精品解析：上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 九年级数学 （满分 100分，考试时间 90分钟） 一、选择题（本大题有 6小题，每题 4分，满分 24分） 1. 如果 5x3y （x、 y 均不为零），那么 x:y 的值是（ ） 5 3 3 5 A. B. C. D. 3 5 8 8 【答案】B 【解析】 【分析】等式两边同除以5y即可得到答案． 5x 3y x 3 【详解】解：等式两边同除以5y，可得：  ，即  ， 5y 5y y 5 故选B． 【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键． 2. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（ ） A. 7sinα B. 7cosα C. 7tanα D. 7cotα 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7， BC BC ∴tanα= = AC 7 ∴BC=7tanα． 故选C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边 比斜边，正切为对边比邻边． 3. 在 ABC中，点D、 E分别在 AB、 AC上，如果 AD2， BD3，那么由下列条件能够判定  DE∥BC 的是（ ） 第 1 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE 2 DE 2 AE 2 AE 2 A.  B.  C.  D.  BC 3 BC 5 AC 3 AC 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 于三角形的第三边可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵AD2，BD3， AD 2 ∴  ， AB 5 AE 2 只有当  时，DE∥BC ， AC 5 AD AE 2 理由是：∵   ，AA， AB AC 5 ∴ ADE≌ ABC，   ∴ADE B， ∴DE∥BC ， 而其它选项都不能推出 ADE≌ ABC，即不能推出 ADE B或 AEDC，即不能推出   DE∥BC ， 即选项A、B、C都错误，只有选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4. 下列命题正确的是（ ）     A. 如果|a|＝|b|，那么a＝b     B. 如果a、b都是单位向量，那么a＝b     C. 如果a＝kb（k≠0），那么a∥b 第 2 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )    D. 如果m＝0或a＝0，那么ma＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．     【详解】解：A．向量是既有大小又有方向，|a|＝|b|表示有向线段的长度，a＝b表示长度相等，方向相 同，所以A选项不正确； B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；     C. a＝kb（k≠0）⇔a∥b，所以C选项正确；     D．如果m＝0或a＝0，那么ma＝0，不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S ： △DOE S =1：25，则S 与S 的比是（ ） △COA △BDE △CDE A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， 又S ：S =1：25， △DOE △COA DE 1 ∴  ， AC 5 ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， BE DE 1 ∴   ， BC AC 5 第 3 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BE 1 ∴  ， EC 4 ∴S 与S 的比是1：4， △BDE △CDE 故选B． 6. 如图，D是 ABC边BC上的一点，BADC,ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点  F ，则图中一定相似三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成． 【详解】在 ABC与 DBA中，   ∵ABD＝ABD，BAD＝C， ∴ ABC∽ DBA，   在△ABF 与△CBE中， ∵BF 平分ABC， ∴ABF＝CBE， 又BAF＝BCE， ∴ ABF∽ CBE．   ∵ ABC∽ DBA,   ∴BAC ADB, ∵ABF＝CBE, ∴△ABE∽△DBF ， 所以图形中共有3对相似三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点． 二、填空题（本大题有 12小题，每题 4分，满 48 分） x y 7. 如果x: y 5:3，那么 ________． y 第 4 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 【答案】 3 【解析】 5 【分析】根据x: y 5:3得到x y，把它代入后面的式子求出比值． 3 【详解】解：∵x: y 5:3， 5 ∴3x5y，即x y， 3 5 y y ∴ x y 3 2．   y y 3 2 故答案是： ． 3 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质． 8. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，A，B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距 离是__________千米． 【答案】16 【解析】 【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 1 【详解】解：根据题意，1.6÷ =1600000厘米=16千米． 1000000 即实际距离是16千米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意 单位的转换．        9. 若Q是线段MN延长线上一点，已知MN ＝a，QN＝b ，则MQ＝___．