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北师大版八年级下第一章三角形的证明检测B卷
班级___________姓名_____________考号___________
一．选择题（共12小题）
1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数
为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
2．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B
为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．
以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD
4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）A．6 B．6 C．6 D．12
6．Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（ ）
A．10 B．3 C．4 D．5
7．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结
论错误的是（ ）
A．DE=DC B．AD=DB C．AD=BC D．BC=AE
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
9．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则
图中全等的直角三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
10．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互
不全等三角形的个数是（ ）A．6 B．7 C．5 D．4
11．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（ ）
①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等
②三角形的三条内角平分线交于一点
③三角形的内角平分线位于三角形的内部
④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
二．填空题（共6小题）
13．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
14．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 ．
15．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 ．（只需写出符合条件一种情
况）16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若
CD=3，则BD的长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
则CE的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以
2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角
形各边的长．
20．如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，
灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船
的航行速度为24海里/时，求AD的长度．21．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：（1）∠B=∠C．
（2）△ABC是等腰三角形．
23．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．
（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．
（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．
（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．24．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM
与EN相交于点F
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
25．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分
∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
26．如图（1），Rt△AOB中， ，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直
线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间
为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时
停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等
腰三角形？求出所有满足条件的t值．参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．分析:根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形
的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED= （180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，
故选D．
2．分析:根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB
时，分别求得符合的点B，即可得解．
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2=4，
故选：D．
3．分析:由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．
解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选A．
4．分析:根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°﹣40°=50°．
故选：B．
5．分析:根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC= AB=12× =6，
故答选A．
6．分析:已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为
斜边长的一半即可解题．
解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为 =10，
故斜边的中线长为 ×10=5，
故选D．
7．分析:根据题意和图形可以分别推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：∵△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，∴AB=2BC，AD=DB＞AE，
∴AD=DB，故选项B正确，
AD＞BC，故选项C错误，
BC=AE，故选项D正确，
∵∠DEB=∠DCB=90°，
在Rt△DBE和Rt△DBC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBC（HL），
∴DE=DC，故选项A正确，
故选C．
8．分析:过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根
据三角形的面积公式即可得到结论．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积= ×2n×m=mn，
故选：A．
9． 分析:△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，
△BCE≌△CBD．
利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．
10．分析:本题涉及到的知识点是“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一
半”，因为取5的时候是AC垂直于AB，也就是AC能取的最小值．
解：当AC=5时，AC= AB，此时∠ACB为直角，有1个三角形为直角三角形；
当AC=7时，∠ACB为钝角或锐角时，各有1个，共2个；
当AC=9时，∠ACB为钝角或锐角时，各有1个，共2个；
当AC=11时，∠ACB为锐角时，有1个，此时不存在∠ACB为钝角的三角形；
综上所述，共有6个满足条件的互不全等三角形．
故选A．
11．分析:画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于
N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可．解：
∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，
OQ⊥AC于Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误；
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分线上，
即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确；
∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确；
∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一
定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；
故选B．
12． 分析:过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等
可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可
证明①正确；
根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；
根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理
即可得到④正确．
解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC=180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中， ，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，
故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN= ∠ACF=∠BPC+ ∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述，①③④正确．
故选B．
二．填空题（共6小题）
13．分析:根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条
边的长度加起来就是它的周长．
