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九年级数学
一、选择题（本大题共6题）
1. 在直角坐标平面内，如果点 ，点 与原点 的连线与 轴正半轴的夹角是 ，那么 的值是
（ ）
A. 4 B. C. D.
2. 关于抛物线 以下说法正确的是（ ）
A. 抛物线在直线 右侧的部分是上升的
B. 抛物线在直线 右侧的部分是下降的
C. 抛物线在直线 右侧的部分是上升的
D. 抛物线在直线 右侧的部分是下降的
3. 二次函数 的图像的顶点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 如图，梯形 中， ，点 、 分别在腰 、 上，且 ，下列比例成立
的是（ ）
A. B. C. D.
5. 矩形 的对角线 与 相交于点 ，如果 ， ，那么（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
的
6. 下列条件中，不能判定 与 相似 是（ ）
A. ，
B. ， ，
.
C ， ， ， ，
D. ， ， ， ，
二、填空题：（本大题共12题）
7. 计算： ______．
8. 如果一个二次函数的图像的对称轴是 轴，且这个图像经过平移后能与 重合，那么这个二
次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）
9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形
较长的一边长是______．
10. 已知点P是线段 的黄金分割点，且 那么 ___________．
11. 已知 的三边长分别为2、3、4， 与 相似，且 周长为54，那么 的最
短边的长是______．
12. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为 ，为求出它的厚度 ，现用一个交叉卡钳（
和 的长相等）去测量零件的内孔直径 ．如果 ，且量得 的长是 ，那么零件
的厚度 是______ ．
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学科网（北京）股份有限公司13. 在 中， ，已知 的正弦值是 ，那么 的正弦值是______．
14. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面 的坡度为______．
15. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底
边重合且长度为 厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为 平方厘米，那
么 关于 的函数解析式是______．（不必写定义域）
16. 已知 是 的重心，过点 作 交边 于点 ，作 交边 于点 ，如果
四边形 的面积为2，那么 的面积是______．
17. 如图，在矩形 中，过点 作对角线 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，交边 于
点 ，如果 ， ，那么 的长是______．
18. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边
形纸片 如图所示，其中 ， 厘米， 厘米， 厘米，那么原来的
直角三角形纸片的面积是______平方厘米．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题（本大题共7题）
19. 计算： ．
20. 已知：如图，平行四边形 中，点 、 分别在边 、 上，对角线 分别交 、
于点 、 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，请直接写出 关于 、 的分解式．
21. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）如果拋物线经过点 ，求该拋物线的对称轴；
（2）如果抛物线的顶点在直线 上，求 的值．
22. 圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方
向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”
上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的
重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最
长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．
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学科网（北京）股份有限公司某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离
（即 的长）为 米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即 ）为 ，夏至正午太阳高度
角（即 ）为 ，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即 的长）约为多少米？（参考
数据见表1，结果精确到个位）
表1
（注：表1中三角比的值是近似值）
23. 已知：如图，点 、 分别在等边三角形 的边 的延长线与反向延长线上，且满足
．求证：
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学科网（北京）股份有限公司（1） ；
（2） ．
24. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 在抛物线
上．
（1）当 ， 时，
的
①求该抛物线 表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移 个单位后，所得的新抛物线经过点 ，求 的值；
的
（2）若 ，且 、 、 中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线 位置和图像特征，先写出一个
满足条件的 的值，再求 的取值范围．
25. 已知，如图1，在四边形 中， ， ， ．
（1）当 时（如图2），求 的长；
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接 ，交边 于点 ，
①设 ， ，求 关于 的函数解析式并写出定义域；
②当 是等腰三角形时，求 的长．
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