精品解析：上海市黄浦区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_下学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2022-2023 学年上海市黄浦区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. x2  y  2 是二元二次方程 B. x2 x0是二项方程 x2 x x2 x C. 2是分式方程 D.  2 是无理方程 3 x 【答案】A 【解析】 【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，故是二元二次方程，故正确； B、x2 x0是二次方程，故错误； C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误； D、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定 义． 2. 一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( ) A. 2 B. -3 C. -6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），即可得出答案． 【详解】解：令x＝0，则y＝6， 即一次函数与y轴交点为（0，6）， ∴一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距为6． 故选D. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令x＝0求出与y轴的交点坐 标． 1  3. 直线y   k1  x21k 的图象经过第一、二、四象限，那么k的取值范围是（ ） 2  A. k 2 B. k 2 C. k 1 D. k 1 第 1 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】D 【解析】 1  k10① 【分析】由一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出2 ，解不等式 21k>0②  即可． 1  【详解】解：  直线y   k1  x21k的图象经过第一、二、四象限， 2  1  k10① ∴2 ， 21k>0②  由①得：k 2， 由②得：k 1， ∴k 1． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“由ykxb的图象在一、二、四象限可得k 0， b0”是解题的关键． 4. 如果关于x的方程(m2)x8无解，那么m的取值范围是（ ） A. m2 B. m2 C. m2 D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】根据ax=b中当a=0,b≠0方程无解可知当m+2=0时关于x的方程 m2x8无解． 【详解】解：由题意得 当m+2=0时关于x的方程 m2x8无解 解得m=-2， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程无解的情况，根据题意得出关于m+2=0是解题关键． 5. 在下列方程中，有实数根的方程的个数有（ ） ① x230； ② x4 3x 0； 第 2 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ③ x1x； ④ 2x3 32x 0； ⑤x2 2x40； 2 3 6 ⑥   ． x1 x1 x2 1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①移项后根据算术平方根的非负性判断即可； ②根据二次根式有意义的条件即可判断； ③把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可； ④根据二次根式的非负性求出x即可； ⑤方程两边都乘 x1x1 得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：① x230，  x2 3，  不论x为何值， x2不能为3， 此方程无实数根； ② x4 3x 0，  x40且3x0， 解得：x4且x3， 此时的x不存在， 即方程无实数根； ③ x1x， 两边平方得：x1 x2， 即x2 x10， 12 41150， 1 5  x ， 2 第 3 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 5 1 5 经检验x 是原方程的解，x 不是原方程的解， 2 2 即方程有实数根； ④ 2x3 32x 0， 2x30且32x0， 3 解得：x ， 2 即方程有实数根； ⑤x2 2x40， 22 414120， 此方程无实数根； 2 3 6 ⑥   ， x1 x1 x2 1 方程两边都乘 x1x1 ，得2x13x16， 解得：x1， 经检验x1是增根， 即此方程无实数根； 综合上述，有实数根的方程有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把无理方程转 化成有理方程，能把分式方程转化成转化成整式方程和熟记根的判别式内容是解此题的关键． 3 6. 如图，已知直线MN ： y  x2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且 3 OC 2，则MBC的度数为（ ） A. 45或135 B. 30或150 C. 60或120 D. 75或165 【答案】D 第 4 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】   【分析】令y0，可得A 2 3,0 ，令x0，可得B0,2 ，利用勾股定理求出AB 4，可得MAO30， 分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出MBO、OBC度数，两个 角的和差即为所求度数． 