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【2018新北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章《三角形的证明》B
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题:（每小题3分共36分）
1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．10 D．12 或 15
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等
于（ ）.
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A、两条直角边对应相等
B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等
D、两锐角相等
5．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
6．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接
BE，则∠CBE等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，
使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S =7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
△ABC
A.6 B. 5 C. 4 D. 3
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，
则CP的长为( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
C
D
P
A
B
10．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE=4，则
△BCE的面积等于（ ）
A、32 B、16 C、8 D、4
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于
F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（ ）
A.①②④ B.①②③ C. ②③ D.①③
二、填空题:（每小题3分共12分）
13．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，则三
角形的三边长分别为 ．
14．如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km,
则M,C两点间的距离为_______km.15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离
是 _________cm．
16．如图，已知：∠MON=30°，点A、A、A 在射线ON上，点B、B、B…在射线OM上，△ABA、
1 2 3 1 2 3 1 1 2
△ABA、△ABA…均为等边三角形，若OA=a，则△ABA 的边长为 ．
2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
三、解答题:（共52分）
17．(6分)如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．18．(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=5cm，DE=3cm，
你知道BE的长吗？
19．（8分）如图，已知在ΔABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，求证：DC=AB+BD.
20．(8分)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．21．(6分)已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证：AB=AC．
22．(9分)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．
（1）求∠DFG的度数；
（2）设∠BAD=θ，
①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；
②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．23．(9分)如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=8，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与
点G，△ABD的面积为△ABC面积的 ．
（1）求点D的坐标；
（2）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．求证：OF=OG；
（3）若点F的坐标为（ ，0），在第一象限内是否存在点P，使△CFP是以CF为腰长的等腰直
角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案1．C
【解析】
试题分析：等边三角形性质：
1三边相等
2三个角都相等
3三个角都等于60°
4高线、腰、底边中线三线合一．
三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等．
解：已知三角形为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C= =60°．
故选C．
2．B
【解析】
试题分析：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，由于3+3=6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，此时周长为3+6+6=15．
故选：B
3．B．
【解析】
试题分析：由角平分线的性质可得DE=EC，则AE+DE=AC=3cm.
故选：B．
4．D
【解析】
试题分析：A可利用SAS来判定全等，故正确；B可利用AAS来判定全等，故正确；C可利用HL
判定全等，故正确；D面积相等不一定退出两直角三角形全等，没有相关的判定方法，故不正
确．
故选D
5．D．
【解析】
试题分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：
∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．
故选D．
【答案】D
【解析】
试题解析：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°－40°）＝70°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°．
故应选D．7．C．
【解析】
试题分析：要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平
分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离
相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则
超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
8．D
【解析】
试题分析：过点D作DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：DF=DE=2，△ABD
的面积=AB×DE÷2=4×2÷2=4，则△ACD的面积=7－4=3，所以AC=2S÷DF=2×3÷2=3.
9．A
【解析】
试题分析：根据∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC可得：BD=AD=6，根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半得出CP=3.
10．B
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
11．B
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可得：点E到BC的距离为4，则三角形的面积=8×4÷2=16.
12．B
【解析】
试题分析：根据等角的余角相等可判断①；先判断 CD∥EF，根据平行线的性质得出
∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，
结合图形可判断④．
∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；
∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；
CH=CE=EF＞HD，故④错误．
13．16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm
【解析】
试题分析：设腰长为2xcm，底边长为ycm，根据题意可得： 或 ，
解得： 或 ，则三角形的三边长分别为：16cm，16cm，22cm或20cm，
20cm，14cm.
14．1.2
【解析】
试题分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据这个定理可得：MC=AM=BM=1.2km.
15．3【解析】
试题分析：根据题意可得：CD=BC－BD=8－5=3cm，AD平分∠CAB，则点D到AB的距离等于点D
到AC的距离，CD就是点D到AC的距离.
