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第一章 单元测试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1.由下列线段 a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )
A.a=3,b=4,c=5 B.a=1,b=错误: 引用源未找到,c=错误: 引用源
未找到
C.a=9,b=12,c=15 D.a=错误: 引用源未找到,b=2,c=错误: 引用源
未找到
2.如图 ,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后 ,仍无法判定
△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
3.下列四个命题中,假命题是( )
A.“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理
B.等边三角形是锐角三角形
C.角平分线上的点到角两边的距离相等
D.真命题的逆命题是真命题
4.下列能判定三角形是等腰三角形的是( )
A.有两个角为30°,60° B.有两个角为40°,80°
C.有两个角为20°,100° D.有两个角为50°,80°
5.已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3,则第三条边的长是()
A.7或3 B.7 C.4 D.3
6.如图,已知 D为△ABC边AB的中点,E在AC上,将△ABC沿着 DE折叠,
使A点落在BC上的F处,若∠B=65°,则∠BDF等于( )
A.65° B.50° C.60° D.57.5°
7.下列两个三角形中,一定全等的是( )
A.有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
8.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,BC=6 cm,AB 的垂直平分线交
BC 于点 M,交 AB 于点 E,AC 的垂直平分线交 BC 于点 N,交 AC 于点 F,则
MN的长为 ( )
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A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
9.如图,△ABC 和△DCE 都是边长为 4 的等边三角形,点 B,C,E 在同一
条直线上,连接BD,则BD的长为( )
【版权所有：21教育】A.4错误: 引用源未找到 B.2错误: 引用源未找到 C.3错误: 引
用源未找到 D.6错误: 引用源未找到
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为 E,F,则下列四个结论:①AD上任意一点到点 C,B的距离相
等 ;②AD 上 任 意 一 点 到 AB,AC 的 距 离 相
等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中正确的有( )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题3分,共24分)
11.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题
是 ,这个逆命题是 命题.
12. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC 于点 D,则
∠CBD= .
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13.如图,AC,BD 相交于 O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40°,∠ACB=35°,则
∠AOD= .
14. 用反证法证明 “三角形中至少有一个内角不小于 60°”时,假设
“ _ ______________________________ _”,则与
“ _ ______________________________ _”矛盾,所以原命题正确.
15. 如图,在△ABC中,高AD,CE相交于H,且CH=AB,则∠
ACB= _ ______________________________ _°.
16. 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 ,∠ A=90°,AD=4, 连 接
BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若 P 是 BC 边上一动点,则 DP 长的最小值为
_ __________ _.
17. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC 的平分线
与AB的垂直平分线交于点 O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠OEC的
度数是 _ ______________________________ _.
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18. 如图,已知∠MON=30°,点A ,A ,A ,…在射线ON上,点B ,B ,B ,…
1 2 3 1 2 3
在射线OM上,△A B A ,△A B A ,△A B A ,…均为等边三角形,若OA =1,
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
则△A B A 的边长为 _ ______________________________ _.
6 6 7三、解答题(23题10分,24,25题每题12分,其余每题8分,共66分)
19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,高CD和角平分线 AE交于点 F,求证:
CF=CE.
20.如图,已知△ABC,∠C=90°,AC”“<”或“=”).
(2)如图②,M 为 AB 边上一点,过 M 作 BC 的平行线 MN 分别交边
AC,DE,DF于点G,H,N,连接BH,GF.
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求证:BH=GF.25.如图,在等腰直角三角形 DBC 中,∠BDC=90°,BF 平分∠DBC,与 CD
相交于点F,延长BD到A,使DA=DF.
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(1)求证:△FBD≌△ACD.
(2)如图,延长 BF交AC于点 E,且BE⊥AC,求证:CE=错误: 引用源未找
到BF.
(3)在(2)的条件下,H是BC边的中点,连接DH,与BE相交于点G,如图.
试探索CE,GE,BG之间的数量关系,并证明你的结论.
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参考答案
一、
1.【答案】D
解：（错误: 引用源未找到） 2+22≠（错误: 引用源未找到）2不能构成直角三角形，
故选D
2.【答案】C
解：解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符
合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合
题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
3.【答案】D
4.【答案】D
解：因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，
所以此选项正确。故选D.
5.【答案】B
解：分两种情况讨论：
①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的
长为7，
②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，3+3=6＜7，所以不能组成三
角形．
因此第三边的长为7．
故选：B．
6.【答案】B
7.【答案】C
解：A、不正确，没有指明该角是顶角还是底角；
B、不正确，虽然其角相等，但边不一定相等；
C、正确，分析得该100度角只能为顶角，符合判定SAS；
D、不正确，没有指明边与角具体是腰还是底边，是顶角还是底角．
故选C．8.【答案】C
解：∵AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.
∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAM+∠CAN=60°，
∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形,
∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∴MN=1/3BC=2 cm.
