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【新北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章《三角形的证明》
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一.选择题：（每小题3分共36分）
1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点
A落在点A’处，且点A’在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm
2-1-c-n-j-y
A
E
D
C
B
A/
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，
则CP的长为( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
C
D
P
A
B
4．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
5．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）
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A．AD=DB B．DE=DC C．BC=AE D．AD=BC
6．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=6，则点P到
AB的距离是（ ）
A．8 B．10 C．5 D．6
7．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为
17cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE=4，则
△BCE的面积等于（ ）
A、32 B、16 C、8 D、49．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北
偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距( )
A. 100海里 B. 80海里 C. 60海里 D. 40海里
10．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=3，BC=8，则△EFM的周长是
（ ）
A．21 B．15 C．13 D．11
11．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作
△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形
C．∠APB=150° D．∠APC=135°
12．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ
交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（ ）
A． B． C． D．不能确定
二.填空题：（每小题3分共12分）
13．如图，如果在△ABC中，D为BC上的一点，且AB=AD=DC，∠C=40°，则∠BAD=_________．14．如图，AD=BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC=8cm，DC=3cm，则AE= cm．
15．如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，
过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面积为 cm2
.
16．如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB的动
点，则BD＋DE的最小值是 ．
A
E
D
B M C
三.解答题：（共52分）
17．（7分）如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．18．（7分）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，分别交AB、
AC于点D、E.求证：DE=BD+CE
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19．（8分）如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=5cm，DE=3cm，
你知道BE的长吗？21．（7分）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，
求证：BP=2PQ．
22．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：
EF= AB．
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23．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC=15，BE=3，求AB的长．参考答案
1．C
【解析】
试题分析：等边三角形性质：
1三边相等
2三个角都相等
3三个角都等于60°
4高线、腰、底边中线三线合一．
三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等．
解：已知三角形为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C= =60°．
故选C．
2．C
【解析】
试题分析：根据折叠图形可得：AD=A′D，AE=A′E，则阴影部分的周长=AB+AB+BC=3.
3．A
【解析】
试题分析：根据∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC可得：BD=AD=6，根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半得出CP=3.
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4．B
【解析】试题分析：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴∠BOC=90°+70°=160°．
故选：B．
5．D
【解析】
试题分析：根据垂直平分线性质，A正确；易证BD平分∠ABC，根据角平分线性质，B正确；
BC=BE=AE，故C正确；AD=BD＞BC，故D错误．
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解：A、正确．
∵DE垂直平分AB，∴DA=DB．
B、正确．
∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°．
∵DA=DB，∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠DBA=∠DBC=30°．
∵DC⊥BC于C，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
C、正确．
∵∠BDE=∠BDC=60°，BC⊥DC于C，BE⊥DE于E，
∴BC=BE=EA．
C、错误．
因为AD=BD＞BC，故D错误．
故选D．
6．D．
【解析】
试题分析：点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，则P到AB的距离等于PE，∴P到AB的
距离等于6，故选D．
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7．C．
【解析】
试题解析：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，
∴AD+DC=17－5=12（cm），
∵AD=BD，
∴BD+CD=12cm．
故选C．
8．B
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可得：点E到BC的距离为4，则三角形的面积=8×4÷2=16.9．B
【解析】
试题分析：连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，则AC=80海里.
