精品解析：上海市静安区市北初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_上学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 市北初级中学 2022 学年第一学期九年级数学期末练习卷 （满分 150分，完卷时间 100分钟）2023.2 一、选择题：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分） 1 1. 3 的相反数是（ ） 3 3 A. 3 B.  3 C. D.  3 3 【答案】D 【解析】 【分析】先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可． 1 3 【详解】解：  ， 3 3 1 3 则 的相反数是 ． 3 3 故选：D． 【点睛】本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互 为相反数． 2. 下列方程中，有实数解的是（） 1x 1x A. x2 x10 B. x2 1x C. 1 D. 0 x2 x x2 x 【答案】D 【解析】 【分析】A、根据△的值判断即可，B、根据二次根式的意义判断即可；C、根据分式方程的解的定义判断即 可；D、根据分式方程的解的定义判断即可． 【详解】解∶A． 1430，  原方程无实数根， B．当1x0，即x1时，原方程无实数根， C．当x2 x0，即x1，或x0时，原方程无实数根， 1x D．  1， x2 x x1. 故选∶D． 第 1 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，正确的解方程是解题的 关键． 3. 已知点D、E分别在 ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝  2，那么BC的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质和求解即 可． 【详解】解：∵ED∥BC， ∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED， ∴△ABC∽△ADE， ∴BC：ED= AB：AD， ∵AD：DB＝1：4， ∴AB：AD=3：1，又ED＝2， ∴BC：2=3：1， ∴BC=6， 故选：C 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的 关键． 4. 如果点A2,m 在抛物线y =x2上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A，那么A 坐标为（ ） A. 2,1 B. 2,7 C. 5,4 D. 1,4 【答案】C 【解析】 【分析】先把A(2,m)代入y =x2得m4，于是得到A点坐标为(2,4)，由于抛物线向右平移3个单 第 2 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点A坐标． 【详解】解：把A(2,m)代入y =x2得m4， 则A点坐标为(2,4)， 把点A(2,4)向右平移3个单位后所得对应点A的坐标为(5,4)． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后 的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出 解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=，那么BC的长为（ ） mtan mtan A. m•tan•cos B. m•cot•cos C. D. cos sin 【答案】C 【解析】 【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，可以用含m和α的三角函数值 表示出CD，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高， AD=m，∠A=α， CD CD ∴tanα=  ， AD m ∴CD=m•tanα， ∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α， ∴∠BCD=α， CD m·tan ∴cos∠BCD=  ， BC BC m·tan 即cosα= ， BC mtanα ∴BC= ， cosα 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求 问题需要的条件． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 第 3 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似 D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断； 利用矩形和正方形不相似可对C进行判断． 【详解】解：A、有一个顶角（或底角）对应相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误； B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误； C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似(四边也必须对应成比例)，所以C选项错误； D、斜边和一条直角边对应成比例,根据勾股定理另一条直角边也和斜边成比例,这样的两个直角三角形相 似，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的各个判定方法是解决此题的关键. 二、填空题：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分） 7. 计算：  2a23 ＝____． 【答案】8a6 【解析】 【分析】直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】  2x23 8x6 故答案为：8x6． 【点睛】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 6 2a 8. 计算：  ________. a3 a3 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式加减法法则计算． 62a 【详解】解：原式 a3 23a  a3 第 4 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子 相加减． 9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___ 厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， 1 ∴上海与杭州的图上距离约为20000000 4cm； 5000000 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． 10. 某滑雪运动员沿着坡比1: 3的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了 3x米． 根据勾股定理可得：x2 ( 3x)2 2002． 解得x100， 即它距离地面的垂直高度下降了100米． 故答案为：100． