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一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得
点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A60° B 30° C 90° D 150°
． ． ． ．
2．将等边△ABC绕自身的内心O，顺时针至少旋转n°，就能与自身重合，则n等于（ ）
A60 B 120 C 180 D 360
． ． ． ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转
得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
则AA′的长为（ ）
A6 B 4 C 3 D 3
． ． ． ．
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，边B C 与CD
1 1 1 1 1
交于点O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1
A B C D
． ． ． ．
5．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′
的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）
A2﹣ B C ﹣1 D 1
． ． ． ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB
1
C
1
的位
置，点B 恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（ ）
1
A55° B 60° C 65° D 80°
． ． ． ．
7．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得
DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
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A30° B 40° C 50° D 60°
． ． ． ．
8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得
CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A70° B 35° C 40° D 50°
． ． ． ．
9．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到
△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）
AAE∥BC B ∠ADE=∠BDC
． ．
C △BDE是等边三角形 D △ADE的周长是9
． ．
10．△ABO与△A B O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点
1 1
A（4，2），则点A 的坐标是（ ）
1
A（4，﹣2） B （﹣4，﹣2） C （﹣2，﹣3） D （﹣2，﹣4）
． ． ． ．
二．填空题（共9小题）
11．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得
到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 ．
12．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E
的对应点为F，则∠EAF的度数是 ．
13．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影
部分的面积等于 ．
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时
针旋转到位置①可得到点P ，此时AP = ；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可
1 1 1
得到点P ，此时AP =1+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P ，此时
2 2 2 3
AP =2+ ；…，按此规律继续旋转，直至得到点P 为止．则AP = ．
3 2014 2014
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15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则
正方形ABCD的边长为 ．
16．分解因式：x3y﹣2x2y+xy= ．
17．已知x2﹣x﹣1=0，则代数式﹣x3+2x2+2010的值为 ．
18．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= ．
19．分解因式：9a2﹣30a+25= ．
三．解答题（共11小题）
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求
证：AD⊥EF．
21．如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
22．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结
EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF= AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
23．如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明．（写
出一种即可）
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等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．
已知：
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
24．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于点E、F．且FG⊥AB，垂
足为G，
求证：CE=FG．
25．（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C
重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2 ，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
26．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A BC ，A B
1 1 1
交AC于点E，A C 分别交AC、BC于D、F两点．
1 1
（1）证明：△ABE≌△C BF；
1
（2）证明：EA =FC；
1
（3）试判断四边形ABC D的形状，并说明理由．
1
27．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、
BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
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（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．
28．分解因式：（x﹣1）（x﹣2）+ ．
29．分解因式：
（1）4m2﹣12mn+9n2
（2）（a2﹣4b2）+（a2+2ab）
30．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足 + + = + + ，试判断△ABC的形状，并说明
理由．
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2018 年 03 月 23 日 neg123 的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2014秋•南平期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针
旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A60° B 30° C 90° D 150°
． ． ． ．
考点：旋转的性质．
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分析：如图，证明CA=CA′，∠A=∠CA′A；求出∠A=60°，得到∠A′CA=60°，即可解决问题．
解答：解：如图，由题意得：CA=CA′，
∴∠A=∠CA′A；
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠A′CA=180°﹣2×60°=60°，
故选A．
点评：该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是抓住旋转变换过程中的不变
量，灵活运用全等三角形的性质来分析、解答．
2．（2014秋•南昌期末）将等边△ABC绕自身的内心O，顺时针至少旋转n°，就能与自身重合，则
n等于（ ）
A60 B 120 C 180 D 360
． ． ． ．
考点：旋转对称图形．
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分析：等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与外心连线的夹角相等，计算旋转角
即可．
解答：解：因为等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与外心连线的夹角相等，
所以，360°÷3=120°，即每次至少旋转120°．
故选：B．
点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重
合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
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3．（2014•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕
点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在
同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A6 B 4 C 3 D 3
． ． ． ．
考点：旋转的性质．
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专题：几何图形问题．
分析：利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出
AB′=2，进而得出答案．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对
应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选：A．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出AB′=B′C=2是解题关键．
4．（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，
1 1 1
边B C 与CD交于点O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1 1 1
A B C D
． ． ． ．
考点：旋转的性质；正方形的性质．
