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2023 届黄浦区高三二模考试数学试卷
一、填空题
1. 设集合 ，则 ___________．
2. 函数 的最小正周期为____________．
的
3. 若函数 图像经过点 与 ，则m的值为____________．
4. 设复数 、 在复平面内的对应点关于虚轴对称， （ 为虚数单位），则 ______.
的
5. 以抛物线 焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________.
6. 已知 m 是 与 4 的等差中项，且 ，则 的值为
____________．
7. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 ，则实数a的值
为____________．
8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为 的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底
面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________ ．
9. 若函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位所得到，
且函数 在区间 上是严格减函数，则 __________．
10. 若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则
经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．
11. 如图．在直角梯形 中． ，点P是腰 上的动点，
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则 的最小值为____________．
12. 已知实数a，b，c满足： 与 ，则abc的取值范围为____________．
二、选择题
13. 若直线 与直线 垂直，则实数a 的值为（ ）
A. B. C. D.
14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球
15. 如图． 与 都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、
AC的中点．设二面角 的大小为 ，当 在区间 内变化时、下列结论正确的是（ ）
A. 存在某一 值．使得
B. 存在某一 值．使得
C. 存在某一 值．使得
D. 存在某一 值，使得
16. 设数列 的前n项的和为 ，若对任意的 ，都有 ，则称数列 为“K数列”．关于
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命题：①存在等差数列 ，使得它是“K数列”；②若 是首项为正数、公比为 q的等比数列，则
是 为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
为
A. ①和②都 真命题 B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②都为假命题
三、解答题
17. 在 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的周长和面积．
18. 如图，多面体 是由棱长为3的正方体 沿平面 截去一角所得到，
在棱 上取一点E，过点 ，C，E的平面交棱 于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求点E到平面 的距离以及 与平面 所成角的大小．
19. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们
的绩效分数分成5组： ，分别加以统计，得到下列频率分布直
方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．
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（1）请列出 列联表，并判断能否有 的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为 ，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产
标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附： ．
.
0.100 0050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
20. 已知双曲线 的中心在坐标原点，左焦点 与右焦点 都在 轴上，离心率为 ，过点 的动直线
与双曲线 交于点 、 ．设 ．
（1）求双曲线 的渐近线方程；
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（2）若点 、 都在双曲线 的右支上，求 的最大值以及 取最大值时 的正切值；（关于求
的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 为 ，建立相应
数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点 在双曲线 的左支上（点 不是该双曲线的顶点，且 ，求证： 是等腰三角形．
且 边的长等于双曲线 的实轴长的2倍．
21. 三个互不相同的函数 与 在区间 D 上恒有 或恒有
，则称 为 与 在区间D上的“分割函数”．
（1）设 ，试分别判断 是否是 与 在
区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是 与 在区间 上的“分割函数”；
（3）若 ，且存在实数k，b，使得 为 与 在区间 上
的“分割函数”，求 的最大值．
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