（用含a、b 表示）   【答案】a b 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则进行计算即可．   【详解】解：∵QN＝b ，    ∴NQ＝QN＝-b ，   又MN ＝a，      ∴MQ=MN +NQ=a b 第 5 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   故答案为：a b 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10. 设点P是线段AB的黄金分割点(APBP)，AB 2厘米，那么线段BP的长是___________厘米． 【答案】( 51)##(1 5) 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义可知BP2  ABAP，由此列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：  点P是线段AB的黄金分割点，AP BP， BP2  ABAP，即BP2  ABABBP ， 令BP x，则x2 22x 即x2 2x40，  22 414200， 2 22 414 2 22 414 x   51，x  1 5（舍） 1 2 2 2 线段BP的长是( 51)厘米． 故答案为：( 51)． 【点睛】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键． 2 11. 如图，直线AD∥BE∥CF，BC= AB，DE=6，那么EF的值是________ ． 3 【答案】4． 【解析】 2 【详解】∵AD∥BE∥CF，BC＝ AB， 3 DE AB 3 ∴ ＝ = ， EF BC 2 6 3 即 = ， EF 2 解得EF=4. 第 6 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为4． 点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 12. 已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC  BC 6，那么AG的长为______． 【答案】2 5 【解析】 1 【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出CD的长，然后根据重心的性质可知DG  CD，最后由勾 3 股定理可求得AG的长 【详解】连接CG并延长交AB于点D， ∴CD是等腰直角三角形ABC斜边的中线 1 1 1 ∴CD AB AC2 BC2   3636 3 2 2 2 2 ∵点G是等腰直角三角形ABC的重心， 1 ∴DG  CD 2，且ADCD3 2 3 在Rt ADG中，根据勾股定理得：  AG  AD2 DG2  182 2 5 【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键 13. 如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往走2.5米到达E处 时，测得影子EF 的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度AB的长为 __________米． 第 7 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】5.25 【解析】 身高 路灯的高度 1.5 AB 1.5 AB 1.5 【分析】由  ，可得  ，  ，解得，AB1.5BD，AB BF ， 影长 路灯的影长 1 BD 2 BF 2 则BF 2BD，由BD BF BD DF CECDEF 3.5，代入可求AB． 身高 路灯的高度 【详解】解：∵  ， 影长 路灯的影长 1.5 AB 1.5 AB ∴  ，  ， 1 BD 2 BF 1.5 解得，AB1.5BD，AB BF ， 2 ∴BF 2BD， ∵BF BD BD DF CECDEF 2.5123.5， ∴AB1.53.55.25， 故答案为：5.25． 身高 路灯的高度 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：  ． 影长 路灯的影长 14. 如图，四边形DEFG是 ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB、AC上，点E、F 在边BC  上，DG 2DE，AH 是 ABC的高，BC 20，AH 15，那么矩形DEFG的周长是__________．  【答案】36 【解析】 【分析】根据四边形DEFG是 ABC的内接矩形，可得DG∥EF，KDE DEH 90，证明四  边形DEHK 是的矩形，可推导出KH  DE ，AK是△ADG的高，根据相似三角形的性质可得 DG AK  ，代入数据可得结论． BC AH 【详解】解：设AH 交DG于点K， ∵AH 是 ABC的高，  ∴AHB90， 第 8 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵四边形DEFG是 ABC的内接矩形，  ∴DG∥EF，KDE DEH 90， ∴四边形DEHK 是矩形， ∴DKH 90，KH  DE ， ∴AKD180DKH 1809090，即AK是△ADG的高， ∵DG∥EF，DG 2DE，BC 20，AH 15， ∴△ADG∽△ABC ， DG AK AH KH AH DE ∴    ， BC AH AH AH 2DE 15DE ∴  ， 20 15 解得：DE6， ∴DG 2DE 2612， ∴四边形DEFG的周长是：261236． 故答案为：36． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．掌握相似三 角形的判定和性质是解题的关键． 15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分 的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 第 9 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由题意可知AD DC 10,CG CE GF 6,CEF EFG 90，GH 4， ∴CH 10 AD， ∵DDCH 90,AJDHJC ， ∴  ADJ≌  HCJAAS ， ∴CJ  DJ 5， ∴EJ 1， ∵GI∥CJ ， ∴ HGI∽ HCJ ，   GI GH 2 ∴   ， CJ CH 5 ∴GI 2， ∴FI 4， 1 ∴S  EJ FIEF 15； 梯形EJIF 2 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的 性质与判定是解题的关键． 