文档内容
静安区 2023 学年度第一学期期末教学质量调研
九年级数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可，正确计
算是解题的关键．
【详解】解：A． ，计算错误，故选项不符合题意；
B． ，计算错误，故选项不符合题意；
C． ，计算错误，故选项不符合题意；
D． ，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形 B. 两个圆 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断
即可．
【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意；
B、两个圆一定相似，符合题意；
C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意；
D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意；
故选B．
3. 如果直线 与 轴正半轴的夹角为锐角 ，那么下列各式正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．将图像画出，
设点 是直线上的点，设点 ，过点 作 轴于点 ，则 ，即可求解．
【详解】解：设点 是直线上的点，设点 ，过点 作 轴于点 ，则 ，
；
；
；
．
故选C．
4. 在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上，连接 、 ，如果 ，
，且 ，那么 的值是（ ）
A. 3 B. C. 2 D.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据题意画
出图形，利用平行线分线段成比例即可得到答案．
【详解】解： ， ，
，
，
，
．
故选C．
5. 如果将抛物线 平移后得到抛物线 ，那么它的平移过程可以是（ ）
A. 向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移3个单位，再向下平移3个单位
C. 向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移3个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标
判断出平移方式即可．
【详解】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为 ，平移后抛物线的顶点坐标为 ，
∴将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线 ，
故选A．
6. 如图，点 在矩形 的边 上，将矩形沿 翻折，点 恰好落在边 的点 处，如果，那么 的值等于（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出
， ，再根据折叠的性质得出 ， ， ，
然后根据等边对等角得出 ，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出
，设 ，根据勾股定理得出 ，根据线段的和差及勾股定理得出
，最后再化简即可得出答案．
【详解】 四边形 为矩形
，
将矩形沿 翻折，
， ，
设在 中，
故选B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 0.5的倒数是__．
【答案】2
【解析】
【分析】根据倒数的定义，可得答案．
【详解】解：0.5的倒数是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查倒数的定义，属于基础题，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
8. 如果 ，那么 （ ）
【答案】
【解析】
【分析】根据 即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求比，正确计算是解题的关键．
9. 已知线段AB的长为2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段PB的长等于_____（结
果保留根号）．
【答案】3﹣
【解析】【分析】根据黄金分割的概念得到AP= AB，把AB=2代入计算求出AP，即可得出答案．
【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝ AB＝ ×2＝ ﹣1，
∴PB＝AB﹣AP＝3﹣ ；
故答案为3﹣ ．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．
10. 如果二次函数 图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是________.（填“向上”或
“向下”）
【答案】向上
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据对称轴的右侧部分
上升即可得到答案．
【详解】解： 对称轴的右侧部分上升，
故函数图像在对称轴的右侧单调递增，
它的开口方向是向上．
故答案为：向上．
11. 已知抛物线 的顶点在 轴负半轴上，那么 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在 轴上，即有与 轴只有一个交点，根据
即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在 轴上，即有与 轴只有一个交点．
【详解】∵抛物线 的顶点在 轴的负半轴上，
∴抛物线 与 轴只有一个交点，∴ ，
∴ ，
∵抛物线 的顶点在 轴的负半轴上，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 在三角形 中，点 、 分别在边 、 上，已知 ， ， ，那
么能否得到 ？___________（填“能”或“否”）
【答案】否
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两边对应成比例且夹角相等的两个三角
形相似．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 不是 和 的夹角， 不是 和 的夹角，
∴不能判定 ，
故不能判定 ，
∴不能得到 ，
故答案为：否．13. 如果两个相似三角形对应边上的高之比是 ，那么它们的周长之比等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，
由此可解．
【详解】解： 两个相似三角形对应边上的高之比是 ，
这两个相似三角形的相似比为 ，
它们的周长之比等于 ．
故答案为： ．
14. 如图，小红沿坡度 的坡面由 到 行走了26米，那么小红行走的水平距离 __________
米.
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查坡度、勾股定理，根据坡度的定义可知 ，设 ，则 ，再
用勾股定理解 即可．【详解】解：由题意得 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得 （负值舍去），
，
故答案为：24．
15. 如图，正方形 被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形， 、 是其中两个小正方
形的顶点，设 ， ，那么向量 __________.（用向量 、 的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得： ， ， ，
，从而得出 ， ，再根据 即可得出答案，
熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，，
根据题意得： ， ， ， ，
， ，
，
故答案为： ．
16. 在 中， ， ，将边 绕点 旋转后，点 落在射线 上的点 处，那
么 的长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形的性质求出 ，再利用等面积法求出
，即可根据勾股定理求出 的值，即可得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， ，
，在 中，
边 绕点 旋转后，点 落在射线 上的点 处，
在 中，
故答案为： ．
的
17. 如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称 点，那么约定该函数称之为“ 函数”，其图像上关
于原点对称的两点叫做一对“ 点”.根据该约定，下列关于 的函数：① ，② ，③
，④ 中，是“ 函数”的有___________.（请填写函数解析式序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握图像上点的特征是
解题的关键．根据“ 函数”的定义即可得到答案．
【详解】解：函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“ 函数”，是“ 函数”，故①正确；
是“ 函数”，故②正确；
不是“ 函数”，故③错误；
是“ 函数”，故④正确；
故答案为：①②④．
18. 如图， 中， ， ， .点 、 分别在边 、 上，
，那么 的长为_______________.（用含 的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点 作 于
点 ，设 ，则 ， ， ，过点 作 交 的延长线
于点 ，根据平行线分线段成比例得出 ，得出 ，证明 ，得出
，则 ，进而求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∵
∴ ，即
∴解得：
又∵
∴
∴
∴
解得：
∴
∵ ， ， ，
∴ ，则
故答案为： ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将各角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：．
20. 如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 经过点 ，与双曲线 交于点 ．
点 在直线 上，过点 作 轴的平行线分别交双曲线 和 于点 、
．
（1）求 的值和直线 的表达式；
（2）联结 、 ．求证： ．
【答案】（1） ，直线 的解析式为 ；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的综合题．
（1）根据点 的坐标求得 的值，根据点 和点 使用待定系数法即可求出一次函数的解析
式；
（2）先求出点 、 、F坐标，利用两点之间的距离公式证明 ， ，据此求解即可．
【小问1详解】
解：因为点 在双曲线 上，
所以 ，设直线 的解析式为 ，
代入点 和点 ，得 ，
解得 ，
所以直线 的解析式为 ；
【
小问2详解】
解：由点 的坐标可知，点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，∴当 时， 或 ，
解得 或 ，
∴点 的坐标为 ，点F的坐标为 ．
由 、 、 知 ， ，
∴ ，
∴ ；
由 、 、 知 ， ，
∴ ，
∴ ；∴ ；
∴ ．
21. 如图，已知 是矩形 的对角线， ， 交 延长线于 ， 交 于 ，
交 于 .
