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新北师大版八年级下册期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分）
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．5+4＞8 B．2x﹣1 C．2x≤5 D． ﹣3x≥0
2．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2+y2=（x+y）（x﹣y） B．a2﹣9=（a+3）（a﹣3）
C．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 D．x3﹣x=x（x2﹣1）
解：A、x2+y2不能因式分解，所以此选项不正确；
B、a2﹣9=（a+3）（a﹣3），所以此选项正确；
C、（a+3）（a﹣3）=a2﹣9属于整式的乘法，所以此选项不正确；
D、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），所以此选项不正确；
故选B．
3．下列图形中，旋转对称图形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（4）；不是旋转对称图形的是（3）．
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故选：C．
4．某体育用品厂要生产a只篮球，原计划每天生产b只篮球（a＞b，且b是a的约
数），实际提前了1天完成任务，则实际每天生产篮球（ ）
A． 只 B． 只 C． 只 D． 只
解：由题意可得，
实际每天生产篮球为： ，
故选C．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，
∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，
∴AB=2DF=8，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABF=30°，
∴AF= AB=4，
∴BF= = =4 ．
故选D．
6．函数y= 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
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解：∵函数y= 有意义，
∴分母必须满足 ，
解得， ，
∴x＞1；
故选B．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为
13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．13 B．19 C．10 D．16
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，
故选B．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则
点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（ ）
A．2cm、2cm、2cm B．3cm、3cm、3cm
C．4cm、4cm、4cm D．2cm、3cm、5cm
解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，
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∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE=OF=OD，
设OE=x，
∵S =S +S +S ，
△ABC △OAB △OAC △OCB
∴ ×6×8= OF×10+ OE×6+ OD×8，
∴5x+3x+4x=24，
∴x=2，
即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2．
故选A．
9．如图，一次函数y =x+b与y =kx﹣2的图象相交于点P（1，3），则关于x的不等
1 2
式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
解：观察函数图象可知：当x＞1时，一次函数y =x+b的图象在y =kx﹣2的图象
1 2
的上方，
∴关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞1．
故选C．
10．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另
一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直
线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．6
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解：如图作AH⊥CH．
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，
∴AC=2AH=6，
在Rt△ABC中，AB= = =6 ．
故选D．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若
AC=2，∠ADC=30°，
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是10+2 ；
④四边形ACEB的面积是16．
则以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
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∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=2 ，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=2 ，
∴CB=4 ，
∴AB= =2 ，
∴四边形ACEB的周长是10+2 故③正确；
④四边形ACEB的面积： ×2×4 + ×4 ×2=8 ，故④错误，
故选：C．
12．五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆
沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子
的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
解：设出购买豆沙馅x个，蛋黄鲜肉馅y个，由题意列出不等式组 ，
可行域内的整点为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），（6，1）共
14组．
∴有14种不同的购买奖品方案．
故选D
二．填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13．不等式2x﹣7＜5﹣2x的非负整数解的个数为 3 个．
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解：∵2x+2x＜5+7，
∴4x＜12，
∴x＜3，
则不等式的非负整数解有0、1、2这3个，
故答案为：3．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC
于点D，连接BD，则∠ABD= 3 6 °．
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=72°﹣36°=36°，
故答案为：36
15．若关于x的分式方程 ﹣2= 有增根，则m﹣2的值为 ．
解：方程两边都乘（x﹣3），得
x﹣2（x﹣3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m2=3，
m﹣2= = ．
故答案为： ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2CD，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足
E 在线段 AB 上，连接 EF、CF，则下列结论①∠DCF=∠ECF；② EF=CF；
③∠DFE=3∠AEF；④S ＜2S ．中一定成立的是 ②③④ ．（请填序号）
△BEC △CEF
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解：如图延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于
K．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，
∴∠A=∠FDH，
在△AFE和△DFH中，
，
∴△AFE≌△DFH，
∴EF=FH，
∵CE⊥AB，AB∥CH，
∴CE⊥CD，
∴∠ECH=90°，
∴CF=EF=FH，故②正确，
∵DF=CD=AF，
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB，
∵∠FCB＞∠ECF，
∴∠DCF＞∠ECF，故①错误，
易证四边形DFKC是菱形，
∴∠DFC=∠KFC，
∵AE∥EK，
∴∠AEF=∠EFK，
∵FE=FC，FK⊥EC，
∴∠EFK=∠KFC，
∴∠DFE=3∠AEF，故③正确，
∵四边形EBCN是平行四边形，
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∴S =S ，
△BEC △ENC
∵S =2S ，S ＞S ，
△EHC △EFC △EHC △ENC
∴S ＜2S ，故④正确，
△BEC △CEF
故正确的有②③④．
故答案为②③④．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．解不等式 ﹣ ≥x﹣ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：原不等式化简为：2x﹣4﹣9x﹣15≥6x﹣4+2x，
解得x≤﹣1．解集在数轴上表示为：
18．先化简，再求代数式的值： ，其中m=1．
解：原式= •
= ，
当m=1时，原式= =﹣ ．
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直
角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A B C ，画出△A B C ，并写出C
1 1 1 1 1 1 1
的坐标；
②以原点O为对称中心，再画出与△A B C 关于原点O对称的△A B C ，并写出
1 1 1 2 2 2
点C 的坐标．
2
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解：①如图所示：C 的坐标（4，4）．
1
②如图所示：点C 的坐标（﹣4，﹣4）．
2
20．阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为 ，如果有一个n边形的对角线一共有
20条，则可以得到方程 =20，去分母得n（n﹣3）=40；∵n为大于等于3的整数，
且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n
﹣3）=40的整数n=8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地
正确吗？为什么？
（1）解：方程 =14，
去分母得：n（n﹣3）=28；
∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，
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∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，
符合方程的整数n=7，即多边形是七边形．
（2）解：A同学说法是不正确的，
∵方程 =30，去分母得n（n﹣3）=60；
符合方程n（n﹣3）=60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条．
21．已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点．求证：
（1）△AFB≌△CED；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，∠B=∠D，AD=BC，
∵E、F分别是AD，BC的中点，
∴AE=DE=FC=BF，
在△AFB和△CED中，
，
∴△AFB≌△CED（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵AE=BF，
∴四边形AECF是平行四边形．
22．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进
多少件？
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（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，
请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得： ．
解得： ．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得 ．
解不等式组，得65＜a＜68．
∵a为非负整数，∴a取66，67．
∴160﹣a相应取94，93．
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于
点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是
请给出证明；若不是，请说明理由．
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（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
24．六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品
牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用
750元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，
购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部
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售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
解：（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，由
题意得：
= ×2，
解得：x=100，
经检验：x=100是原分式方程的解，
x﹣25=100﹣25=75，
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
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