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专题：几何图形问题．
分析：连接AC
1
，AO，根据四边形AB
1
C
1
D
1
是正方形，得出∠C
1
AB
1
=∠AC
1
B
1
=45°，求出
∠DAB
1
=45°，推出A、D、C
1
三点共线，在Rt△C
1
D
1
A中，由勾股定理求出AC
1
，进而求出
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DC =OD，根据三角形的面积计算即可．
1
解答：解：连接AC ，
1
∵四边形AB C D 是正方形，
1 1 1
∴∠C
1
AB
1
= ×90°=45°=∠AC
1
B
1
，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，
1 1 1
∴∠B
1
AB=45°，
∴∠DAB
1
=90°﹣45°=45°，
∴AC 过D点，即A、D、C 三点共线，
1 1
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB C D 的边长是1，
1 1 1
在Rt△C
1
D
1
A中，由勾股定理得：AC
1
= = ，
则DC = ﹣1，
1
∵∠AC B =45°，∠C DO=90°，
1 1 1
∴∠C
1
OD=45°=∠DC
1
O，
∴DC =OD= ﹣1，
1
∴S△ADO= ×OD•AD= ，
∴四边形AB OD的面积是=2× = ﹣1，
1
故选：C．
点评：本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题
目比较好，但有一定的难度．
5．（2014•遵义）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转
60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）
A2﹣ B C ﹣1 D 1
． ． ． ．
考点：旋转的性质．
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分析：连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的
三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三
角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得
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BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性
质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．
解答：解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC= ，
∴AB= =2，
∴BD=2× = ，
C′D= ×2=1，
∴BC′=BD﹣C′D= ﹣1．
故选：C．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角
三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关
键，也是本题的难点．
6．（2014•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到
△AB C 的位置，点B 恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（ ）
1 1 1
A55° B 60° C 65° D 80°
． ． ． ．
考点：旋转的性质．
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分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB 是等边三角形，即可得
1
出旋转角度．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB
1
C
1
的位
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置，点B 恰好落在边BC的中点处，
1
∴AB = BC，BB =B C，AB=AB ，
1 1 1 1
∴BB =AB=AB ，
1 1
∴△ABB
1
是等边三角形，
∴∠BAB
1
=60°，
∴旋转的角度等于60°．
故选：B．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB 是等边三角形是
1
解题关键．
7．（2014•北海）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的
位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
A30° B 40° C 50° D 60°
． ． ． ．
考点：旋转的性质．
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专题：计算题．
分析：先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，
AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计
算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．
解答：解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°．
故选：C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与
旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
8．（2014•桂林）如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A70° B 35° C 40° D 50°
． ． ． ．
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考点：旋转的性质．
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分析：根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得
∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，则
∠AC′C=∠ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=40°，所以∠B′AB=40°．
解答：解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，
∴∠AC′C=∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∴∠CAC′=180°﹣2×70°=40°，
∴∠B′AB=40°，
故选：C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与
旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
9．（2014•随州）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，
得到
△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）
AAE∥BC B ∠ADE=∠BDC
． ．
C △BDE是等边三角形 D △ADE的周长是9
． ．
考点：旋转的性质；平行线的判定；等边三角形的性质．
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专题：几何图形问题．
分析：首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形
得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出
AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故
DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，
∴AE∥BC，故选项A正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=5，
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=5，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；
∴DE=BD=4，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；
而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，
∴结论错误的是B，
故选：B．
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点评：本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、
后的图形全等是解答此题的关键．
10．（2014•阜新）△ABO与△A B O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心
1 1
对称，其中点A（4，2），则点A 的坐标是（ ）
1
A（4，﹣2） B （﹣4，﹣2） C （﹣2，﹣3） D （﹣2，﹣4）
． ． ． ．
考点：关于原点对称的点的坐标．
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专题：几何图形问题．
分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解答：解：∵A和A 关于原点对称，A（4，2），
1
∴点A 的坐标是（﹣4，﹣2），
1
故选：B．
点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二．填空题（共9小题）
11．（2014•江西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2
个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 1 2 ．
考点：平移的性质．
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分析：根据平移性质，判定△A′B′C为等边三角形，然后求解．
解答：解：由题意，得BB′=2，
∴B′C=BC﹣BB′=4．
由平移性质，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长=3A′B′=12．
故答案为：12．
点评：本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答
此题的关键．
12．（2014•益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，
BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 60 ° ．
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考点：旋转的性质；等边三角形的性质．
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专题：计算题．
分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点
