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九年级数学
一、选择题（本大题共6题）
1. 在直角坐标平面内，如果点 ，点 与原点 的连线与 轴正半轴的夹角是 ，那么 的值是
（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由锐角的余切定义，即可求解．
【详解】解：如图，
∵点 ，
∴ ．
故选∶ A
【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．
2. 关于抛物线 以下说法正确的是（ ）
A. 抛物线在直线 右侧的部分是上升的
B. 抛物线在直线 右侧的部分是下降的
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学科网（北京）股份有限公司C. 抛物线在直线 右侧的部分是上升的
D. 抛物线在直线 右侧的部分是下降的
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线在直线 右侧的部分是上升，故选项A、B错误，不符合题意；
抛物线在直线 右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；
故选∶C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
3. 二次函数 的图像的顶点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】解：
，
，
∴顶点坐标为 ，
∴二次函数 的图像的顶点位于第三象限，
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式．
4. 如图，梯形 中， ，点 、 分别在腰 、 上，且 ，下列比例成立
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．
5. 矩形 的对角线 与 相交于点 ，如果 ， ，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 ，再根据 即可得到结果．
【详解】解：如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．
6. 下列条件中，不能判定 与 相似的是（ ）
A. ，
B. ， ，
C. ， ， ， ，
D. ， ， ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】由相似三角形的判定依次判断，可求解．
【详解】解∶ A．∵ ， ，
∴ 与 相似，
故选项A不合题意；
B．∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 与 相似，
故选项B不合题意；
C． ， ，
∴ 与 相似，
故选项C不合题意；
D． ，但 与 不一定相等，
与 不一定相似，
故选项D符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题）
7. 计算： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键．
8. 如果一个二次函数的图像的对称轴是 轴，且这个图像经过平移后能与 重合，那么这个二
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学科网（北京）股份有限公司次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）
【答案】
【解析】
【分析】先设原抛物线的解析式为 ，根据二次函数的图像平移性质知 ，据此写出
符合要求的解析式即可．
【详解】解∶先设原抛物线的解析式为 ，
经过平移后能与抛物线 重合，
∴ ，
∴这个二次函数的解析式可以是 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．
9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形
较长的一边长是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出 ，再求出a即可．
【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a，
∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，
∴ ，
解得∶ ，
即第二个矩形较长的一边长是 ，
故答案为∶ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解
此题的关键．
10. 已知点P是线段 的黄金分割点，且 那么 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则 ，代入数据即可得出 的长．
【详解】解：∵P为线段 的黄金分割点，且 是较长线段；
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的
线段=原线段的 ．
11. 已知 的三边长分别为2、3、4， 与 相似，且 周长为54，那么 的最
短边的长是______．
【答案】12
【解析】
【分析】先计算出 的周长，进而得出相似比为 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 的三边长分别为2、3、4，
∴ 的周长为：9
∵ 与 相似，且 周长为54，
∴ 与 的周长比为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 与 的相似比为 ，
设 的最短边的长是x ，则：
，
解得∶ ．
故答案为∶12．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
12. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为 ，为求出它的厚度 ，现用一个交叉卡钳（
和 的长相等）去测量零件的内孔直径 ．如果 ，且量得 的长是 ，那么零件
的厚度 是______ ．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得 的长，再根据某零件的外径为 ，即可求得x
的值．
【详解】解∶∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 的长是 ，
∴ ，
∵零件的外径为 ，
∴零件的厚度为∶ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
13. 在 中， ，已知 的正弦值是 ，那么 的正弦值是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解： 中， ， ∠A的正弦值是 即 ，
∴设 ，则 ，由勾股定理得 ，
∴ ，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
14. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面 的坡度为______．
【答案】1：1.5
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴斜面AB的坡度为2：3=1：1.5，
故答案为：1：1.5．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的
比是解题的关键．
15. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底
边重合且长度为 厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为 平方厘米，那
么 关于 的函数解析式是______．（不必写定义域）
【答案】
【解析】
【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式．
【详解】解：如图所示，由题意， , ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
由矩形可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形面积为 ，
故答案为∶ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的
性质．
16. 已知 是 的重心，过点 作 交边 于点 ，作 交边 于点 ，如果
四边形 的面积为2，那么 的面积是______．
【答案】9
【解析】
【分析】延长 交 于F点，连接 ，先证四边形 为平行四边形得
，由G是 的重心，得 ， 为 边上的中线，再根
据平行线分线段成比例可证 ，从而即可求解．
【详解】解：延长 交 于F点，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司∴
的
∵G是 重心，
∴ ， 为 边上的中线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 边上的中线，
∴ ．
故答案为∶ 9．
【点睛】本题考查了三角形的重心∶三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 ，也
考查了平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17. 如图，在矩形 中，过点 作对角线 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，交边 于
点 ，如果 ， ，那么 的长是______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
的
【分析】利用矩形 性质求出 ，利用三角形的面积、勾股定理求出 、 的长，再利用等角的余
角相等说明 、 ，得 ，最后利用相似三角形的性质得结
论．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是
解决本题的关键．
18. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边
