文档内容
九年级数学试卷 2024 年 1 月
（满分：150分，考试时间：100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相
应位置上．】
1. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似
B. 如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似
C. 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似
D. 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似行的判定，掌握各角相等，各边成比例的图形是相似形是解题的关键．
【详解】解：A． 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，
是真命题；
的
B．如果一个等腰三角形 一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因
为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题；
C． 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定
相似，是假命题；
D． 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定
相似，是假命题；
故选A．
2. 已知： ，如果 与 的相似比为2， 与相似比为4，那么 与 的相似比为（ ）
.
A 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出 与
的比值，也就是两三角形的相似比．
【详解】解：∵ ，如果 与 的相似比为2，
与 相似比为4，
， ，
设 ，则 ， ，
，
∴ 与 的相似比为8．
故选：D．
3. 如图， 三边上点 ，满足 ，那么下列等式中，成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由题意可证四边形 是平行四边形，可得
，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【详解】解：∵ ，
， ，
，
，故A错误； ，
∵ ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误，
故选：B．
4. 已知 是 的重心，记 ，那么下列等式中，成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，先推出 ， ，再由重心的性质
可得 ，则 ，由此即可得到 ．
【详解】解：如图所示， 中，G是重心， 是中线，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 是 的重心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
5. 将二次函数 和 的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都
是上升的部分，所对应自变量 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论．
【详解】解：列表：
0 1 2 3
6 3 2 3 6 7 18
6
描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图：
由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量 的取值范围是 ，
故选：C．
6. 如图，过矩形 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为 ，依次连接四个垂足，
可得到矩形 ．设对角线 与 的夹角为 ，那么矩形 与矩形 面
积的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导 ，得到 ，
然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】如图，设对角线 与 交于点O，
∵ ， 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
，
∴ ，
∴矩形 与矩形 面积的比为 ，
故选B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知 ，则 ＝___．
【答案】
【解析】
【分析】由 可得 ，设 =k，则a=2k，b=5k，然后代入 求解即可．
【详解】解：∵
∴
设 =k，则a=2k，b=5k
∴ ．
故填 ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确的对已知条件进行变形成为解答本题的关键．8. 已知向量 与 是互不平行的非零向量，如果 ，那么向量 与 是否平行？
答：__________．
【答案】否
【解析】
【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量 与 平行，则 （k为常数，且 ），据此
可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ （k为常数，且 ），
∴向量 与 不平行，
故答案为：否．
9. 已知抛物线 顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线
的表达式__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题．
【详解】解：抛物线的表达式为： ，
故答案为： ．（答案不唯一）
10. 已知抛物线 开口向上，且经过点 和 ，如果点 与 在此抛物
线上，那么 __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴对称轴为 ，
∵开口向上，
∴对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
故答案为： ．
11. 已知点 ，那么直线 与 轴夹角的正弦值是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过 作 轴，构造直角三角形，可得直线 与
轴夹角的正弦值．
【详解】解：过 作 轴，交 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
直线 与 轴夹角的正弦值 ，
故答案为： ．
12. 如图，在 中， 是边 上的中线， 为 的重心，过
点 作 交 于点 ，那么 的面积是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到
，然后根据平行得到 ，进而得到 计算是解题的关键．
【详解】解：∵ 是边 上的中线，
∴ ，
又∵ 为 的重心， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
13. 已知等腰三角形的腰与底边之比为 ，那么这个等腰三角形底角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、余弦函数的定义．从顶点向底边作高，构造直角三角形，可得底
角的余弦值．
【详解】解：设等腰三角形的腰为 ，底边为 ，
，
如图，即 ， ，
过 作 ，交 于点 ，
， ，
在 中， ，
故答案为： ．
14. 如图， 是线段 上一点， ， ， ，连接 并延长交 于点 ，
连接 并延长交 于点 ．已知 ， ， ， ， ，那么__________．
【答案】1.6
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．先证 ，求得 、 ，再证
，可得 ．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，， ，
，
解得： ，
即 ，
故答案为：1.6．
15. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形 ，它的底边
长20厘米．要截得的矩形 的边 在 上，顶点 分别在边 、 上，设 的
长为 厘米，矩形 的面积为 平方厘米，那么 关于 的函数解析式是__________．（不必写定
义域）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式．根据图中的几何关系先把 表示出来，
再利用矩形面积公式得到 与 的表达式．
【详解】解： 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
、 是等腰直角三角形，
， ，．
故答案为： ．
16. 如图，点 分别位于 边 上， 与 交于点 ．已知 ，
，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．作 ，证明
，推出 ，由 ，利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
17. 如图，在 中， ，将 绕点 旋转到 的位置，其中
点 与点 对应，点 与点 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么 的正切值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作 于点 ，利用旋转的性质以
及面积法和勾股定理求得 ， ，解得 ，再利用由旋转的性质求得
，据此求解即可．
【详解】解：作 于点 ，
∵ ，∴ ，
由旋转的性质得， ， ， ，
由题意得 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
解得 ，
∴ ，
由旋转的性质得， ，则 ，
∴ 的正切值 ，
故答案为： ．
18. 为了研究抛物线 与 在同一平面直角坐标系中的位置特征，
我们可以先取字母常数 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现 与 的位置特
征，你的发现是：__________；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论