解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
14．分析:过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得
解．
解：如图，过P作PD⊥OA于D，
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3．
故答案为：3．
15．分析:本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC⊥BC，AD⊥DB，即∠C=∠D=90°，AB为公共边，故
添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定
△ABC≌△BAD．
解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C=∠D=90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定
△ABC≌△BAD．
16．分析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得
∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据
直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
故答案为：6．
17．分析:设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用
勾股定理即可求出CE的长度．
解：设CE=x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x= ．
故答案为： ．
18．分析:根据题意分四种情况，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可
解答本题．
解：由题意可得，
第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴CP=6cm，
∴t=6÷2=3秒；
第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每
秒的速度运动，
∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；
第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每
秒的速度运动，
∴AP=6cm，AB=10cm，
∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；
第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，
作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A= = ，
∴ ，AB=10cm，
设CD=4a，则AD=3a，
∴（4a）2+（3a）2=62，
解得，a= ，
∴AD=3a= ，
∴AP=2AD=7.2cm，
∴t= =5.4s，
故答案为：3，6或6.5或5.4．三．解答题（共8小题）
19．分析:由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，
可得|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，然后分别从AB＞BC与AB＜BC
去分析求解即可求得答案．
解：如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|=|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，
若AB＞BC，则AB﹣BC=3cm，
又∵2AB+BC=27cm，
联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm，
10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB=3cm，
又∵2AB+BC=27cm，
联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm，
8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．
20．分析:首先根据C在D的正西方向，∠A=30°，∠DBC=60°，判断出BC=BA，∠BCD=30°，再
根据含30度角的直角三角形的性质，判断出DB= CB；然后根据路程=速度×时间，求出AB的长
度是多少，即可求出AD的长度是多少．
解：∵C在D的正西方向，
∴∠ADC=90°；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，∠DBC=∠A+∠BCA
∴∠BCA=30°，∴∠BCA=∠A，
∴BC=BA．
在Rt△CBD中，∠DBC=60°，
∴∠BCD=30°，
∴DB= CB，
∴AD=AB+DB=AB+ CB=AB+ AB= AB，
∵AB=24×（5﹣2）=72（海里），
∴AD= AB= ×72=108（海里）．
答：AD的长度是108海里．
21．分析:（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DCB
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
22．分析:由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定
可得出结论．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C；
（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．
23．分析:（1）根据直角三角形的性质得到EF= BC，DF= BC，等量代换即可；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算；
（3）根据圆内接四边形的性质解答．
解：（1）△DEF是等腰三角形．
∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，
∴EF= BC，DF= BC，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵FE=FB，FD=FC，
∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，
∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，
∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，
∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，
∴∠EFD=180°﹣2x°；
（3）∠ABC=∠EDA．
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、E、D、C四点共圆，
∴∠ABC=∠EDA．
24．分析:（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC，NB=NC，根据三角形的周长公式计算即
可；
（2）根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，
∠NCB=∠B，计算即可．
解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm；
（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=40°．
25．分析:（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到
∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点．
26．分析:（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出
关于OC的方程，求出OC即可；（2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t＜2，过P作PH⊥OC于H，求出PH，根据三角形
的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；③当P在OC上，Q
在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的
面积，相减即可④t=4时，求出即可；
（3）有三种情况：①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时不存在等腰三角
形；③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t﹣2，即可求出答案．
（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2 ，
∴∠B=30°，
∴OA= OB= ，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO2+AC2=CO2，
∴ +（3﹣OC）2=OC2，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP=2﹣t，CQ=t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH= CP= （2﹣t），HP= （2﹣t），
∴S = CQ×PH= ×t× （2﹣t），
△CPQ
即S=﹣ t2+ t；
②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，
∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ= ，
CP=t﹣2，OQ=t﹣2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG= OP= （4﹣t），PG= （4﹣t），
∴S =S ﹣S = ×（t﹣2）× ﹣ ×（t﹣2）× （4﹣t），
△CPQ △COQ △OPQ
即S= t2﹣ t+ ．
④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM= BC=1，
有勾股定理得：BM= ，
∵OB=2 ，
∴OM=2 ﹣ = =CK，∴S= PQ×CK= ×2× = ；
综合上述：S与t的函数关系式是：S= ；
．
（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°﹣30°=60°，
①OM=PM时，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t﹣2）=4﹣t，
解得：t= ，
②PM=OP时，
此时∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；③OM=OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP=4﹣t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO= （4﹣t），PG= （4﹣t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠QPO=45°，
∴PG=QG= （4﹣t），
∵OG+QG=OQ，
∴ （4﹣t）+ （4﹣t）=t﹣2，
解得：t=
综合上述：当t为 或 时，△OPM是等腰三角形．