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡 度）垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理． 11. 抛物线y x12 3与y轴的交点坐标是________. 【答案】(0,4) 【解析】 【分析】根据题意得出x0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标． 【详解】解：令x0，得y 4， 第 5 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故与y轴的交点坐标是：(0,4)． 故答案为：(0,4)． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关 键，此题较容易． 12. 二次函数y ax2 bxc的图象如图所示，对称轴为直线x2，若此抛物线与x轴的一个交点为 6,0 ，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 2,0 【解析】 【分析】求出点(6,0)关于x=2的对称点即可. 【详解】解: (6,0)关于 x=2的对称点是(-2,0). 故答案是(-2,0). 【点睛】本题考查了二次函数的性质,理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键. 13. 如图，在 ABC中，点D是BC边上的点，且CD2BD，如果 A  B  a，  A  D  b  ，那么  B  C     ________（用a、b 表示）．   【答案】3 ba 【解析】  1 【分析】利用三角形法则求得  B  C  ，则BD BC ，即可求解． 3 【详解】∵ A  B  a，  A  D  b  ，     ∴BD ADABb a ， 第 6 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CD2BD，     ∴BC 3BD 3 b a ，   故答案为：3 ba ． 【点睛】此题考查了平面向量的线性运算．掌握三角形法则的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的 应用． AB 1 14. 如图，直线AA ∥BB ∥CC ，如果  ，AA =2，CC =6，那么线段BB 的长是________． 1 1 1 BC 3 1 1 1 【答案】3. 【解析】 【详解】试题分析：过A作AE∥AC，交BB1于D，交CC 于E，得出四边形ABDA 和四边形BCED是平 1 1 1 AB DA 1 DA DB 行四边形，求出AA 1 =BD=CE=2，EC 1 =6﹣2=4， BC  DE 1  3 ，根据BB 1 CC 1 得出 EA 1  EC 1 ，即 1 1 1 DB  1 ，所以DB =1，所以BB =2+1=3. 13 4 1 1 故答案为3. 考点：平行线分线段成比例． 15. 已知，点P、Q是线段AB的两个黄金分割点，若AB8，则PQ的长是________. 【答案】8 516 【解析】 【分析】先由黄金分割的比值求出BP AQ4 54，再由PQ AQBPAB进行计算即可． 【详解】解：如图，  点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB8， 第 7 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 51 BP AQ AB4 54， 2   PQ AQBPAB2 4 54 88 516， 故答案为：8 516． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和 BC(AC BC)，且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC  AC:BC)，叫做把线段AB黄金分割，点 C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 16. 在 ABC中，BAC 90，点G是 ABC的重心，连接AG．若AG6，则BC长为________．   【答案】18 【解析】 【分析】延长AG交BC于点D，根据点G是 ABC的重心，得到D为BC的中点，以及AG 2DG，  进而求出AD的长度，根据AD是直角三角形斜边上的中线，从而求出BC的长． 【详解】解：如图，延长AG交BC于点D， ∵点G是 ABC的重心，AG6，  ∴D为BC的中点，且AG 2DG 6， ∴DG 3， ∴AD AGDG 9， ∵BAC 90， ∴BC 2AD18； 故答案为：18． 【点睛】本题考查重心的性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边 中点的距离之比为2:1，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 17. 若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物 三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角 形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 【答案】a<0，c>0 第 8 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可 以确定开口方向，从而确定a的符号． 【详解】∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴， ∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称， ∴mn<0， 又∵mnc<0， ∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交， 又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0）， ∴函数开口向下， ∴a<0． 故答案是：a<0，c>0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键． 18. 如图，已知将 ABC沿角平分线BE 所在直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M 处，且  AM  BE，那么EBC的余弦值为________. 3 13 【答案】 13 【解析】 【分析】设AM 与BE 交点为D，过M 作MF∥BE交AC于F ，证出MF为 BCE的中位线，由三角  1 形中位线定理得出MF  BE ，由翻折变换的性质得出：AM  BE，ADMD，同理由三角形中位线 2 1 1 定理得出DE MF ，设DE a，则MF 2a，AM  BE 4a，得出BD 3a，MD AM 2a， 2 2 利用勾股定理求出BM ，根据余弦的定义即可得出结果． 【详解】解：设AM 与BE 交点为D，过M 作MF∥BE交AC于F ，如图所示： 第 9 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) M 为BC的中点，  F为CE的中点， MF 为 BCE的中位线，  1 MF  BE， 2 由翻折变换的性质得：AM  BE，ADMD， 同理：DE是 AMF 的中位线，  1 DE  MF， 2 设DE a，则MF 2a，AM  BE 4a， 1 BD3a，MD AM 2a， 2 BDM 90，  ∴BM  BD2 DM2  13a， BD 3a 3 13 cosEBC    ． BM 13a 13 3 13 故答案为： ． 