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2023 届黄浦区高三二模考试数学试卷
一、填空题
1. 设集合 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集含义即可得到答案.
【详解】根据交集含义得 ，
故答案为： .
2. 函数 的最小正周期为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.
【详解】直接根据余弦函数周期公式得 ，
故答案为： .
3. 若函数 的图像经过点 与 ，则m的值为____________．
【答案】81
【解析】
【分析】根据函数图象过的点求得参数 ，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数 的图像经过点 与 ，
则 ，则
故 ，
故答案为：81
4. 设复数 、 在复平面内的对应点关于虚轴对称， （ 为虚数单位），则 ______.
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【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题意得： 所以
考点：复数运算
5. 以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________.
【答案】
【解析】
的
【分析】求出抛物线 焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为： ，
∴以抛物线 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
的
∴圆 方程为； ，
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线的性质及求圆的标准方程的方法，属于中档题.
6. 已知 m 是 与 4 的等差中项，且 ，则 的值为
____________．
【答案】40
【解析】
【分析】首先根据等差中项的性质求出 ，再利用二项式的通项得到相应 值，代入即可得到答案.
【详解】由题意得 ，解得 ，
则二项式 的通项为 ，
令 则有 ，故 ，
故答案为： .
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7. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 ，则实数a的值
为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定 ，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，而 ，
于是 ，解得 ，
所以实数a的值为 .
故答案为：
8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为 的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底
面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学
具的表面积.
【详解】因为圆柱的底面半径与高都为 ，所以挖去的圆雉的母线长为 ，半径
为10，
则圆锥的侧面积为 ，
又圆柱的侧面积为 ，圆柱的一个底面积为 ,
所以学具的表面积为 .
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故答案为：
9. 若函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位所得到，
且函数 在区间 上是严格减函数，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简 ，根据图象平移变换得到 的表达式，结
合函数的单调性确定 ，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
则 ，
当 时， ，
函数 在区间 上是严格减函数，
故 ，即 且 ，
则 ，而 ，故 ，
故答案为：
10. 若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则
经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．
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【答案】
【解析】
【分析】先判断价格比原来的升降情况，然后利用二项分布的知识求解，即得结果.
【详解】设物品原价格为1，因为 ， ，
， ，
故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，
5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为
.
故答案为： .
11. 如图．在直角梯形 中． ，点P是腰 上的动点，
则 的最小值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，求得相关点坐标，求出 的表达式，结合二次函数
的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形 中． ，
则 ，则以A为原点， 为 轴建立平面直角坐标系，
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设 ，设 ，则 ，
故 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
即 的最小值为4，
故答案为：4
12. 已知实数a，b，c满足： 与 ，则abc的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用不等式求得 ，通过减少变量得 ，再利用导数求出其值域即
可.
【详解】由題意得 ，
由 得 ,得 ,所以 ,
令 ，
，
当 时， ，此时 在 和 上单调递增，
当 时， 此时 在 单调递减，
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所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
又因为 ，
则 的取值范围为 .
故答案为： .
二、选择题
13. 若直线 与直线 垂直，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得 的值.
【详解】直线 与直线 垂直，
则 ，解得 ，
故选：B.
14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对
立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．
【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
故选项A中事件互斥不对立，A正确，
选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，
选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，
选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，
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白），所以两个事件不互斥，故D错误，
故选：A．
15. 如图． 与 都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、
AC的中点．设二面角 的大小为 ，当 在区间 内变化时、下列结论正确的是（ ）
A. 存在某一 值．使得
B. 存在某一 值．使得
C. 存在某一 值．使得
D. 存在某一 值，使得
【答案】D
【解析】
【分析】利用反证法，结合线面垂直的判定地理和性质定理以及面面垂直的判定定理逐项判断.
【详解】如图所示：
在等腰三角形 中，设 ，则 ，E为BD的中点，连接AE，CE，则
，
A. 假设存在某一 值．使得 ，又 ， ，则 平面 ，则
，又 ，则 ，矛盾，故错误；
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B.假设存在某一 值．使得 ，又 ，则 平面 ，则
，即 ，又 ， ，则 平面 ，则平面 平面
，矛盾，故错误；
C.假设存在某一 值．使得 ，又 ，则 平面 ，则
，在 中， ，F为AC的中点，因为 为非等腰三角形，所以不
成立，故错误；
D.假设存在某一 值，使得 ，又 ，则 平面 ，则 ，
又 ，则 平面 ，因为 ，则平面 平面 ，所以
，故正确，
故选：D
16. 设数列 的前n项的和为 ，若对任意的 ，都有 ，则称数列 为“K数列”．关于
命题：①存在等差数列 ，使得它是“K数列”；②若 是首项为正数、公比为 q的等比数列，则
是 为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A. ①和②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②都为假命题
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，
结合不等式恒成立即可推理作答.
【详解】令等差数列 的公差为 ，当 时， ，不符合题意，
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当 时， ，
函数 的图象是开口向上的抛物线，对称轴 ，
存在 ，使得 ，取不小于 的正整数 ，则有 ，
即 ，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列 首项 ，因为数列 为“K数列”，则有 ，即 ，
，于是 ，
依题意，任意的 ， ，函数 在 单调递减，值域是 ，
因此 ，所以 是 为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故选：C
【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解
是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
三、解答题
17. 在 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的周长和面积．
【答案】（1） ；
（2）周长32，面积24.
【解析】
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【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得 的值；
（2）先利用正弦定理求得 的的长，进而求得 的周长和面积．
【小问1详解】
在 中， ，又 ，
则 ，
则 .
