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《第1 章 三角形的证明》
一、选择题
1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
2．下面命题不正确的是（ ）
A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形
B．两个外角相等的三角形是等腰三角形
C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2
4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 60°”先应假设这个三角形中（
）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交
BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F的度数是
（ ）
A．40 B．70 C．50 D．45
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速
度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔
P的距离为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
二、填空题
8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，
则图中共有等腰三角形的个数是 ．
9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交
AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ．
10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是
等腰三角形的是 ．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
三、解答题
11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分
线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；
若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点
C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简
要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作
∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底
的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P
点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保
留画图的痕迹，不用写出画法．《第1 章 三角形的证明》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，
x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可
求得答案．
【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，
∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，
∴x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．
∴这个三角形为等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角
形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思
想求解．
2．下面命题不正确的是（ ）
A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形
B．两个外角相等的三角形是等腰三角形
C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，
正确；
B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；
C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等
角的三角形是等腰三角形，正确；
D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关
键．
3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2
【考点】反证法．
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是
假命题．
【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，
∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，
只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 60°”先应假设这个三角形中（
）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
【考点】反证法．
【专题】证明题．
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后
推出不成立．得出选项．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选B．
【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有
一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交
BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F的度数是
（ ）
A．40 B．70 C．50 D．45
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可
得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用
SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．
【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，
∴EB=ED，
∴∠EDB=∠B=70°，
∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，
∵E是AB的中点，
即BE=AE，
∴BD=CD，
在△EBD和△FCD中，
，
∴△EBD≌△FCD（SAS），
∴∠F=∠BED=40°．
故选A．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的
判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果
C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为
等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际
条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解
题思想．
7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速
度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔
P的距离为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角
和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：MN=2×40=80（海里），
∵∠M=70°，∠N=40°，
∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=80（海里）．
故选：D．
【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定
理，理解方向角的定义是关键．二、填空题
8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，
则图中共有等腰三角形的个数是 6 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据
等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，
即△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=108°，
∵∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，
∴△ABD，△ACE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，
∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．
故答案为：6．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交
AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 9 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．
【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得
△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于
AB+AC，即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴OD=BD，OE=CE，
∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性
质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注
意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是
等腰三角形的是 ②③④ ．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作
等腰三角形来判断其结论是否成立．
【解答】解：应添加的条件是②③④；
证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
∵AB﹣BD=AC﹣CD①，
∴AB+BD=AC+CD②；
∴①+②得：，
2AB=2AC；
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
故答案为：②③④．
【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证
明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题
11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．
【考点】反证法．
【专题】证明题．
【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；
∵在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC；
与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．
【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．
【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、
H为圆心，以大于 GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD= ×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推
出AD=AF，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= ∠EAC+ ∠BAC= ×180°=90°，
即△ADF是直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∴∠EAF=∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养
学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．
13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分
线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；
若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点
C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简
要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作
∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底
的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P
点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保
留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．
【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、
OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；
（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；
（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．
【解答】解：（1）能．
画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于
点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．
（2）∵PQ∥OA，
∴∠QPR=∠OCD，
又∵∠QPR=∠AOB，
∴∠OCD=∠AOB．
∴OD=CD．
即△OCD是以OC为底的等腰三角形．
（3）如图②．
【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解
答本题的关键．