的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：__________．
【答案】 ①. 顶点关于原点对称 ②. 顶点的横纵坐标都互为相反数
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意画出相应的图象，得出顶点关于原点对称；分别求得抛物线 和 的顶点坐标，据此即可求解．
【详解】解：取 时，则抛物线 与 ；
取 ， 时，则抛物线 与 ；
观察图象，发现 与 的位置特征是：抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称；
抛物线 的顶点坐标为 ，
的顶点坐标为 ，即 ，
∴顶点关于原点对称，理由是：顶点的横纵坐标都互为相反数．
故答案为：顶点关于原点对称；顶点的横纵坐标都互为相反数．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了特殊角的混合运算：先化简各个特殊角的函数值，再进行分母有理化，最后进行加减
混合运算，即可作答．
【详解】解：
．
20. 已知抛物线 的顶点为 ，它与 轴的交点为 ．
（1）求线段 的长；
（2）平移该抛物线，使其顶点在 轴上，且与 轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的配方求顶点和待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）求出顶点和与 轴的交点坐标，利用两点间距离公式解题即可；
（2）先设解析式为 ，然后写出与 轴两交点的坐标，代入计算即可．
【小问1详解】
解： ，
∴顶点 的坐标为 ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，∴ ；
【小问2详解】
解：设平移后的解析式为 ，
∵与 轴两交点间的距离为4，
∴与 轴两交点为 和 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
∴平移后所得抛物线的表达式为 ．
21. 如图，在四边形 中， ，对角线 交于点 ．
（1）设 ，试用 的线性组合表示向量 ．
（2）如果 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学
会利用参数解决问题．
（1）根据题意可得 ，然后利用平行四边形法则得到 即可；（2）过点D作 交 的延长线于点F，则有 ，得到 ，求出 长，
然后利用勾股定理得到 长计算面积即可
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
过点D作 交 的延长线于点F，
∵ ，
∴ 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去）
∴ ，
∴ ．
22. 在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利
用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶
端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为 ，树根部为 、树顶端为A，其中 ，视线
的仰角为 （已知 ），视线 的仰角为 （已知 ）．
（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道
这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到
松树的垂直距离，即图示中 的长度，就可以了．”设 ，请你用含有 的代数式表示松树
的高度．
（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出
的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树 的高度．
【答案】（1）
（2）在松树上取点D，使 ，并用测角仪测出点D的仰角 ，用直尺测出小山坡的长度
米；
【解析】
【分析】（1）过点M作 于点C，证明四边形 为矩形，得出 ，根据
，求出 ，根据 ，求出 ，即可得出答
案；
（2）在松树上取点D，使 ，并用测角仪测出点D的仰角 ，用直尺测出小山坡的长度
米，连接 ，过点M作 于点C，证明四边形 为平行四边形，得出 ，
求出 ，利用解析（1）的方法求出 即可．
【小问1详解】
解：过点M作 于点C，如图所示：
∵ ，∴四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ，
解得： ，
在 中， ，
解得： ，
∴ ．
【小问2详解】
解：在松树上取点D，使 ，并用测角仪测出点D的仰角 ，用直尺测出小山坡的长度
米，连接 ，过点M作 于点C，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
解得： ，
在 中， ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角
形函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，数形结合．
23. 如图，在平行四边形 中， ，过点 作 ，垂足为 ，再过点 作
交直线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，求证： ．【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，：
（1）运用三角形内角和，对顶角相等，得 ，结合三角形内角和以及对顶角相等，得
，则 即可作答．
（2）先由 ，结合对顶角相等，证明 ，因为夹角相等，两边成比例，证明
，结合平行四边形性质，即可作答．
【小问1详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴
∵
∴
∵
即
∵对顶角相等， ，
∴
∴
∴
即 ；
【小问2详解】解：如图： 与 相交于点G
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵
∴
即
24. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ．对称轴为直线 的抛物线经过点 ，其与 轴的另一交点为 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段 上点 处，得到新抛物线 ，其与直线 的另一个
交点为 ．
①如果抛物线 经过点 ，且与 轴的另一交点为 ，求线段 的长；
②试问： 的面积是否随点 在线段 上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，
请求出 面积．
【答案】（1） ；
（2）① ；② 的面积不变， 的面积为2．
【解析】
【分析】（1）先求得 ， ，利用抛物线的对称性求得 ，设抛物线的表达式为
，利用待定系数法即可求解；
（ 2 ） ① ； ② 联 立 求 得 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 得 直 线 的 解 析 式 为
，作 轴交直线 于点 ，求得 ，利用三角形的面
积公式，列式计算即可求解．
【小问1详解】解：令 ，则 ；令 ，则 ，解得 ；
∴ ， ，
∵对称轴为直线 ，其与 轴的另一交点为 ，
∴ ，
设抛物线的表达式为 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
解：①根据题意设新抛物线 的顶点坐标为 ，则新抛物线 的解析式为 ，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
当 时，新抛物线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 或 ；
∴与 轴的另一交点为 ；
∴ ；
② 的面积不变，
∵新抛物线 的解析式为 ，
联立得 ，整理得 ，解得 或 ；
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
作 轴交直线 于点 ，
则点 ，
∴
，
∴ 的面积不变， 的面积为2．【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函
数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键．
25. 如图， 是 斜边 的中点， 交 于 ，垂足为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如果 与 相似，求其相似比；
（3）如果 ，求 的大小．
【答案】25. 见解析
26. 相似比为 ；
27. ．
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得 推出 ，利用等角的余角相
等求得 ，证明 ，即可证明结论成立；
（2）分两种情况讨论，当 时，证明 是 的中位线，据此求解；当
时，证明 是等边三角形，据此求解即可；
（3）取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，设 ，利用三角形中位线定理求得
，证明 和 以及勾股定理，求得 和 的长，据此
求解即可．【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴点H和点C对应，
当 时， ，
由（1）知 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
设 ，则 ，
由（1）知 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴相似比为 ；
当 时， ，
由（1）知 ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故 ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴相似比为 ；综上，相似比为 ；
【小问3详解】
解：取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，
则 是 的中位线，
∴ ， ，则 ，
设 ，
∵ ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参
数构建方程解决问题．