【小问2详解】
，又 ， ，
则由正弦定理得 ，
则 的周长为
的面积为 ．
18. 如图，多面体 是由棱长为3的正方体 沿平面 截去一角所得到，
在棱 上取一点E，过点 ，C，E的平面交棱 于点F．
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（1）求证： ；
（2）若 ，求点E到平面 的距离以及 与平面 所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2） ，
【解析】
【分析】（1）由题意 ，可得 ∥平面 ，由线面平行的性质定理可得 ，从
而证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的法向量 ，利用点到平面的距离的空间向量
公式及直线与平面所成角的空间向量公式求解即可.
【小问1详解】
∵ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，又 ，则 .
【小问2详解】
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
则点E到平面 的距离为 ；
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
则 与平面 所成角为 .
19. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们
的绩效分数分成5组： ，分别加以统计，得到下列频率分布直
方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．
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（1）请列出 列联表，并判断能否有 的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为 ，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产
标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附： ．
0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，没有 的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出80分及以上的频率即可完善 列联表，再计算 的观
测值作答.
（2）利用（1）中信息，结合条件概率公式列出方程，求解作答.
【小问1详解】
观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为 ，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为 ，绩效分数少于80的人数为60，
35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为 ，
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的
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80 人数为 ，绩效分数少于80的人数为50，
所以 列联表为：
生产标兵 非生产标兵 总计
35周岁及以上组 20 60 80
35周岁以下组 30 50 80
总计 50 110 160
提出零假设 ：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平 ，
的观测值 ，而 ，
所以没有 的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.
【小问2详解】
令事件 表示“在35周岁以下组”， 表示“是生产标兵”，
用样本估计总体知， ， ， ，设 ，
则由 ，得 ，解得 ，
因此 ，
所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为
.
20. 已知双曲线 的中心在坐标原点，左焦点 与右焦点 都在 轴上，离心率为 ，过点 的动直线
与双曲线 交于点 、 ．设 ．
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（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）若点 、 都在双曲线 的右支上，求 的最大值以及 取最大值时 的正切值；（关于求
的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 为 ，建立相应
数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点 在双曲线 的左支上（点 不是该双曲线的顶点，且 ，求证： 是等腰三角形．
且 边的长等于双曲线 的实轴长的2倍．
【答案】（1）
（2） ，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率求出 ，即可求出渐近线方程；
（2）由（1）可得双曲线 的方程为 ，设 ， ，则
利用基本不等式求出 的最大值，此时可得 ，则 轴且
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，求出 ，即可求出 ，再利用二倍角公式求出 ；
（3）设直线 的方程为 ， ， ，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达
定理，依题意可得 ，即可求出 ，从而求出 ，再根据双曲线的定义得到
，即可得证.
【小问1详解】
设双曲线方程为 ，焦距为 ，
由 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
【小问2详解】
由（1）可得 ， ，所以双曲线 的方程为 ，
设 ， ，因为点 、 都在双曲线 的右支上，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，
当 时 ，所以 ，
所以 轴且 ，
又双曲线 的方程为 ，即 ，由 ，解得 ，
可知 ，又 ，所以 ，
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.
【小问3详解】
设直线 的方程为 ，将它代入 ，可得 ，
设 ， ，
可得 ， ，
由 ，可得 ，
故 ，
又 、 同号，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
此时直线 的斜率的绝对值为 ，可知直线 与双曲线的两支都相交，
又 ，所以 ，
则 ，它等于双曲线实轴长 的倍，此时 ，
所以 是等腰三角形.
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【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 三个互不相同的函数 与 在区间 D 上恒有 或恒有
，则称 为 与 在区间D上的“分割函数”．
（1）设 ，试分别判断 是否是 与 在
区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是 与 在区间 上的“分割函数”；
（3）若 ，且存在实数k，b，使得 为 与 在区间 上
的“分割函数”，求 的最大值．
【答案】（1） 是 与 在 上的“分割函数”；
不是 与 在 上的“分割函数”；
（2） ；
（3） .
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【分析】（1）根据题意可得当 时 恒成立，结合“分割函数”的定义依
次判断，即可求解；
（2）根据“分割函数”的性质，则 对一切实数 恒成立，由导数的几何意义和
恒成立可得 且 对一切实数 恒成立，结合图形即可求解；
（3）利用导数求出函数 的极值，则 ，作出其函数与函数
的图象，设直线 与 的图象交于点 ，利用代数法求出弦
长 ，结合导数研究函数 的
性质即可求解.
【小问1详解】
因为 恒成立，且 恒成立，
所以当 时， 恒成立，
故 是 与 在 上的“分割函数”.
又因为 ，当 与 时，其值分别为 与 ，
所以 与 在 上都不恒成立，
故 不是 与 在 上的“分割函数”.
【小问2详解】
设 是 与 在 上的“分割函数”，
则 对一切实数 恒成立,由 ,
当 时，它的值为 ，可知 的图象在 处的切线为直线 ，
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它也是 的图象在 处的切线，
所以 ，可得
所以 对一切实数 恒成立，
即 且 对一切实数 恒成立，
可得 且 ，即 ，
又 时 与 为相同函数，不合题意，
故所求的函数为 .
【小问3详解】
关于函数 ，令 ，可得 ，
当 与 时, ；当 与 时, .
可知 是函数 极小值点，0是极大值点,
该函数与 的图象如图所示.
由 为 与 在区间 , 上的“分割函数”，
故存在 使得 且直线 与 的图象相切，
并且切点横坐标 ∪ ，此时切线方程为 ，
即 ，
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设直线 与 的图象交于点 ，
则由 可得 ，
所以
，
令 ，
(仅当 时， ),
所以 严格减，故 的最大值为 ,可知 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义
去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新
概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新
题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
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