10．D
【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=FM= BC，再根据三角形的
周长的定义列式计算即可得解． ∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点， ∴EM=FM= BC=
×8=4，
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∴△EFM的周长=8+8+3=11．
11．D
【解析】
试题分析：根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，
QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求
出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ 是等边三角形， ∴PQ=BP=4， ∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
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∴ ∠ PQC=90° ， 即 △ PQC 是 直 角 三 角 形 ， ∵ △ BPQ 是 等 边 三 角 形 ，
∴∠BOQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣
∠QPC，
【出处：21教育名师】
∵∠PQC=90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°， ∴选项A、B、C正确，选项
D错误．
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12．B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，且PF∥BC，
又∵PE⊥AF，
∴AE=EF= AF；（等边三角形三线合一）
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠QCD，∠FPD=∠Q；
又∵PA=PF=CQ，
在△PFD和△QCD中 ，
∴△PFD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DF= CF；
∴DE=DF+FE= （AF+FC）= AC= ，
故选B．13．20°．
【解析】
试题分析：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C=40°，∴∠ADB=∠DAC+∠C=80°．∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=80°，∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣80°﹣80°=20°．
14．2
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质可得：AD=BD=8－3=5，根据△BDE≌△ADC可得DE=DC=3，则
AE=AD－DE=5－3=2cm.
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15．20
【解析】解：如图，过点C作CF⊥OM于点F，
∵BE是线段OA的垂直平分线
∴OB=AB=10
∵OP是∠MON的角平分线
∴CF=CA=4
∴△OBC的面积= ×OB•CF= ×10×4=20（cm2）
故填20．
16．8
【解析】
试题分析：过点B作BF⊥AC，则BD+DE的最小值就是BF的长度，根据角平分线的性质可得
∠BAC=30°，根据直角三角形的性质可得：BF= AB=8.
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17．证明详见解析.
【解析】
试题分析：先根据全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，进而得出DE=DF，由角平
分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．
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试题解析：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
∵BE=CF，BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
18．证明过程见解析
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质和平行线的性质得出DB=DF，EC=EF，从而得出答案.
试题解析： ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点F. ∴∠ABF=∠FBC, ∠ACF=∠FCB.∵DE∥BC ∴∠FBC=∠BFD, ∠FCB=∠EFC ∴∠BFD=∠DBF, ∠EFC=∠ECF．
∴DB=DF, EC=EF. ∵DE=DF+EF ∴DE=BD+CE
19．(1)、3cm；(2)、30°
【解析】
试题分析：(1)、根据线段垂直平分线定理得出AD=BD，根据BC+CD+BD=8cm求出AC+BC=8cm，
把AC的长代入求出即可；(2)、已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线
的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
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试题解析：(1)、∵D在AB垂直平分线上， ∴AD=BD， ∵△BCD的周长为8cm，
∴BC+CD+BD=8cm， ∴AD+DC+BC=8cm， ∴AC+BC=8cm， ∵AB=AC=5cm，
∴BC=8cm﹣5cm=3cm；
(2)、∵∠A=40°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， 又∵DE垂直平分AB， ∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
20．2cm．
【解析】
试题分析：易证△ACD≌△CBE，即可求得AD=CE，BE=CD，即可解题．
试题解析：∵∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵在△BCE和△ACD中，
∠BEC=∠ADC=90°，∠BCE=∠DAC，BC=AC，
∴△BCE≌△ACD，（AAS）
∴AD=CE，BE=CD
∴BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2cm．
21．证明详见解析.
【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明
△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60°，再根
据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于
斜边的一半证明即可．
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试题解析：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°，
∴BP=2PQ．22．证明详见解析.
【解析】
试题分析：连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半证明．
试题解析：如图，连接BE，
∵在△BCD中，DB=BC，E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∵F是AB的中点，
∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，
∴EF= AB．
23．(1)、证明过程见解析；(2)、9.
【解析】
试题分析：(1)、求出∠E=∠DFC=90°，根据HL推理Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性
质得出 DE=DF，根据角平分线性质得出即可；(2)、根据全等三角形的判定得出
Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得出AE=AF，即可得出答案．
试题解析：(1)、∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E=∠DFC=90°， 在Rt△BED和Rt△CFD
中
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE=DF， ∵DE=DF，DE⊥AB，
DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)、解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E=∠DFA=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF=BE， ∵AC=15，BE=3， ∴AB=AE﹣BE=AF﹣CF=AC﹣CF﹣CF=15﹣3﹣3=9．