3 【详解】解：  直线MN ：y  x2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B， 3 3 令y0，则0 x2，解得x 2 3， 3   A 2 3,0 ， 令x0，则y2， B0,2 ，  2 AB 2 3 22 4， AB2OB， QAOB90， MAO30， ABO60，MBO120．  B0,2 ，OC 2， OBOC， CBO45， 如图，分两种情况考虑： ①当点C在x轴正半轴上时，CBO45， 1 MBC 1204575； 1 ②当点C在x轴负半轴上时，C BO45， 2 MBC 12045165． 2 第 5 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直 角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 二、填空题 7. 已知函数 f(x) 2x1，那么 f( 2)_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据自变量与函数值的对应关系，即可得到答案． 【详解】解：∵ f(x) 2x1， ∴ f( 2) 2 21213， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题的关键． 8. 若y m2xm2 5m5是y关于x的正比例函数，则m_______． 5 5 5 5 【答案】 或 2 2 【解析】 【分析】先由正比例函数的定义得到m20，m2 5m50，再求解即可． 【详解】∵y m2xm2 5m5是y关于x的正比例函数， ∴m20，m2 5m  5  0， 5 5 5 5 解得m 或m ， 2 2 5 5 5 5 故答案为 或 ． 2 2 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和解一元二次方程，解题时注意m20． 9. 已知直线y (k 2)x3与直线y 3x2平行，那么k _______． 【答案】5 【解析】 【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解． 第 6 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：  直线y (k 2)x3与直线y 3x2平行， k23 k 5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等． 10. 已知一次函数y 3k2x4，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是_______． 2 【答案】k  3 【解析】 【分析】一次函数ykxb，当k 0时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可． 【详解】解：  一次函数y 3k2x4，y随x的增大而减小， 3k20， 2 解得k  ． 3 2 故答案是：k  ． 3 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数ykxb，当k 0时，y随x的增大而减小；当k 0 时，y随x的增大而增大． x2 3x 11. 分式 和 的值相等，那么x_______． x3 3x 【答案】0或3 【解析】 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． x2 3x 【详解】解：根据题意得： = ， x3 3x 去分母得：x2+3x=0，即x（x+3）=0， 解得：x=0或x=-3， 经检验x=0和x=-3都为分式方程的解， 故答案为：0或-3 【点睛】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12. 方程 x14的解是_____． 第 7 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】x15 【解析】 【分析】两边同时平方，即可求出方程的解. 【详解】 x14, 两边同时平方可得：x116, 解得：x15. 经检验，x15符合题意. 故答案为x15 【点睛】考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键. x2 3x x2 13. 用换元法解分式方程  20时，如果设  y，则原方程可化为关于y的整式方程 x x2 x 是__________． 【答案】y2 2y30； 【解析】 x2 x 1 3 【分析】如果设  y，那么  ，原方程变为：y - -2=0，方程两边乘最简公分母y，可以 x x2 y y 把分式方程转化为整式方程． x2 【详解】解：设  y， x 3 原方程变为y- -2=0， y 方程两边都乘y得y2 2y30． 故原方程可化为关于y的整式方程是y2 2y30． 故答案为y2 2y30． 【点睛】本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整 式方程．应注意换元后的字母系数． x k 14. 如果x3是方程 2 的增根，那么k的值为__________． x3 3x 【答案】3 【解析】 第 8 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x k 【分析】先把方程去分母得到x=2（x-3）+k，由于x=3是方程 2 的增根，则把x=3代入x=2 x3 3x （x-3）+k，然后解关于k的方程即可得到k的值． 【详解】解：方程两边同乘以x-3得，x=2（x-3）+k， x k ∵x=3是方程 2 的增根， x3 3x ∴3=2（3-3）+k， ∴k=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程 左右两边不成立（或分母为0），那么这个未知数的值叫分式方程的增根． 15. 一次函数ykxb的图象如图所示，则由图象可知关于x的方程kxb0的解为_______． 【答案】x2 【解析】 【分析】关于x的方程kxb0的解其实就是求当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知则关于x的方程kxb0的解为的解是x2． 