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2022 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ， ，则 _________.
的
2. 若角 终边过点 ，则 的值为_____________.
3. 抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163 165 161 157 162
165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.
4. 命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范围是__________.
5. 在正项等比数列 中， ，则 ______．
6. 设一组样本数据 ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， 的方差为
___________.
7. 如图所示，圆锥 的底面圆半径 ，侧面的平面展开图的面积为 ，则此圆锥的体积为
_________.
8. 若 ， ，则
_________.
9. 已知双曲线 的左焦点为 ，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于
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A、B两点，O为坐标原点， 的面积为 ，则F到双曲线的渐近线距离为_________.
10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰
问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A “ 为 4名同学所报项目各不相同”，事件
B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 _________.
11. 已知函数 ， ，其中 ， ，若 的最小值为2，则实数 的取
值范围是__________.
12. 已知数列 满足：对于任意 有 ，且 ， ，其中
.若 ，数列 的前 项和为 ，则 _________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设 ，则 是 为纯虚数的（ ）
.
A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确
率如下图：
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则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
的
D. 讲座后问卷答题 正确率的极差大于讲座前正确率的极差
15. 设函数 ，现有如下命题，①若方程 有四个不同的实根 、 、 、
，则 的取值范围是 ；②方程 的不同实根的个数只能是
1，2，3，8.下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
16. 如图：棱长为2的正方体 的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱 的中点，G
在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（ ）
①存在点G，使OD垂直于平面 ；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线 被球О截得的
弦长为 ；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 .
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤.
17. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展
“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了
300人，并将所得结果统计如下表所示.
分组区间
人数 30 75 105 60 30
支持态度人
24 66 90 42 18
数
（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；
年龄 在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计
支持态度人数
不支持态度人数
总计
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记 为4
人中持支持态度的人数，求 的分布以及数学期望.
参考数据：
参考公式：
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18. 已知向量 ， ，函数 .
（1）设 ，且 ，求 的值；
（2）在 中， ， ，且 的面积为 ，求 的值.
19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E，F分别在 ，
，且 ， .设 .
（1）当 时，求异面直线 与 所成角的大小；
（2）当平面 平面 时，求 的值.
20. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ： 与椭圆C
交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.
（1）当 时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求 的周长；
（2）当 且直线 过点 时，设 ， ，求证： 为定值，并求出该
值；
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（3）若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大
值.
21. 已知常数 为非零整数，若函数 ， 满足：对任意 ，
，则称函数 为 函数.
（1）函数 ， 是否为 函数﹖请说明理由；
（2）若 为 函数，图像在 是一条连续的曲线， ， ，且 在
区间 上仅存在一个极值点，分别记 、 为函数 的最大、小值，求
的取值范围；
（3）若 ， ，且 为 函数， ，对任
意 ，恒有 ，记 的最小值为 ，求 的取值范围及 关于 的表
达式.
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