBC=90°即可证明结论；
（2）如图：联结CD、CF．根据题意可得CF=EF，设CE=x，则CF=x，BF=AE=4-x，然后根据勾股定理
列方程求得x即可．
【小问1详解】
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（1）证明：∵D是AB中点，
∴AD=BD
在△ADE与△BDF中，
 AD BD

ADE BDF

ED FD

∴△ADE△BDF
∴AFBD，AE=BF．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴FBD+∠ABC=90°，即FBC=90°，
∴FBCB．
【小问2详解】
解：（2）如图：联结CD、CF．
∵CDEF，ED=FD，
∴CF=CE，
设CE=x，则CF=x，BF=AE=4-x，
Rt△FBC中，BF2 BC2 CF2，
∴22 (4x）2  x2，
5 5
∴x= ，即CE= ．
2 2
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确运用勾
股定理列方程成为解答本题的关键．
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k
25. 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0，k＞0图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．
x
（1）求n的值；
k
（2）如图，直线l为正比例函数y＝x的图象， 点A在反比例函数y＝ （x＞0，k＞0）的图象上，过点
x
A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S ，
1
△ABD的面积为S ，求S ﹣S 的值．
2 1 2
【答案】（1）2（2）6
【解析】
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n•3n＝（n+1）•2n，然后解方程可得n的值；
（2）设B（m，m），利用△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC＝45°，再证明△ABD为等腰直角三角
12
形，则可设BD＝AD＝t，所以A（m+t，m﹣t），把A（m+t，m﹣t）代入y＝ 中得到m2﹣t2＝12，然后
x
利用整体代入的方法计算S ﹣S ．
1 2
k
【详解】解：（1）∵反比例函数y＝ （x＞0，k＞0图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．
x
∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n＝2或n＝0（舍去），
∴n的值为2；
12
（2）反比例函数解析式为y＝ ，
x
设B（m，m），
∵OC＝BC＝m，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABC＝45°，
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∴△ABD为等腰直角三角形，
设BD＝AD＝t，则A（m+t，m﹣t），
12
∵A（m+t，m﹣t）在反比例函数解析式为y＝ 上，
x
∴（m+t）（m﹣t）＝12，
∴m2﹣t2＝12，
1 1 1
∴S ﹣S ＝ m2  t2  12＝6．
1 2
2 2 2
k
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝ （k≠0）图象中任取一点，过
x
这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性
质．
26. 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=2 3，点D在射线BC上，以点D为圆心，
BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：EA=EG；
（2）若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度．
2 3x2 3
【答案】（1）见解析 （2）y  1 x2
3
8 204 3 204 3
（3） , ,
5 11 11
【解析】
【分析】（1）在BA上截取BM=BC=2，在Rt△ACB中，由勾股定理AC2 BC2  AB2，可得AB=4，进
而可得∠A=30°，∠B=60°；由DE=DB，可证△DEB是等边三角形，∠BED=60°，由外角和定理得
∠BED=∠A+∠G，进而得∠G=30°，所以∠A=∠G，即可证EA=EG；
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（2）由△DEB是等边三角形可得BE=DE，由BD=x，FC=y，得BE=x， DE=x，AE=AB-BE=4-x，在
2 3(4x)
Rt△AEF中，由勾股定理可表示出 AF  ,，把相关量代入FC=AC-AF，整理即可得y关于x
3
的函数解析式；当F点与C点重合时，x取得最小值1，G在线段AC延长线上,可知，D点不能与C点重
合，所以x最大值小于2，故可得1≤x<2；
（3）连接DF，根据等腰三角形的判定定理，有两条边相等的三角形是等腰三角形，分三种情况①当
CF CG时，②当DG  FG时③当DF  FG时，分别计算即可得BD的长．
【小问1详解】
如图，在BA上截取BM=BC=2，
Rt△ACB中，∠C=90°
∵AC=2 3，BC=2，
 2
∴AB= 22  2 3 4
∴AM=AB-BM=2，
∴CM=BM=AM=2，
∴△BCM是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵DE=DB，∴△DEB是等边三角形，
∴∠BED=60°，
∵∠BED=∠A+∠G，
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∴∠G=30°
∴∠A=∠G，
∴EA=EG．
【小问2详解】
∵△DEB是等边三角形，
∴BE=DE
设BE=x，则DE=x，AE=AB-BE=4-x
∵∠A=30°，∠AEF=90°，
1
∴EF= AF ，
2
Rt△AEF中，AE2 EF2  AF2
2 3(4x)
∴AF  ,
3
∵FC=AC-AF，
2 3(4x) 2 3x2 3
∴y 2 3 , y =
3 3
定义域：1≤x<2
【小问3详解】
连接DF，
Rt△ACB中，∠C=90°
∴AC2 BC2  AB2
∵AC=2 3，BC=2，BD=x，
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∴AB=4，EA=EG=4-x，DG 42x，DC2x，
①当CF CG时，在Rt△DCG中，
∴DG2  DC2 CG2，
2 3x2 3
(42x)2 (2x)2 ( )2，
3
8
解得：x 4（舍去），x = ；
1 2 5
②当DG  FG时，
在Rt△DCG中，∠G=30°，
∴DG=2DC，
∴CG= DG2 DC2  3DC  32x
2 3x2 3
∴42x 3(2x) ，
3
204 3
解之得：x ；
11
③当DF  FG时，在Rt△DCF中，
2 3x2 3
DF2  DC2 CF2 (2x)2 ( )2，
3
∴DF2  FG2，
2
2 3x2 3  3 2 3x2 3
(2x)2 ( )2  (42x)  ，
3 2 3
 
204 3
解得：x ；
11
8 204 3 204 3
综上所述：BD的长为 或 或 ．
5 11 11
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定等有关知识，正确进行分析，熟练掌握和灵活运用
相关知识是解题的关键，注意分类思想的运用．
第 23 页 共 23 页