故答案为：x2． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 2 6 12 16. 观察下列方程：①x+ =3；②x+ =5；③x+ =7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或 x x x n2+n 3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+ =2n+4(n为正整数)的解x= x-3 ________________． 【答案】n+3或n+4 【解析】 【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解. 【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解： 第 9 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 12 ①x+ = x+ =1+2，在等式两边同时乘以x， x x 移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2； 6 23 ②x+ = x+ =2+3，同理解得x = 2或x =3； x x 12 34 ③x+ = x+ =3+4，同理解得x =3或x =4； x x n2 n n(n1) 以此类推，第n个方程为：x+ = x+ 2n1n(n1)， x x 且解为：x =n或x =n+1； n2+n n2+n 将方程x+ =2n+4两边同时减3，得（x-3）+ =2n+1， x-3 x-3 根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4 . 故答案为：n+3或n+4. 【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键. 17. 一次函数y kxbb0 图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数 y  xm的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】y  x 6或y  x 6 【解析】  b  【分析】根据一次函数和坐标轴的交点坐标公式：与x轴交点  ,0 ，与y轴交点 0,b ，求得一次函  k  数与坐标轴的交点，然后得到底和高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】由题意得：该函数与x轴交点 m,0 ，与y轴交点 0,m ， 1 1 ∴S  ·m·m  m2 3，  2 2 解得：m 6 ， 故答案为：y  x 6或y  x 6． 【点睛】本题考查了一次函数和坐标轴的交点，关键是要用绝对值表示距离，答案应该有两种情况． 1 18. 如图，在平面直角坐标系中，点C0,4 ，射线CE//x轴，直线y   xb交线段OC于点B，交x 2 轴于点A，D是射线CE上一点．若存在点D，使得△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为______． 第 10 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 8 【答案】 或 或2 3 3 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b= 4 ；②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b= 3 8 ；③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2． 3 【详解】解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°， ∴∠DBC=∠BAO， 1 由直线y   xb交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b， 2 ∵点C（0，4）， ∴OC=4， ∴BC=4-b， 在△DBC和△BAO中， DBC BAO  DCBAOB，  BD AB  ∴△DBC≌△BAO（AAS）， ∴BC=OA， 即4-b=2b， 第 11 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 ∴b= ， 3 ②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F， 同理证得△BDC≌△DAF， ∴CD=AF=4，BC=DF， ∵OB=b，OA=2b， ∴BC=DF=2b-4， ∵BC=4-b， ∴2b-4=4-b， 8 ∴b= ； 3 ③当∠DAB=90°时，如图3，作DF⊥OA于F， 同理证得△AOB≌△DFA， ∴OA=DF， ∴2b=4， ∴b=2； 4 8 综上，b的值为 或 或2， 3 3 4 8 故答案为： 或 或2． 3 3 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质， 第 12 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 作出辅助性构建求得三角形上解题的关键． 三、解答题 3 1 19. 解方程：  1． x2 x2 x1 【答案】x3 【解析】 【分析】先因式分解，去分母，再整理得出方程的解，经检验确定最后的解． 3 1 【详解】  1 x2 x2 x1 3 1 分母因式分解得  1 (x2)(x1) x1 去分母得3(x2) x2 x2 移项整理得x2 2x30 因式分解得(x3)(x1)0 解得x 3,x 1 1 2 经检验得x=1时分母为零舍去 方程的解是x=-3 【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是熟悉解分式方程的一般步骤并且验证方程的根是否存 在． 20. 解方程： x1x7 【答案】x5． 【解析】 【分析】先t  x1，利用换元法将原方程进行变形，再利用因式分解法解一元二次方程求出t的值， 然后根据平方根的定义即可得． 