E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
13．（2014•汕头）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，
则图中阴影部分的面积等于 ﹣ 1 ．
考点：旋转的性质；等腰直角三角形．
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专题：压轴题．
分析：
根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD= BC=1，AF=FC′=
AC′=1，进而求出阴影部分的面积．
解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= ，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD= BC=1，AF=FC′= AC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：S ﹣S = ×1×1﹣ ×（ ﹣1）2= ﹣1．
△AFC′ △DEC′
故答案为： ﹣1．
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点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是
解题关键．
14．（2014•黑龙江）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将
△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P ，此时AP = ；将位置①的三角形绕点P 顺时
1 1 1
针旋转到位置②，可得到点P ，此时AP =1+ ；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，
2 2 2
可得到点P ，此时AP =2+ ；…，按此规律继续旋转，直至得到点P 为止．则AP =
3 3 2014 2014
1342+672 ．
考点：旋转的性质．
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专题：规律型．
分析：由已知得AP = ，AP =1+ ，AP =2+ ；再根据图形可得到AP =2+2 ；AP =3+2
1 2 3 4 5
；AP =4+2 ；AP =4+3 ；AP =5+3 ；AP =6+3 ；每三个一组，由于2013=3×671，则
6 7 8 9
AP =（2013﹣671）+671 ，然后把AP 加上 即可．
2013 2013
解答：解：AP = ，AP =1+ ，AP =2+ ；
1 2 3
AP =2+2 ；AP =3+2 ；AP =4+2 ；
4 5 6
AP =4+3 ；AP =5+3 ；AP =6+3 ；
7 8 9
∵2013=3×671，
∴AP =（2013﹣671）+671 =1342+671 ，
2013
∴AP =1342+671 + =1342+672 ．
2014
故答案为：1342+672 ．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与
旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
15．（2014•绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的
周长为4，则正方形ABCD的边长为 2 ．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
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专题：计算题．
分析：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出
EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．
解答：解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中
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，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故答案为：2．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是
解题关键．
16．（2015•河南模拟）分解因式：x3y﹣2x2y+xy= x y （ x﹣ 1 ） 2 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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专题：计算题．
分析：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解答：解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（2015•永州模拟）已知x2﹣x﹣1=0，则代数式﹣x3+2x2+2010的值为 201 1 ．
考点：因式分解的应用．
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分析：首先将所给的代数式恒等变形，借助已知条件得到x2﹣x=1，即可解决问题．
解答：解：﹣x3+2x2+2010
=﹣x（x2﹣x﹣1）+x2﹣x+2010；
∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
﹣x3+2x2+2010=2011．
故答案为2011．
点评：该题主要考查了因式分解及其应用问题；解题的关键是牢固把握代数式的结构特点，灵活
运用因式分解法来分析、判断、推理活解答．
18．（2014•益阳）若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a= 3 ．
考点：因式分解-运用公式法．
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专题：计算题．
分析：直接利用平方差公式进行分解得出即可．
解答：解：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
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故答案为：3．
点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
19．（2014•呼伦贝尔）分解因式：9a2﹣30a+25= （ 3a﹣ 5 ） 2 ．
考点：因式分解-运用公式法．
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专题：计算题．
分析：原式利用完全平方公式分解即可．
解答：解：原式=（3a）2﹣2×3a×5+52=（3a﹣5）2．
故答案为：（3a﹣5）2
点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三．解答题（共11小题）
20．（2014秋•莘县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点
E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
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专题：证明题．
分析：易证△AED≌△AFD，得AE=AF，利用等腰三角形三线合一可得证结论．
解答：证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD．
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．
点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对
应边相等及等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
21．（2014秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度
数．
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考点：等腰三角形的性质．
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分析：设∠BAD=x．由AD平分∠BAC，得出∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．由
AC=BC，得出∠B=∠BAC=2x．根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=60°，即
2x+x=60°，求得x=20°，那么∠B=∠BAC=40°．然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得
出∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=100°．
解答：解：设∠BAD=x．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=2x．
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴2x+x=60°，
∴x=20°，
∴∠B=∠BAC=40°．
在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=100°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，难
度适中．设∠BAD=x，利用∠ADC=60°列出关于x的方程是解题的关键．
22．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的
中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF= AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
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专题：几何综合题．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半可得EF= AC；
（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，
再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出
CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
解答：（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵点F为AC的中点，
∴EF= AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
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∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，
∴BC=AM+DM．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角
三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC．
23．（2013•泉州模拟）如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，
并予以证明．（写出一种即可）