1 16. 如图已知在 ABC中，C 90，AB5， cotB ，正方形DEFG的顶点G、F 分别在边  2 AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为__________． 10 【答案】 7 【解析】 第 10 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】由正方形DEFG，设DE  DG  EF  x，由AAGD90AB，可得 1 DG BE 1 x BE 1 AGDB，则cotAGDcotB ，即   ，   ，解得，AD2x， 2 AD EF 2 AD x 2 1 BE  x，根据AB ADDEBE 5，代值计算求解即可． 2 【详解】解：∵正方形DEFG， ∴ADG BEF 90，DE  DG  EF， 设DE  DG  EF  x， ∵AAGD90AB， ∴AGDB， 1 DG BE 1 ∴cotAGDcotB ，即   ， 2 AD EF 2 x BE 1 1 ∴   ，解得，AD2x，BE  x， AD x 2 2 ∵AB ADDEBE 5， 1 10 ∴2xx x5，解得，x ， 2 7 10 故答案为： ． 7 【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线 段之间的数量关系． 17. 新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等 腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________． 【答案】44 2 或12 【解析】 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ABC是等腰直角三角形，AD  AC 4，  ∴AB2 BC2 2AB2  AC2 16， ∴AB2 2， 第 11 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1  ∴梯形ABCD的面积为 BC ADAB 2 24 2 2 44 2； 2 2 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ABC是等腰直角三角形，CD AC 4，  ∴BADB90，BAC 45， ∴CADD45， ∴ACD=90， ∴ ACD是等腰直角三角形，  ∴AD 2AC 4 2 ， 1 1  ∴梯形ABCD的面积为 BC ADAB 2 24 2 2 2 12； 2 2 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ABC是等腰直角三角形，CD AC 4；  综上所述，它的面积为44 2 或12． 故答案为：44 2 或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 18. 如图，在Rt△ABC 中，ACB90，CD是 ABC的角平分线，AC:BC 3:4．将Rt△ABC 绕  点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，连接DE，那么AED的正切值为 __________． 3 【答案】 7 【解析】 【分析】设点C落在射线CD上的点C处，设AC 3x，BC 4x，根据角平分线的性质和旋转的性质 可得90EABCAC，进而得到AC∥BC，即可求解． 【详解】解：设点C落在射线CD上的点C处，如图， 第 12 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵ACB90，AC:BC 3:4，. 设AC 3x，BC 4x， 则AB AC2 BC2 5x， ∵CD是 ABC的角平分线，  ∴ACDDCB45， ∵将Rt△ABC 绕点A旋转， ∴AC  AC，CABCAE，AB AE 5x， ∴ACDACC 45DCB,EABCAC， ∴90EABCAC， ∴AC∥BC， AD AC 3 ∴   ①， DB BC 4 ∵ADBD5x② 15 由①②得：AD x， 7 由旋转的性质可知，AE  AB5x， AD 3 ∴tanAED  ， AE 7 3 故答案为： ． 7 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等；计算出AD的长是解决问题的关键． 三、解答题（本大题满分 78分） 2sin30 19. 计算：  cot301． 2cos45tan45 【答案】 2 3 第 13 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则进行计算． 1 2 2 【详解】解：原式  31 2 2 1 2 1   31 21  21 31  2 3． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数的值的运算，二次根式的运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关 键．     20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设AB a，ADb．  （1）求向量MN ；    （2）在图中求作向量MN 在AB、AD方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的 向量）．  1  1  【答案】（1）MN  a- b ；（2）见解析 2 2 【解析】  【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得DB，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形  中位线的性质，即可求得向量MN ；  （2）首先平移向量MN ，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．     【详解】解：（1）∵AB=a，AD=b ，      ∴DB=AB-AD=a-b ， ∵点M、N分别为DC、BC的中点， 第 14 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 1  1  ∴MN  DB a - b ； 2 2 2      （2）作图：结论：AP、AQ是向量MN 分别在AB、AD方向上的分向量． ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边 形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． 5 21. 已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝ ，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的 13 中点，连接AE并延长，交边BC于点F． （1）求∠EAD的余切值； BF （2）求 的值． CF 5 BF 5 【答案】（1）∠EAD的余切值为 ；（2） = . 6 CF 8 【解析】 5 【分析】（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC= ，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而 13 可求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可； （2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设 CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED， 可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值. 【详解】（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADE=90°， 5 Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC= ， 13 ∴AD=5， 由勾股定理得：BD=12， 第 15 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵E是BD的中点， ∴ED=6， 5 ∴∠EAD的余切= = ； 6 （2）过D作DG∥AF交BC于G， ∵AC=8，AD=5， ∴CD=3， ∵DG∥AF， 3 ∴ = ， 5 设CD=3x，AD=5x， ∵EF∥DG，BE=ED， ∴BF=FG=5x， 5 ∴ = = . 8 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌 握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理. DE BD 22. 如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE、BE ，ABE AED，  ．  BE CE （1）求证：DE∥BC ； （2）若S 1，S 8，求 BDE的面积． △ADE 四边形DBCE  【答案】（1）证明过程见详解． （2） BDE的面积为2．  【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 利 用 ABE AED先 判 定 △ADE∽△AEB， 得 到 ADEAEB从 而 证 明 第 16 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE BD BDE BEC，结合  ，证明△BDE∽△CEB，得到DBE C即可． BE CE （2）利用△ADE∽△ABC及面积比值得到3DE  BC ，通过△BDE∽△CEB得到 3DE  BE，最 后利用△ADE∽△AEB求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ABE AED，AA， ∴△ADE∽△AEB， ∴ADEAEB， ∵ADEBDE AEBBEC 180， ∴BDE BEC， DE BD 又∵  ， BE CE ∴△BDE∽△CEB ∴AEDDBE C， ∴DE∥BC ． 【小问2详解】 解：∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC， 又∵S 1，S 8， △ADE 四边形DBCE ∴S ：S 1:9， △ADE △ABC ∴3DE  BC ， ∵△BDE∽△CEB， BE DE BD ∴   ， BC BE CE ∴ 3DE  BE， 又∵△ADE∽△AEB， ∴S ：S 1:3， △ADE △AEB ∵S 1， △ADE ∴S 3， △AEB 第 17 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴S S S 312． △BDE △BAE △ADE 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相 似的性质得到线段的比值是解题关键． 23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE BC于E，AF CD于F ．求证： （1） ABE∽ ADF ；   （2）CDEF  ACAE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由ABCD是平行四边形，可知BD，由AE BC，AF CD，可得 AEB90AFD，进而可证 ABE∽ ADF ；   AB AE 由ABCD是平行四边形，可知BC  AD，ABCD，由 ABE∽ ADF ，可得  ，即   AD AF AB AE AB BC  ，  ，由BAEB90BAEEAF ，可得BEAF ，证明 BC AF AE AF AB AC CD AC ABC∽ EAF ，则  ，即  ，进而结论得证．   AE EF AE EF 【小问1详解】 证明：∵ABCD是平行四边形， ∴BD， ∵AE BC，AF CD， ∴AEB90AFD， ∴ ABE∽ ADF ；   【小问2详解】 证明：∵ABCD是平行四边形， ∴BC  AD，ABCD， ∵ ABE∽ ADF ，   AB AE AB AE ∴  ，即  ， AD AF BC AF AB BC ∴  ， AE AF 第 18 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵BAEB90BAEEAF ， ∴BEAF ， ∴ ABC∽ EAF ，   AB AC CD AC ∴  ，即  ， AE EF AE EF ∴CDEF  ACAE． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于确定相似三角形的判 定条件． 