【详解】令t  x1，则xt2 1，且t 0 原方程可变形为tt2 17 即t2 t60 (t2)(t3)0 t20或t30 第 13 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) t 2或t 30（不符题设，舍去） 则 x12 两边同时平方得x14 解得x5． 【点睛】本题考查了换元法和因式分解法解方程、平方根的定义，熟练掌握方程的各种解法是解题关键． 4x2 4xy y2 9 21. 解方程组： ． x2 5xy6y2 0  18  18 x x   11   11 x1 x1 【答案】 、 、 或  3  3 y 1 y 1 y  y   11  11 【解析】 【分析】首先把方程组的每个方程降次，然后根据二元一次方程的求解方法，求出原方程组的解即可． 4x2 4xy y2 9① 【详解】解： x2 5xy6y2 0② 由①可得2x y2 9，则：2x＋y＝±3， 由②可得 x6yx y0，则：x＝﹣6y或x＝y， （1）把x＝﹣6y代入2x＋y＝±3，  18  18 x x    11  11 解得 或 ． 3 3   y  y   11  11 （2）把x＝y代入2x＋y＝±3， x1 x1 解得 或 ． y 1 y 1  18  18 x x   11   11 x1 x1 ∴原方程组的解是 、 、 或 ．  3  3 y 1 y 1 y  y   11  11 【点睛】此题主要考查了高次方程的求解方法，要熟练掌握，解高次方程一般要降次，即把它转化成二次 方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 第 14 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 2 1    x y x y 4 22. 用换元法解方程组： ． 1 1   1   x y x y  4 x   3 【答案】 8  y   3 【解析】 1 1 2 【分析】设 a， b，得出 2b，进而将原方程组化为关于a，b的二元一次方程 x y x y x y 1 3 1 1 组，解方程组求出a，b，可得  ，  ，进而得出关于x，y的二元一次方程组进行求解 x y 4 x y 4 即可． 1 1 【详解】解：设 a， b， x y x y  1 a2b ① 则原方程组可化为： 4 ，   ab1② 3 ①－②得：3b ， 4 1 解得：b ， 4 1 3 把b 代入②得：a ， 4 4 1 3 1 1 ∴  ，  ， x y 4 x y 4  4 x y  ③ ∴ 3 ，  x y 4④ 8 ③＋④，得2x＝ ， 3 4 解得x＝ ， 3 4 8 把x＝ 代入①，得y＝ ， 3 3 第 15 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  4 x   3 故原方程组的解为 ． 8  y   3 【点睛】此题考查了换元法解分式方程以及解二元一次方程组，将方程进行适当的变形是解本题的关键． 23. 已知y2与3x成正比例，当x1时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求该函数图象与坐标轴围成的三角形周长． 【答案】（1）y 6x2 7 37 （2） 3 【解析】 【分析】（1）设 y2k3x，当x1时，y的值为4，求出k 2，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）求出直线y 6x2与x、y轴交点的坐标，即可得到OA，OB的长，由勾股定理求出AB的长，即 可求出函数图象与坐标轴围成的三角形周长． 【小问1详解】 解：  y2与3x成正比例， 设y2k3x，  当x1时，y的值为4， 423k ， k 2， y26x， y与x之间的函数表达式是y 6x2， 【小问2详解】 如图，直线y 6x2与x、y轴分别交于A、B两点， 第 16 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 当x0时，y=2，当y0时，x ， 3 1  A的坐标是 ，0 ，B的坐标是 0，2 ， 3  1 AO ，OB 2， 3 2 1 37 AB OB2 OA2  22   ，   3 3 1 37 7 37 函数图象与坐标轴围成的三角形周长是OAOAOB AB 2  ． 3 3 3 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是掌握用待定系数法求一次函数 解析式的方法，一次函数的性质． 24. 在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行 施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间的关系的部分图象，请解答下列 问题． （1）乙队在2 x6的时段内的速度是______米/时，当甲队铺了50米时，乙队铺了______米． （2）如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队，乙队均增加人手，提高了工作效 率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙队反而比甲队提前1小时完成总铺设任务．求提高工作 效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？ 