（1）求证：点 是 的重心；
（2）如果 ，求 的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查重心 的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键．
（1）证明 是 的中线， 是 的中线即可得到结论．
（2）根据重心的性质得到 ，求出 的值，再根据勾股定理求出答案即可．
【小问1详解】
证明： 矩形 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，是 的中线，
，
，
是 的中线，
点 是 的重心；
【小问2详解】
解： 点 是 的重心，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
．
22. 如图，某建筑物 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的 处（即 长为400米）.此时
测得建筑物顶部 的俯角为 ，当乘坐的热气球垂直上升到达 处后，再次测得建筑物顶部 的俯角为
.（ ， ）（1）请在图中标出俯角 、 ，并用计算器求 、 的大小： ___________， __________；
（精确到“1”）
（2）求热气球上升的垂直高度（即 的长）.
【答案】（1） ，
（2）80米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据俯角的定义标出 、 ，再利用计算器求 、 的大小；
（2）作 于点F，则 ， ，利用锐角三角函数
解 和 即可．
【小问1详解】
解： 、 如图所示，
计算器求得 ， ，故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：如图，作 于点F，
则 ， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
解得 ，
（米），
即热气球上升的垂直高度为80米．
23. 已知：如图，在 中， ， 是 中点，点 在 延长线上，点 在 边上，．
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明，见解析
（2）证明，见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可．
（1）根据 ，则 ，根据 ， ，
则 ，再根据相似三角形的判定，即可；
（2）根据相似三角形的性质，则 ，根据 是 中点，则 ，再根据 ，
相似三角形的判定，即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】证明：由（1）得， ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系 中（如图），已知点 、 、 、 在同一个二
次函数的图像上．
（1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；
（2）如果射线 平分 ，交 轴于点 ，
①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段 的点 处，求此时抛物线顶点 的坐标；
②如果点 在射线 上，当 与 相似时，请求点 的坐标．【答案】（1）
（2）① ② ，
【解析】
【分析】（1）把解析式设为交点式，再把 代入解析式中求解即可；
（2）①过点E作 于H，由角平分线的性质得到 ．利用勾股定理求出 ，进而
利用等面积法求出 ，则 ，求出直线 解析式为 ，再求出对称轴为直线 ，
由此即可求出 ；②先求出 ，设 ，则 ，
，分当 时， 当 时，两种情况根据相似三角形的
性质建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：设二次函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：①过点E作 于H，
∵射线 平分 ， ，
∴ ，∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∵二次函数解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
在 中，当 时， ，
∴ ；②∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
，
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几
何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25. 已知梯形 中， ， ， ， ， ．点 在射线 上，点
在射线 上（点 、点 均不与点 重合），且 ，连接 ，设 ， 的面积
为 .
（1）如图1所示，求 的值；
（2）如图2所示，点 在线段 上，求 关于 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当 是等腰三角形时，求 的长.
【答案】（1）
（2）
（3） 或 或 ；或
【解析】
【分析】（1）过点A作 交 于点E，过点E作 于点F，证明四边形 为平行
四边形，得出 ， ，求出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，根据勾股定理求出 ，根据三角函数定
义即可得出答案；
（2）过点 作 于点F， 于点H，根据 ， ，在 中根
据 三 角 函 数 求 出 ， ， 求 出
，根据三角形面积公式求出 ，
然后求出x的取值范围即可；
（3）分四种情况进行讨论：当 时，当 ，点Q在线段 延长线上时，当
，点Q在线段 上时，当 时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：过点A作 交 于点E，过点E作 于点F，如图所示：
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
即 的值为 ．
【小问2详解】
解：过点 作 于点F， 于点H，如图所示：
根据解析（1）可知， ，
∴在 中 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中 ，
∴ ，
∴ ，∵点 在线段 上，且当点Q在点C上时， 的面积为0，即 ，
∴ ，
解得： ，
∵点 、点 均不与点 重合，
∴ ．
【小问3详解】
解：当 时，过点 作 于点M，如图所示：
根据解析（2）可知， ，
根据勾股定理得： ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，根据解析（2）可知， ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当 ，点Q在线段 延长线上时，如图所示：
，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当 ，点Q在线段 上时，如图所示：
，根据解析（2）可知， ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当 ，过点Q作 于点N，
∵ ， ，
∴ ，
中， ，
在
∴ ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
解得： ，即 ；
综上分析可知， 或 或 ；或 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求函数解
析式，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论．