16．32
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AB∥AB∥AB，以及AB=2BA，
1 1 2 2 3 3 2 2 1 2
得出AB=4BA=4，AB=8BA=8，AB=16BA…进而得出答案．∵△ABA 是等边三角形，
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2 1 1 2
∴AB=AB，∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°，
1 1 2 1
∵∠MON=30°， ∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°， 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°﹣
60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°， ∴OA=AB=1， ∴AB=1， ∵△ABA、△ABA 是等边三角
1 1 1 2 1 2 2 3 3 3 4
形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°， ∴AB∥AB∥AB ，
1 1 2 2 3 3
BA∥BA，
1 2 2 3
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴AB=2BA，BA=2BA， ∴AB=4BA=4，
2 2 1 2 3 3 2 3 3 3 1 2
AB=8BA=8， AB=16BA=16， 以此类推：AB=32BA=32．
4 4 1 2 5 5 1 2 6 6 1 2
17．15°
【解析】
试题分析：先根据△ABC是等边三角形，AD为中线可得出AD⊥BC，∠CAD=30°，再由AD=AE可
知∠ADE=∠AED，根据三角形内角和定理即可求出∠ADE的度数，故可得出∠EDC的度数．
试题解析：∵△ABC 是等边三角形，AD 为中线， ∴AD⊥BC，∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= = =75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
18．2cm．
【解析】
试题分析：易证△ACD≌△CBE，即可求得AD=CE，BE=CD，即可解题．
试题解析：∵∠BCE+∠ACD=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵在△BCE和△ACD中，
∠BEC=∠ADC=90°，∠BCE=∠DAC，BC=AC，
∴△BCE≌△ACD，（AAS）
∴AD=CE，BE=CD
∴BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2cm．
19．证明见试题解析．【解析】
试题分析：在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性
质可得AB=AE，根据等边对等角的性质可得∠B=∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和列式求出∠C=∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE=CE，然后即可
得证．
试题解析：如图，在 DC上取DE=BD，∵AD⊥BC，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，在△ACE中，
∠AEB=∠C+∠CAE，又∵∠B=2∠C，∴2∠C=∠C+∠CAE，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，
∴CD=CE+DE=AB+BD．
20．(1)36°；(2)5．
【解析】
试题分析：（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；
（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5.
试题解析：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC=5．
答：（1）∠ECD的度数是36°；
（2）BC长是5．
21．证明详见解析.
【解析】
试题分析：先根据平行线性质得到∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，再根据角平分线的性质得到
∠EAD=∠DAC，从而推出∠B=∠C，等角对等边所以AB=AC．
试题解析：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C．
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
22．(1)80°；(2)①10°，25°或40°；②5°或45°.
【解析】
试题分析：（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；
（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°
+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°
+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；
②由已知条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可
以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．
试题解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
AF=AC，∠FAG=∠CAG，AG=AG，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
答：∠DFG的度数为80°；
（2）①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵∠ADG=40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，
∴θ=10°．
当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴40°+50°+40°+2θ=180°，
∴θ=25°．
当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴40°+20°+40°+2θ=180°，
∴θ=40°．
∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；
②当∠GDF=90°时，
∵∠DFG=80°，
∴40°+90°+40°+2θ=180°，
∴θ=5°．当∠DGF=90°时，
∵∠DFG=80°，
∴∠GDF=10°，
∴40°+10°+40°+2θ=180°，
∴θ=45°
∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．
23．（1）点D的坐标为（6，2）．（2）证明见解析；（3）点P的坐标为（9 ， ）．
【解析】
试题分析：（1）过点D作DH⊥AB．利用面积法求得：DH=2，设直线CB的解析式为y=kx+b，将点
B、C的坐标代入可求得直线BC的解析式为y=-x+8，将y=2代入得；-x+8=2，解得x=6．从而得
到点D的坐标为（6，2）；
（2）证明∠AOG=∠CEG，∠GAO=∠OCF，从而可得到Rt△AGO≌Rt△CFO，故此可得到OG=OF；
（3）如图2所示，过点P作PH⊥y轴，垂足为H．依据AAS证明Rt△HPC≌Rt△OFC，于是得到
HC=OF= ，PH=OC=8，从而可求得点P的坐标为（8，9 ）；如图3所示：过点P作PH⊥x轴，垂
足为H．依据AAS证明Rt△HPF≌Rt△OFC，于是得到OC=FH=8，PH=OF= ，从而求得点P的坐
标为（9 ， ）．
试题解析：（1）如图1，过点D作DH⊥AB．
∵ ，
∴ ．
∴DH=2．
设直线CB的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入得： ，
解得：k=-1，b=8．
∴直线BC的解析式为y=-x+8．
将y=2代入得；-x+8=2．
解得x=6．∴点D的坐标为（6，2）．
（2）∵CE⊥AD，CO⊥AO，
∴∠AOG=∠CEG．
又∵∠AGO=∠CGO，
∴∠GAO=∠OCF．
在Rt△AGO和Rt△CFO中，
，
∴Rt△AGO≌Rt△CFO．
∴OG=OF．
（3）如图2，过点P作PH⊥y轴，垂足为H．
∵△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=CF，∠PCF=90°．
∴∠HCP+∠FCO=90°．
又∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠HCP=∠COF．
在Rt△HPC和Rt△OFC中，
，
∴Rt△HPC≌Rt△OFC．
∴HC=OF= ，PH=OC=8．
∴点P的纵坐标=8+ = ．
∴点P的坐标为（8， ）．
如图3所示：过点P作PH⊥x轴，垂足为H．∵△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=CF，∠CFP=90°．
∴∠PFH+∠OFC=90°．
又∵∠HFP+∠FPH=90°，
∴∠OHC=∠FPH．
在Rt△HPF和Rt△OFC中，
，
∴Rt△HPF≌Rt△OFC．
∴OC=FH=8，PH=OF= ．
∴点P的横坐标=8+ =9 ．
∴点P的坐标为（9 ， ）．