等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．
已知：
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
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专题：证明题；开放型．
分析：根据等腰三角形的判定方法，即在一三角形中等边对等角或等角对等边，可选①③来证明
△ABE≌△DCE，从而得到AE=DE，即△AED是等腰三角形．
（或①④，或②③，或②④．）
解答：解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）
证明：在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE；
∴AE=DE；
△AED是等腰三角形．
点评：此题考查学生对等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定的掌握情况；发现并利用全等
三角形是正确解答本题的关键．
24．（2013秋•长丰县期末）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于
点E、F．且FG⊥AB，垂足为G，
求证：CE=FG．
考点：角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
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专题：证明题．
分析：先根据角平分线的性质得出CF=FG，由HL定理得出△ACF≌△AGF，故可得出
∠AFC=∠AFG，再由平行线的性质得出∠AFG=∠AED，由对顶角相等可知∠AED=∠CEF，
故可得出∠CEF=∠AFC，那么CE=CF，由此可得出结论．
解答：证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，FG⊥AB，
∴CF=FG．
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在Rt△ACF与Rt△AGF中，
，
∴△ACF≌△AGF（HL），
∴∠AFC=∠AFG．
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠AFG=∠AED．
∵∠AED与∠CEF是对顶角，
∴∠AED=∠CEF，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF，
∴CE=FG．
点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题
的关键．
25．（2014•江西模拟）（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋
转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2 ，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．
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分析：（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出
∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；
（2）由题意可得出：△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，进而得出
∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．
解答：解：（1）连接PQ．
由旋转可知： ，QC=PA=3．
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又∵ABCD是正方形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，
即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．
则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，
∴PC2=PQ2+QC2．
即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．
（2）将此时点P的对应点是点P′．
由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，
得∠PBP′=60°，
又∵P′B=PB=5，
∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，
∴PC2=PP′2+P′C2．
即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理逆定理和正方形的性质等知识，熟练利用勾股定
理逆定理得出是解题关键．
26．（2014•兰州一模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转
30°，得△A BC ，A B交AC于点E，A C 分别交AC、BC于D、F两点．
1 1 1 1 1
（1）证明：△ABE≌△C BF；
1
（2）证明：EA =FC；
1
（3）试判断四边形ABC D的形状，并说明理由．
1
20 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台www.wang26.cn网资源
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；菱形的判定．
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分析：（1）利用全等三角形的判定结合ASA得出答案；
（2）利用全等三角形的性质对边相等得出答案；
（3）首先得出四边形ABC D是平行四边形，进而利用菱形的判定得出即可．
1
解答：（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得
△A BC ，
1 1
∴AB=BC
1
=A
1
B=BC，∠ABE=∠C
1
BF，∠A=∠C
1
=∠A
1
=∠C，
在△ABE和△C BF中，
1
，
∴△ABE≌△C
1
BF（ASA）；
（2）证明：∵△ABE≌△C BF，
1
∴EB=BF．
又∵A B=CB，
1
∴A B﹣EB=CB﹣BF，
1
∴EA =FC；
1
（3）答：四边形ABC D是菱形．
1
证明：∵∠A
1
=∠C=30°，∠ABA
1
=∠CBC
1
=30°，
∠A
1
=∠C=∠ABA
1
=∠CBC
1
．
∴AB∥C
1
D，AD∥BC
1
，
∴四边形ABC D是平行四边形
1
∵AB=BC ，
1
∴四边形ABC D是菱形．
1
点评：此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，利用旋转
的性质得出对应边关系是解题关键．
27．（2014•开封一模）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交
于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．
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考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
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分析：（1）利用等边三角形的判定与性质得出∠DAB=∠ABC，进而得出答案；
（2）首先利用旋转的性质以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），进而得出
△BGF为等边三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．
解答：（1）证明：由旋转的性质可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC；
（2）猜想：DF=2AF，
证明如下：如图，在DF上截取DG=AF，连接BG，
由旋转的性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
在△DBG和△ABF中，
，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF为等边三角形，
∴GF=BF，
又∵BF=AF，
∴FG=AF，
∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质和等边三角形的判定与性质等
知识，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题关键．
28．（2014秋•栖霞市期末）分解因式：（x﹣1）（x﹣2）+ ．
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考点：因式分解-运用公式法．
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分析：首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
解答：
解：（x﹣1）（x﹣2）+
=x2﹣3x+2+
=x2﹣3x+
=（x﹣ ）2．
点评：此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
29．（2014秋•青神县期末）分解因式：
（1）4m2﹣12mn+9n2
（2）（a2﹣4b2）+（a2+2ab）
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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分析：（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先整理，然后提取公因式2，再利用十字相乘法分解因式即可．
解答：解：（1）4m2﹣12mn+9n2=（2m﹣3n）2；
（2）（a2﹣4b2）+（a2+2ab）
=a2﹣4b2+a2+2ab
=2a2+2ab﹣4b2
=2（a2+ab﹣2b2）
=2（a﹣b）（a+2b）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，
然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
30．（2014秋•宜城市期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足 + + = + + ，试判断
△ABC的形状，并说明理由．
考点：因式分解的应用．
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专题：常规题型．
分析：先去分母得到a2+b2+c2=ab+ac+bc，再利用配方法得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，则根
据非负数的性质有a﹣b=0，b﹣c=0，a﹣c=0，所以a=b=c，于是可判断△ABC是等边三角
形．
解答：解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵ + + = + + ，
∴a2+b2+c2=ab+ac+bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，a﹣c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；
利用因式分解简化计算问题．也考查了等边三角形的定义．
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