24. 已知：如图， ABC各顶点的坐标分别是A0,4、B2,0、C4,0 ．  （1）求BAC的余切值； （2）若点P在y轴的正半轴，且△POC 与 AOB相似，请直接写出点P的坐标；  （3）已知点M 在y轴上，如果OMBOABACB，求点M 的坐标． 1 【答案】24. 3 25. 0,8 或 0,2  2  2 26  0, 或 0,  .  3  3 【解析】 【分析】（1）由两点距离公式可求AO4CO,BO2，BC 6,BCA45，由直角三角形的性质 可求BH 的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； 1 1 （3）根据题意可得OMBBAC，再由cotBAC  ，可得cotBMO ，即可求解． 3 3 【小问1详解】 解：∵A0,4、B2,0、C4,0 ， 第 19 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AO4CO,BO2， ∴BC 6,BCA45， ∴AC 4 2， 如图1，过点B作BH  AC于H， ∴BCACBH 45， ∴BH CH ， ∴BC  2BH 6， ∴BH 3 2  HC， ∴AH  2， AH 2 1 ∴cotBAC    ； BH 3 2 3 【小问2详解】 解：∵点P在y轴正半轴上， ∴POC AOB90， AO BO 当  时，则 AOB∽ COP，   CO PO 4 2 ∴  ， 4 PO ∴PO2， ∴点P的坐标为 0,2 ； AO BO 当  时，则 AOB∽ POC，   OP CO 4 2 ∴  ， OP 4 ∴OP8， 第 20 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴点P的坐标为 0,8 ； 综上所述：当点P的坐标为 0,2 或 0,8 时，△POC 与 AOB相似；  【小问3详解】 解：∵OMBOABACB，ACBOAC ， ∴OMBOABACBOABOAC BAC， 1 由（1）得：cotBAC  ， 3 1 ∴cotBMO ， 3 MO MO 1 ∴   ， OB 2 3 2 ∴MO ， 3  2  2 此时点M的坐标为 0, 或 0, ．  3  3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质， 直角三角形的性质是解题的关键． 25. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB3,AD4,E是对角线BD上一点（与B、D不重合），EF 平分 AED交边AD于点F,FG  AE ，交AE于点G． （1）当EFAD时，求EF 的长； （2）当 AFG与△BCD相似时，求DEF的正切值；  第 21 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）如果 DEF 的面积是 EFG面积的2倍，求BE 的长．   3 【答案】（1）EF  ； 2 4 （2）tanDEF  或1； 3 5 （3）BE  2 【解析】 AD 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的性质可得  EFA≌  EFDASA ，可得DF  ，再根据 2 EFAD，AB AD，可得AB∥EF，进而证明 DFE∽ DAB，即可求解；   （2）分为当 AGF∽ BCD时及当 AGF∽ DCB时两种情况进行讨论，再求解即可；     （3）过F作FH  BD，根据 DEF 的面积是 EFG面积的2倍和EF 平分AED可得DE 2GE，   进而证明  FGE ≌  FHEHL ，  FEH ≌  FDHSAS ，设GE  x，即可求解． 【小问1详解】 解：∵EFAD，四边形ABCD是矩形， ∴EFDBAD90， ∵EF 平分AED， ∴AEF DEF ， ∵EF  FE， ∴  EFA≌  EFDASA ， ∴ FA FD， AD ∴DF  ， 2 ∵EFAD，AB AD， ∴AB∥EF， ∴ DFE∽ DAB，   DF EF ∴  ， DA AB 1 3 ∴EF  AB ； 2 2 【小问2详解】 第 22 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解：当 AGF∽ BCD时，   ∴FAG CBD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴ADBCBD， ∴FAG ADB， ∴AE  ED， ∵EF 平分AED， ∴EFAD， （2）满足（1）的条件， 3 AD 由（1）得：EF  ，DF  ， 2 2 DF 4 ∴tanDEF   ； EF 3 当 AGF∽ DCB时，   ∴FAG CDB， ∵ADECDB90， ∴ADEFAG 90， ∴AED90， 1 ∴DEF  AED45， 2 ∴tanDEF tan451； 4 综上所述，tanDEF  或1； 3 【小问3详解】 解：过F作FH  BD，如图， 第 23 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) FH 在△FEH 中，sinFED ， FE ∴FH  FEsinFED， FG 在 FEG中，sinFEG  ，  FE ∴FG  FEsinFEG， 1 1 ∵S  GEFG，S  DEFH ， GEF 2 EFD 2 ∵S S ， GEF DEF 1 1 ∴ DEFEsinFED2 GEFEsinFEG①， 2 2 ∵EF 平分AED， ∴AEF DEF ， ∴ sinAEF sinDEF ， ①式可化成：DE 2GE， ∵EF 平分AED，FH  BD，FG  AE， ∴FG  FH ， ∴  FGE ≌  FHEHL ， 1 ∴EH GE  DE ， 2 ∴H为ED中点， ∴EH  HD， ∵FH ED， ∴FHE FHD90， ∴  FEH ≌  FDHSAS ， ∴EF  DF ， 设GE  x，则DE 2x， ∵AB 3,AD 4， ∴BD5， 第 24 页 共 25 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AB 3 AD 4 ∴sinADB  ，cosADB  ， BD 5 AB 5 5 1 5 ∴EF  FD x，BE  BDED52x BD，解得：BE  ； 4 2 2 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确地作出辅助 线是解题关键． 第 25 页 共 25 页