文档内容
九年级数学试卷 2024 年 1 月
（满分：150分，考试时间：100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相
应位置上．】
1. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似
B. 如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似
C. 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似
的
D. 如果一个等腰梯形 一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似
2. 已知： ，如果 与 的相似比为2， 与
相似比为4，那么 与 的相似比为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 如图， 三边上点 ，满足 ，那么下列等式中，成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是 的重心，记 ，那么下列等式中，成立的是（ ）A. B. C. D.
5. 将二次函数 和 的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都
是上升的部分，所对应自变量 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
6. 如图，过矩形 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为 ，依次连接四个垂足，
可得到矩形 ．设对角线 与 的夹角为 ，那么矩形 与矩形 面
积的比值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知 ，则 ＝___．
8. 已知向量 与 是互不平行 的非零向量，如果 ，那么向量 与 是否平行？
答：__________．
9. 已知抛物线 顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线
的表达式__________．
10. 已知抛物线 开口向上，且经过点 和 ，如果点 与 在此抛物
线上，那么 __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
11. 已知点 ，那么直线 与 轴夹角的正弦值是__________．12. 如图，在 中， 是边 上的中线， 为 的重心，过
点 作 交 于点 ，那么 的面积是__________．
13. 已知等腰三角形的腰与底边之比为 ，那么这个等腰三角形底角的余弦值为__________．
14. 如图， 是线段 上一点， ， ， ，连接 并延长交 于点 ，
连接 并延长交 于点 ．已知 ， ， ， ， ，那么
__________．
15. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形 ，它的底边
长20厘米．要截得的矩形 的边 在 上，顶点 分别在边 、 上，设 的
长为 厘米，矩形 的面积为 平方厘米，那么 关于 的函数解析式是__________．（不必写定
义域）16. 如图，点 分别位于 边 上， 与 交于点 ．已知 ，
，则 __________．
17. 如图，在 中， ，将 绕点 旋转到 的位置，其中
点 与点 对应，点 与点 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么 的正切值是__________．
18. 为了研究抛物线 与 在同一平面直角坐标系中的位置特征，
我们可以先取字母常数 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现 与 的位置特
征，你的发现是：__________；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论
的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：__________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．20. 已知抛物线 的顶点为 ，它与 轴的交点为 ．
（1）求线段 的长；
（2）平移该抛物线，使其顶点在 轴上，且与 轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．
21. 如图，在四边形 中， ，对角线 交于点 ．
（1）设 ，试用 的线性组合表示向量 ．
（2）如果 ，求四边形 的面积．
的
22. 在世纪公园 小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利
用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶
端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为 ，树根部为 、树顶端为A，其中 ，视线
的仰角为 （已知 ），视线 的仰角为 （已知 ）．
（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道
这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到
松树的垂直距离，即图示中 的长度，就可以了．”设 ，请你用含有 的代数式表示松树的高度．
（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出
的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据
（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树 的高度．
23. 如图，在平行四边形 中， ，过点 作 ，垂足为 ，再过点 作
交直线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，求证： ．
24. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ．对称轴为直线 的抛物线
经过点 ，其与 轴的另一交点为 ．
的
（1）求该抛物线 表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段 上点 处，得到新抛物线 ，其与直线 的另一个
交点为 ．
的
①如果抛物线 经过点 ，且与 轴 另一交点为 ，求线段 的长；
②试问： 的面积是否随点 在线段 上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，
请求出 面积．
25. 如图， 是 斜边 的中点， 交 于 ，垂足为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如果 与 相似，求其相似比；
（3）如果 ，求 的大小．
