文档内容
上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2023 届静安区高三二模考试数学试卷 2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸
相应编号的空格内直接填写结果.】
1. 若集合 ， ，且 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得 且 ，即可求出 、 的值，从而求出集合 、 ，再根据并集的定义计
算可得.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 且 ，显然 ，所以 且 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：
的
2. 已知{ }是公比为q 等比数列，且 、 、 成等差数列，则 =___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.
【详解】在等比数列 中， 成等差数列，则 ，
即 ，而 ，整理得 ，得 ，
所以 .
故答案为： .
3. 若复数 （ 为虚数单位），则 ___________.
第 1 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法化简复数 ，再结合复数的运算得 的值.
【详解】 ，所以 .
故答案为： .
4. 已知 ， 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】讨论焦点在 轴和在 轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出 ，
即可得到结果.
【详解】当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
又因 ， 在椭圆上，所以 ，解得 ， ，
此时， ，故舍弃.
当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
又因 ， 在椭圆上，所以 ，解得 ， ，所以椭圆的标准方程
第 2 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
为 .
故答案为： .
5. 已知 ，且 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
解得 或 ，
因为 ， ，
所以 .
故答案为：
6. 已知 中， ，且 ，则 面积的最大值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用正弦定理，角转边得到 ，再利用面积公式得到 ，从而求出结果.
【详解】因为 ，且 ，由正弦定理得： ，
第 3 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所 ，
故答案为：3.
7. 已知函数 为偶函数，则函数 的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的定义求出 ，则 ，设 ，利用基本不等式，即
可求出结果．
【详解】 函数 （ ）是偶函数，
，
，易得 ，
设 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，
所以函数 的值域为 ．
第 4 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
故答案为： ．
8. 已知向量 ，且 ， 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影向量等
于___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出 ，再由投影向量的定义求解即可.
【详解】 ， ，
，
，
在 方向上的投影向量为 .
故答案为：
9. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪
含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下
个体编号 体重x（kg） 脂肪含量y（%）
1 89 28
2 88 27
3 66 24
4 59 23
5 93 29
第 5 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
6 73 25
7 82 29
8 77 25
9 100 30
10 67 23
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小数）
【答案】
【解析】
【分析】根据表格数据，结合最小二乘估计求解相关数据，即可得回归方程.
【详解】由表格数据可得：
， ， ， ，
设回归直线方程为 ，其斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ，
所以 ， ，
故回归方程为 .
故答案为： .
的
10. 如图，正方体 中， 为 中点， 为正方形 的中心，则直线 与侧
面 所成角的正切值是___________.
第 6 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，得到 即为 与平面 所成的角，在直角 中，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ，
在正方体 中，可得 平面 ，
所以 即为 与平面 所成的角，
设正方体 的棱长为 ，则 ，
在直角 中， .
故答案为： .
11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的
质量指标X是服从正态分布 的随机变量.若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产
品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为_________%（结果保留一位
第 7 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
小数）（已知 表示标准正态分布的密度函数从-∞到
x的累计面积）
【答案】95.4（或95.5都对）
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案.
【详解】因为X是服从正态分布 ，
所以 ，
则 或 .
故答案为：95.4或95.5.
12. 若 ，其中 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得 ，后通过导数求出 最小值即可得
答案.
【详解】 可知 ， .则 .
设 ，则 ，
令 在 上单调递增，
在 上单调递减.
故 ，即 的最小值为
.故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，
选对得相应分值，否则一律得零分.】
第 8 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
13. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则能使 ∥ 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ∥ ，则直线 的方向向量为 与平面 的法向量为 互相垂直，利用向量数量积为0逐项分
析即可.
【详解】由 ∥ ，则直线 的方向向量为 与平面 的法向量为 互相垂直，
选项A： ，
故选项A不正确；
选项B： ，
故选项B不正确；
选项C： ，
故选项C正确；
选项D： ，
故选项D不正确；
故选：C.
14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天
轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度
的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地
面的高度为h米， .若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则 的最小值
为（ ）
第 9 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦型函数的性质分析即可.
【详解】由 可知，
当 时， ，
当 时， ，
若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，
则由对称性可知此时 的最小值为 .
故选：B.
15. 设直线 与 关于直线 对称，则直线 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线 上一点，即可求解.
第 10 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【详解】联立 ，得 ，
取直线 上一点 ，设点 关于直线 的对称点为 ，则
，解得： ，
直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
整理为： .
故选：A
16. 函数 （ ）
A. 严格增函数
B. 在 上是严格增函数，在 上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在 上是严格减函数，在 上是严格增函数
【答案】D
【解析】
【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.
【详解】解：已知 ， ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，所以在 上是严格减函数，
第 11 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
当 时， ，所以在 上是严格增函数，
.
故选：D
【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分
类讨论和数形结合思想的应用.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.】
17. 已知各项均为正数的数列{ }满足 （正整数
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列{ }的前n项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意转化条件得 ，结合 即可得证；
（2）由题意可得 ，进而可得 ，由分组求和法即可得解.
【小问1详解】
证明：已知递推公式 ，两边同时加上3，
得： ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
第 12 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以数列 是以 为首项、以2为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1） ，则 ，
所以
.
18. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD， ，若
.