第 17 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（1）5，45 （2）提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为15米，乙队每小时铺设的长度为20米 【解析】 【分析】（1）根据函数图象、速度路程时间，即可求得乙队在2 x6的时段内的速度和甲队在 0 x6的时段内的速度，进而可知50米所需的时间，推出乙队铺了多少米即可； （2）根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由图象可得， 乙队在2 x6的时段内的速度是：5030625（米/时）； 甲队在0 x6的时段内的速度是：60610（米/时）， 50 当甲队铺了50米时，时间 5（时）， 10 则乙队铺了30552305345（米）， 故答案为：5，45； 【小问2详解】 解：设提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为x米，则乙队每小时铺设的长度为 x5 米，根据题意得， 15060 15050 1 ， x x5 解得x 15，x  30， 1 2 经检验，x 15，x  30，均为原方程的解，但x  30不合题意，舍去， 1 2 2 提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为15米，乙队每小时铺设的长度为20米． 【点睛】本题考查函数图象的应用，分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用数形结合的思想解答问题． 25. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著 名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两 个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程 为“相伴方程”． 1 2 （1）判断分式方程 1 与无理方程 x2 2  2x1是否是“相似方程”，并说明理由； 1x 1x （2）已知关于x，y的方程：4x2 9y2 812xy和2x3y 4，它们是“相似方程”吗？如果是，请 第 18 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； （3）已知关于x，y的二元一次方程：y k1x4和x y3k（其中k为整数）是“相伴方程”， 求k的值． 【答案】（1）是相似方程，见解析 （2）不是相似方程，见解析 （3）k 1，k 2或k 4． 【解析】 【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可； （2）联立两个方程，求出公共解，应用“相似方程”的定义进行判断即可； （3）联立两个方程得到kx 43k ，再分当k 0，当k 0时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：是相似方程，理由如下： 1 2 1 ， 1x 1x 给方程两边同时乘以1x1 x， 得 1x1x1x21x ， 化简得x2 3x0， 解得x 0，x 3， 1 2 x2 2  2x1， x2 22x1， x2 2x30， x3x10， x2 20  ， 2x10 x 2， x 1(舍去)，x 3， 1 2 第 19 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 2 因为分式方程 1 与无理方程 x2 2  2x1有一个相同的解x3， 1x 1x 1 2 所以分式方程 1 与无理方程 x2 2  2x1是“相似方程”； 1x 1x 【小问2详解】 不是相似方程，理由如下： 4x2 9y2 812xy，  2x3y2 8，  2x3y 4， 2x3y2 42 168， 4x2 9y2 28和2x3y 4，它们不是“相似方程”； 【小问3详解】 根据题意可得：k 1x4 x3k ， 解得：kx 43k ， 当k 0时，04不符合题意， 43k 4 当k 0时，则x   3， k k  x ，y都是整数， k 1，k 2或k 4． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元一次方程组，解不等式组等，正确理解题意时 解决本题的关键．  1 3 26. 已知：点P1,m 、Q  n, 在反比例函数y  的图象上，直线ykxb经过点P、Q，且与x轴，  2 2x y轴的交点分别为A、B两点． 第 20 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求直线AB的表达式； （2）O为坐标原点，C在直线PQ上且满足AB AC，点D在坐标平面内，顺次联接点O、B、C、 D的四边形满足：BC∥OD，BOCD，求D点坐标． 1 【答案】（1）y   x  2 2 32 16 （2）点D坐标是 8,4 或 ,   5 5  【解析】 【分析】（1）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可求得m、n的值，再把P、Q坐标代入直线解析式 可求得k、b的值； （2）结合（1）可先求得A、B坐标，可求得C点坐标，再由条件可求得直线OD的解析式，由BOCD 可求得D点坐标． 【小问1详解】 3 3 解：把P1，m 代入y  ，得m ， 2x 2  3 P  1, ，  2  1 3 把Q  n, 代入y  ，得n3，  2 2x  1 Q3, ，  2  3 kb   3  1  2 将P  1, ，Q3, 代入ykxb得 ，  2  2  1 3kb  2 第 21 页 共 22 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 k  解得 2 ，  b2 1 即直线AB的表达式为y   x  2； 2 【小问2详解】 1 解：由（1）知y   x  2， 2 A4,0 ，B0,2 ， C 点在直线AB上，   1  设C  x, x2 ，  2  由AB AC得 4222  x42   1 x2   2 ，  2  解得x8或x0（不合题意，舍去）， C8,2，  直线BC∥OD且过原点， 1 直线OD解析式为y  x， 2  1  可设D  a, a ，  2  由OBCD得2 a82   1 a2   2 ，  2  32 解得a 8或a ， 5 32 16 满足条件的点D坐标是 8,4 或 , ．  5 5  【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，函数图象的交点， 勾股定理，掌握函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键． 第 22 页 共 22 页