形纸片 如图所示，其中 ， 厘米， 厘米， 厘米，那么原来的
直角三角形纸片的面积是______平方厘米．
【答案】 或
【解析】
【分析】先由勾股定理求得 厘米，再分情况讨论，利用三角形相似求解即可．
【详解】解：连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， 厘米， 厘米， 厘米，
∴ 即 ，
∴ 厘米，
如下图，延长 ， 相交于点N，设 厘米，
∵ ， ， 厘米，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ 厘米， 厘米，
平方厘米；
如下图，延长 ， 相交于点M，设 厘米，
∵ ， ， 厘米，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 即 ，
∴ 厘米，
平方厘米，
故答案为 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题
的关键．
三、解答题（本大题共7题）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
20. 已知：如图，平行四边形 中，点 、 分别在边 、 上，对角线 分别交 、
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学科网（北京）股份有限公司于点 、 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，请直接写出 关于 、 的分解式．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得， ， ， ，进而得
， ，得 ， 再证 得
，从而即可得证；
(2)由向量的差可知， ，再证 ，从而 ．
【小问1详解】
证明：∵
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， '，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
由（1） 知， ， ， ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟
练掌握相关知识是解题关键．
21. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）如果拋物线经过点 ，求该拋物线的对称轴；
（2）如果抛物线的顶点在直线 上，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2）0或2．
【解析】
【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得m的值；然后将所求
的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到拋物线的对称轴；
（2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入 ，从而可以求得m的值．
【小问1详解】
解：把点 代入 ，得 ．
解得 ，
则该抛物线解析式为： ．
∴该拋物线的对称轴是 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标是 ，
∵抛物线 的顶点在直线 上，
∴ ，
解得∶ 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，顶点式 ，顶点坐标是
，对称轴是直线 ，此题考查了学生的应用能力，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方
向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”
上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的
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学科网（北京）股份有限公司重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最
长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．
某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离
（即 的长）为 米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即 ）为 ，夏至正午太阳高度
角（即 ）为 ，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即 的长）约为多少米？（参考
数据见表1，结果精确到个位）
表1
（注：表1中三角比 的值是近似值）
【答案】表 的高度是9米．
【解析】
【分析】利用 和 的正切，用 表示出 和 ，得到一个只含有 的关系式，再解
答即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵在 中， ，在 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ （米）
答∶表 的高度是9米．
【点睛】本题主要考查了三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．
23. 已知：如图，点 、 分别在等边三角形 的边 的延长线与反向延长线上，且满足
．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由三角形的性质证 ， ，再由 得
，即可得证；
（2）证明 即可得证．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性
质是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 在抛物线
上．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 ， 时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移 个单位后，所得的新抛物线经过点 ，求 的值；
（2）若 ，且 、 、 中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个
满足条件的 的值，再求 的取值范围．
【答案】（1）① ；② 或 ；
（2）可取 ， 或 ．
【解析】
【分析】（1）①先求得对称轴为 ，再根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；②根据平移得
，又由抛物线过点 ，即可得解；
（2）由 得抛物线 ，又由点 ， ， 在抛物线
上，且使得 、 、 中有且仅有一个值大于0，从而可取 ，此时 ， ， ，分
抛物线的对称轴在y轴的左侧时和抛物线的对称轴在y轴的右侧两种情况讨论求解b的取值范围．
【小问1详解】
解：①∵抛物线 过点 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点B、C为对称点，其对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ，
②抛物线 向下平移2个单位，再向左平移 个单位后得 ，
∵ 过点 ，
∴ ，
解得 或 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线过点 ，
∴抛物线
∵点 ， ， 在抛物线 上，且使得 、 、 中有且仅有一个
值大于0，
∴可取 ，此时 ， ， ，
当抛物线的对称轴在y轴的左侧时，
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学科网（北京）股份有限公司∵抛物线 开口向下，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
当抛物线的对称轴在y轴的右侧时，
∵抛物线 开口向下，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
综上得， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求解二次函数的解析式以及二次函数与坐标
轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质式解题的关键．
25. 已知，如图1，在四边形 中， ， ， ．
（1）当 时（如图2），求 的长；
（2）连接 ，交边 于点 ，
①设 ， ，求 关于 的函数解析式并写出定义域；
②当 是等腰三角形时，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2） 的长为 或 ．
【解析】
【分析】（1）在 中，解直角三角形得 ， ，再证 即可得解；
（2）①先求得 ， ，根据 ， 可得定义域，证明
可得 关于 的函数解析式；②分两类讨论求解，当 时，作 于点Q，作 于
点P，证 得解，当 时，作 垂直直线 于点N， 证 得
解．
【小问1详解】
解：∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：①如图2，作 于点N，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
②∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
当 时，作 于点Q，作 于点P，如下图，易知四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ；
当 时，作 垂直直线 于点N，如下图，
∴ ，
∴ ，
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ⊥ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
综上 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的
判定及性质，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