13 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换 1 1 的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF  BE ，DE MF 是解决问题的关键． 2 2 三、解答题：（本大题共 7题，满分 78分） tan30 19. 计算：cos245° ＋cot230°. 2sin60 19 【答案】 . 6 【解析】 【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可． 第 10 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3  2  3 【详解】原式＝ 2 ＋( 3)2    2  3 2 2 1 1 ＝  ＋3 2 3 19 ＝ . 6 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值． 20. 抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新 抛物线的表达式． 【答案】（1）(1,0)；（2）y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 【解析】 【分析】（1）把（2，1）代入y=x2-2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式，然后配成顶点式得到顶点坐 标； （2）先确定抛物线y=x2-2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，0），然后利用交 点式可写出新抛物线的表达式． 【详解】（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1， 所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2； ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）. （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1， 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2， 所以A（0，0），B（2，0）， 所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后 的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出 解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． AD 3 21. 如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，  ，AE 3，CE1，BC 6.  AB 4 第 11 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求DE的长； （2）过点D作DF∥AC 交BC于F ，设  A  B  =a  ，  B  C  =b  ，求向量  D  F  （用向量a  、b  表示）. 9 【答案】（1） 2 1  1  （2） a b 4 4 【解析】 AD 3 AD AE 3 【分析】（1）由  ，AE 3，CE1，可得   ，即可证得DE∥BC ，然后相似三 AB 4 AB AC 4 角形的性质，即可求得DE的长； DF BD 1 （2）由DF∥AC ，可得   ，再由三角形法则，即可求得答案． AC BA 4 【小问1详解】 解： AE3，CE1，  AC  AECE 4， AD AE 3    ， AB AC 4 DE∥BC， 又AA ∴△ADE∽△ABC DE AD 3    ， BC AB 4 3 3 9 DEBC 6  ； 4 4 2 【小问2详解】 DF∥AC，  ∴△BDF∽△BAC DF BD 1    ， AC BA 4 第 12 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   D  F   1 A  C   1 (  A  B    B  C  ) 1 a 1 b  ． 4 4 4 4 【点睛】此题考查了平行向量的知识以及相似三角形的判定和性 质．注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键． 22. 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与 1 B 层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，ACD20． 1 （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头部？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i 1:2，求 平台EF 的长度．（参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36） 【答案】（1）不会，理由见解析 （2）7米 【解析】 【分析】（1）先过点B作GB  AB，交AC于点G，根据ACD20，AB∥CD，得出 BAG 20，再根据正切定理求出BG的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据 AD的长求出CD，再过点F 作FM CD，垂足为点M ，过点E作EN  AD，垂足为点 N ，设FM  x，则 AN 9x，根据 AE段和FC段的坡度i 1:2，求出CM 和NE的长，最后根据 EF CD(CM NE)，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点B作GB  AB，交AC于点G， 第 13 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ACD20，AB∥CD，  BAG20， BGtan2060.3662.161.9 不会碰到头部； 【小问2详解】 AD9，  9 CD 25， tan20 过点F 作FM CD，垂足为点M ，过点E作EN  AD，垂足为点N ， 设FM  x，则AN 9x， AE 段和FC段的坡度i 1:2，  CM 2x，NE2(9x)182x， CM NE2x182x18， EF CD(CM NE)25187（米）． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知 识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 23. 已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连 接BF，交边AC于点G，连接CF. AE EG (1)求证：  ； AC CG (2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE. 