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面 平面AMD.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取AD中点N，连接EN， ，易证得EN⊥平面ABCD，五面体 的体积 棱柱
的体积 棱锥 的体积，分别求出棱柱 的体积和棱锥 的体积
即可得出答案.
（2）证法1：以A为坐标原点，以 ， ， 为 轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的
第 13 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
坐标运算可证得 ，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；
证法2：由题意证得 ， 即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证
明；
【小问1详解】
因为 ，取AD中点N，连接EN， ，
因为 ，所以 ，
又FA⊥平面ABCD， 平面ABCD， ，
所以EN⊥平面ABCD，又因为 ，即 ， ，
平面 ，所以 平面 ，
所以 为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
高等于1，三棱锥 是高等于1底面是等腰直角三角形.
五面体 的体积 棱柱 的体积 棱锥 的体积.
即：
【小问2详解】
证法1：以A为坐标原点，以 ， ， 为 轴正半轴建立空间直角坐标系.
点 ， ， ， ，
第 14 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以
得到：
所以 ， ， 平面AMD，
所以CE⊥平面AMD，又CE 平面CDE，所以平面 平面AMD.
证法2：因为 ，所以 为等腰三角形，M为EC的中点，所以 ；
同理在 中， ，（N为AD中点）又AM、MN 平面AMD，
，所以CE⊥平面AMD，又CE 平面CDE，
平面 ⊥平面AMD.
19. 已知双曲线Γ： （其中 ）的左、右焦点分别为 （ c，0）、 （c，0）
（其中 ）.
（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为 ；直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为
.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求 的面积；
△
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切
线的斜率为 ，求双曲线Γ的离心率.
第 15 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为 可得双曲线方程，将直线l与双曲
线方程联立可得M坐标，即可得答案；
（2）方法一：将圆方程与双曲线方程联立，可得 ，后由切线斜率为 可得
，即可得答案；
方法二：设切线与x轴交于E点，由题目条件可得 ，结合 ，可得
，后由余弦定理可得 ，进而可得 ，即可得答案.
【小问1详解】
双曲线Γ： 渐近线方程为 ，已知一条渐近线方程为 ，所以 ，双曲
线Γ经过点（2，1），所以 ，
解得 .所以双曲线Γ： .
直线l的倾斜角为 ，则斜率为1，又l在y轴上的截距为 ，则l方程为： ，代入双曲线方程
得： ，
第 16 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
设两点A、B坐标分别为（ ， ）、（ ， ），M（x，y），
则 .又 ，
则 的面积 .
【小问2详解】
方法一：由题可知圆方程为： ，将其与双曲线方程联立：
，
即 ，又切线斜率为 ，则
，解得 ，
所以双曲线Γ的离心率为 ；
方法二：设切线与x轴交于E点，因切线斜率为 ，可知 ，
又 ，则 .注意到 ，则在 中，由
余弦定理， ，
在 中，由余弦定理，
第 17 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
.
则 .
20. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生
篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的
球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放
回原处. 设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这
个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结
果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯
固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在
右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张 列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右
侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.（显著性水平
习惯固定在左侧接听电话 习惯固定在右侧接听电话 总计
脑瘤部位在左侧的病人 a b 42
脑瘤部位在右侧的病人 c d 46
总计 a+c b+d 88
参考公式及数据： ，其中，
第 18 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】（1）分布列见解析， 1
（2）表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【解析】
【分析】（1）由题可知 可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算 ，比较其与 大小即可判断长时间使
用手机与是否得脑瘤有无显著关系.
【小问1详解】
第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以 可取的值为0，1，2.
.
则分布列如下
0 1 2
则期望为 ；
【小问2详解】
由题目条件可得列联表如下：
习惯固定在左侧接听电话 习惯固定在右侧接听电话 总计
脑瘤部位在左侧的病人 14 28 42
脑瘤部位在右侧的病人 19 27 46
总计 33 55 88
则 = ，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.
第 19 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
21. 已知函数 .（其中 为常数）
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的最小值；
（3）当 时，试讨论函数 的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）只有1个，理由见解析
【解析】
【分析】（1）当 时，求得 ，得到 且 ，进而求得切线
方程；
（2）求得 ，利用导数求得函数 的单调性和极值，即可求解；
（3）当 时，求得 在 上有一个零点；当 时，利用导数求得函数 的单
调性和极值，进而得出函数零点的个数.
【小问1详解】
解：当 时，可得 ，
可得 ，所以 且 ，
所以切线方程为 ，即 ，
即曲线所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
第 20 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
解：由函数 ，可得函数 的定义域为 ，
又由 ，令 ，解得 ， ，
当 时， 与 在区间 的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为 ，也是函数 的最小值，
所以当 时，函数 的最小值为
【小问3详解】
解：当 时， ，令 ，解得 （舍去）
所以函数 在 上有一个零点；
当 时， 与 在区间 的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数 在单调递增，在 上单调递减，
此时函数 的极大值为 ，
第 21 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以函数 在 上没有零点；
又由 且函数 在 上单调递增，
且当 时， ，
所以函数 在 上只有一个零点，
综上可得，当 时， 在 上有一个零点.
【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
第 22 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
第 23 页 共 23 页