故选C．
9.【答案】A
10.【答案】D
解：利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得①、②正确；通过证
明△BED≌△CFD，可得到③中的结论；利用等腰三角形底边上的中线、
高线与顶角的角平分线三线合一，可得④中的结论．
解：①∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∴DE=DF，∴①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；
②∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等；
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③∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠BED=∠CFD，DE=DF，∴△BED≌△CFD，∴BDE=∠CDF；
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④∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC．
所以①、②、③、④均正确，故选D．
二、
11.【答案】如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰
三角形;真
12.【答案】18°
13.【答案】75°
14.【答案】三角形的三个内角都小于60°;三角形的内角和是180°
15.【答案】45
解 ： 如 图 ,∵ CE⊥ AB 于 E,AD⊥ BC 于
D,∴∠AEC=90°,∠5=∠6=90°.∴∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°.∵∠
2=∠3,∴∠1=∠4.
在△ABD和△CHD中,错误: 引用源未找到
∴△ABD≌△CHD(AAS).
∴AD=CD.
∴△ADC为等腰直角三角形.
∴∠ACB=45°.
(第15题)16.【答案】4
17.【答案】100°
18.【答案】32
解 ： ∵ △ A B A 是 等 边 三 角 形 ,
1 1 2
∴A B =A B ,∠A B A =∠B A A =∠A A B =60°.∴∠OA B =120°.∵∠MO
1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1
N=30°,∴ ∠ OB A =180°-120°-30°=30°.∴ OA =A B =A B =1. 又
1 1 1 1 1 2 1
∵∠A B A =60°,
1 1 2 21*cnjy*com
∴∠A B B =180°-60°-30°=90°.∵△A B A 是等边三角形,
2 1 2 2 2 3
∴ ∠ B A A =60°.∴ ∠ B A B =60°.∴ ∠ B B A =90°-
2 2 3 1 2 2 1 2 2
∠B A B =30°.∴A B =2B A =2.同理得出 B A =2B A ,∴A B =4B A =4.以
1 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 3 3 1 2
此类推,A B =32B A =32.
6 6 1 2 【出处：21教育名师】
三、
19. 证 明 : 由 AE 为 △ ABC 的 角 平 分 线 可 知 ∠ CAE=∠ BAE. 又
∠CAE+∠AEC=90°=∠BAE+∠AFD,∠AFD=∠CFE,所以∠CFE=∠AEC,所
以CF=CE.
20.解:(1)点D的位置如图(D为线段AB的垂直平分线与BC的交点).
(2)∵ 在 Rt△ ABC 中 ,∠ B=37°,∴ ∠ CAB=53°. 又
∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=37°.∴∠CAD=53°-37°=16°.
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(第20题)21.证明:∵AB=AC,∴∠EBC=∠DCB.∵BD,CE是△ABC的两条高,
∴∠BEC=∠CDB=90°.
在△BEC和△CDB中,
∵∠EBC=∠DCB,∠BEC=∠CDB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB.
∴∠ECB=∠DBC.
∴OB=OC.
22.证明:∵点E在线段BC的垂直平分线上,
∴EB=EC.
∴∠C=∠CBE.
∵AD⊥BC,
∴∠BFD+∠CBE=90°,∠C+∠CAD=90°.
∴∠BFD=∠CAD.
又∵∠AFE=∠BFD,
∴∠CAD=∠AFE.∴EA=EF.
∴点E在线段 AF的垂直平分线上(到线段两个端点的距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上).
23.(1)证明:连接DB,DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.
∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,
DF⊥AF.∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.
(2)解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°.
又∠DAE=∠DAF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF.
∴AE=AF=AC+CF.
由(1)知BE=CF,
∴AE=4+BE.∴AE=4+8-AE.
∴AE=6.
24.(1)=
(2)证明:如图,将△DEF 沿 FE 方向平移,使点 E 与点 C 重合,得到
△ D'CF'. 设 ED 平 移 后 与 MN 相 交 于 R, 则
D'C∥DE.∵MN∥BC,D'C∥DE,∴∠GRC=∠RHE=∠DEF,∠RGC=∠GCB.易
知 ∠ GCB=∠ DEF,∴ ∠ GRC=∠ RGC.∴ CG=CR.∴ CG=HE. 又
∵BE=CF,∠HEB=∠GCF,∴△BEH≌△FCG.∴BH=GF.
(第24题)
25.(1)证明:∵△BCD是等腰直角三角形,且∠BDC=90°,∴BD=CD,∠BDC=∠CDA=90°.
在△FBD和△ACD中,
∴△FBD≌△ACD(SAS).
(2) 证 明 :∵ BE⊥ AC,∴ ∠ BEA=∠ BEC=90°.∵ BF 平 分
∠ DBC,∴ ∠ ABE=∠ CBE. 又
BE=BE,∴△ABE≌△CBE(ASA),∴AE=CE.∴CE=错误: 引用源未找到 AC
.由(1)知△FBD≌△ACD,∴BF=AC,∴CE=错误: 引用源未找到BF.
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(3)解:BG2=GE2+CE2.证明:连接 CG,∵H 是 BC 边的中点,BD=CD,∴DH 垂
直平分 BC,∴BG=CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距
离相等).
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∵BE⊥AC,∴CG2=GE2+CE2,
∴BG2=GE2+CE2.