第 14 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【详解】解: (1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG， AE DE EF EG ∴ ＝ ， ＝ . AC BC BC CG 又∵DE＝EF， DE EF ∴ ＝ ， BC BC AE EG ∴ ＝ ； AC CG (2)∵CF2＝FG·FB， CF FB ∴ ＝ . FG CF 又∠BFC＝∠CFG， ∴△BCF∽△CGF， FG CG ∴ ＝ ，∠FCE＝∠CBF. FC BC 又∵DF∥BC， ∴∠EFG＝∠CBF， ∴∠FCE＝∠EFG. ∵∠FEG＝∠CEF， ∴△EFG∽△ECF， EF FG ∴ ＝ . EC FC FG CG 又∵EF＝DE， ＝ ， FC BC 第 15 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) CG DE ∴ ＝ ，即CG·CE＝BC·DE. BC EC 1 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y  x2 bxc与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线 2 y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点. （1）求抛物线的表达式； （2）如图，当CP//AO时，求∠PAC的正切值； （3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标. 1 1 5 【答案】（1）抛物线的表达式为y x2 x4；（2）tan∠PAC  ；（3）P点的坐标是(3, ). 2 3 2 【解析】 【分析】分析： 1 （1）由题意易得点A、C的坐标分别为（-4，0），（0，4），将这两点坐标代入抛物线y  x2 bxc 2 列出方程组，解得b、c的值即可求得抛物线的解析式； （2）如下图，作PH⊥AC于H，连接OP，由已知条件先求得PC=2，AC=4 2，结合S ，可求得 △APC PH= 2 ，再由OA=OC得到∠CAO=45°，结合CP∥OA可得∠PCA=45°，即可得到CH=PH= 2 ，由此 PH 可得AH=3 2，这样在Rt△APH中由tan∠PAC= 即可求得所求答案了； AH （3）如图，当四边形AOPQ为符合要求的平行四边形时，则此时PQ=AO=4，且点P、Q关于抛物线的对 称轴x=-1对称，由此可得点P的横坐标为-3，代入抛物线解析即可求得此时的点P的坐标. 详解： （1）∵直线y=x+4经过点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上 ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4）， 又∵抛物线过A，C两点， 第 16 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1  42 4bc0, ∴ 2   c4. b1 解得 ，  c4 1 ∴抛物线的表达式为y  x2 x4； 2 （2）作PH⊥AC于H， ∵点C、P在抛物线上，CP//AO， C（0，4），A（-4，0） ∴P（-2,4），AC=4 2， ∴PC=2，ACPHPCCO， ∴PH= 2 ， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴∠CAO=45°. ∵CP//AO， ∴∠ACP=∠CAO=45°， ∵PH⊥AC， ∴CH=PH= 2 ， ∴AH4 2 2 3 2 . PH 1 ∴tanPAC  ； AH 3 1 1 1 （3）∵y  x2 x4 (x1)2 4 ， 2 2 2 ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上， ∴PQ∥AO，且PQ=AO=4． 第 17 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵P，Q都在抛物线上， ∴P，Q关于直线x=1对称， ∴P点的横坐标是﹣3， 1 5 ∵当x=﹣3时，y 32 34 ， 2 2  5 ∴P点的坐标是 3, .  2 点睛：（1）解第2小题的关键是：作出如图所示的辅助线，构造出Rt△APH，并结合题中的已知条件求 出PH和AH的长；（2）解第3小题的关键是：根据题意画出符合要求的示意图，并由PQ∥AO，PQ=AO 及P、Q关于抛物线的对称轴对称得到点P的横坐标. 【详解】请在此输入详解！ 25. 如图，矩形ABCD中，AB 2 ，点E是BC边上的一个动点，联结AE，过点D作DF  AE ， 垂足为点F . （1）设BE  x，ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式； （2）若存在点E，使得 ABE、△ADF 与四边形CDFE的面积比是3:4:5，试求矩形ABCD的面  积； （3）对（2）中求出的矩形ABCD，联结CF ，当BE 的长为多少时， CDF 是等腰三角形？  2 【答案】（1）y  x （2）2 2 第 18 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3） 2 或2 2或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件矩形ABCD和DF  AE ，得出DFAB，DAE AEB，从而求出 AB ∠ADF ∠BAE，再根据cotADF cotBAE 求出结果； BE 1 （2）假设存在，由题意 ABE、△ADF 与四边形CDFE的面积比是3:4:5，可得BE  BC，设  2 BE  x，证△ABE∽△DFA，根据三角形的相似比，从而求解； （3）过点C作CM DF，垂足为点M ，判断 CDF 是等腰三角形，要分类讨论，①CF CD；②  DF  DC；③FD FC，根据三角形相似进行求解． 【小问1详解】 解： DF  AE ，  DFA90， AD∥BC，  DAE AEB， ∵在矩形ABCD中，ÐB=90°， ∴∠ADF ∠BAE， AB 则cotADF cotBAE ， BE 2  y  ； x 【小问2详解】 △ABE:△ADF：四边形CDFE的面积比是3:4:5，  1 S  S ， ABE 4 矩形ABCD 1 BE  BC， 2 设BE  x，则BC 2x， ∵DFAB，DAE AEB，  ABE∽ DFA，且S :S 3:4，   ABE ADF AD2 4   ， AE2 3 4x2 4   ， x2 2 3 解得x1， 第 19 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BC 2， ∴S 2 2； 矩形ABCD 【小问3详解】 ①CF CD时，过点C作CM DF，垂足为点M ， 则CM∥AE，DM MF，延长CM 交AD于点G， AGGD1， CE 1， 当BE 1时， CDF 是等腰三角形；  ②DF  DC时，则DCDF  2， DF  AE ，AD2，  DAE 45， 则BE  2 ， 当BE  2 时，  CDF 是等腰三角形； ③FD FC时，则点F 在CD的垂直平分线上，故F 为AE中点． QAB 2，BE  x， 第 20 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AE  2x2 ， 2x2 ∴AF  ， 2 ∵VADF∽VEAB， 2x2 AD AF   ，即 2 2 ， AE EB  2x2 x ∴x2 4x20， 解得x2 2 ， 当BE 2 2时，  CDF 是等腰三角形， 综上：BE 的长度为 2 或2 2或1． 【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考 查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法． 第 21 页 共 21 页