《勾股定理》专题复习_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学8上_八年级上学期数学北师大版单元测试题_第一章勾股定理

第一章《勾股定理》专项练习 专题一：勾股定理 考点分析： 勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起 考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题 典例剖析 60 A 例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸（单位： ），计算 150 B C 60 两圆孔中心 和 的距离为______ ． 180 （2）如图2，直线 上有三个正方形 ，若 图1 的面积分别为5和11，则 的面积为（ ） b c a A．4 B．6 l C．16 D．55 图2 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可． 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm） （2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C． 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第 三边时，往往要借助于勾股定理来解决． A EA E 5 5 例2．如图3，正方形网格的每一个小正 A C 5 A C 5 A4 4 A4 4C 方形的边长都是1，试求 3 3 3 C A EA E 2 A2 2A2 2 的度数． 1 B 1 C 1 E 1 1 B 1 C 1 D 1 E 1 图3 解：连 ． ， ， （SAS）． ． 1 / 14由勾股定理，得： ， ， ， （SSS）． ． 由图可知 为等腰直角三角形． ． 即 ． 点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都 是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得． （2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便 一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进 行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的 能力． 专练一： 1、△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下 列各等式中成立的是（ ） （A） ；（B） ； （C） ； （D） 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ） （A）1个； （B）2个； （C）3个； （D）4个 3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗 杆折断前高为（ ） （A）10.5米； （B）7.5米； （C）12米； （D）8米 4、下列说法中正确的有（ ） （1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；（2） 如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；（3）如果三角形 三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；（4）如果三边长分别 2 / 14是 ，则ABC是直角三角形。 （A）1个； （B）2个； （C）3个； （D）4个 5、如图4是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ） A． a＞c B．b＞c C．4a2+b2=c2 D．a2+b2=c2 图4 6、已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ． 7、已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边 的长分别为 ． 8、利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一 个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式 是 ． I J G E F D C H A B 图5（1） 图5（2） 图6 9、一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为 4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）． 10、如图6，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以 对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的 面积 为1，按上述方法所作的正方形的面 积依次为 A ，…， （n为正整数），那么第8个正 方形的面 B C 积 ＝_______。 图7 11、如图7，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图 作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）， 并求AD的长． 3 / 1412、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形 的面积. 13、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm （1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长. （2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长. 14、如图8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在 棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 图8 4 / 1415、如图9，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 图9 专题二：一定是直角三角形吗 考点分析： 本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常 与其它知识综合命题 典例剖析 例1．如图10，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光 线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离. 分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识 图10 解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的 入射点，因为B′D=DB，所以B′D=AC，∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO 所以△B′DO≌△ACO(SSS)，则OC=OD= AB= ×6=3米，连结OB，在Rt△ODB中， OD2+BD2=OB2，所以OB2=32+42=52，即OB=5(米)，所以点B到入射点的距离为5 米. 评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可 见，数学是学习物理的基础 例2．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角，简述 你的作法． 5 / 14分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若∠P是一个直 角，∠P所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把∠P放在一个三角形 中，利用勾股定理的逆定理来解决此题． 作法：①在射线PM上量取PA=3㎝，确定A点， Ｐ 在射线PN上量取PB=4㎝，确定B点． Ａ Ｎ ②连结AB得△PAB． Ｍ 图11 ③用刻度尺量取AB的长度， 如果AB恰为5㎝，则说明∠P是直角，否则∠P不是直角． 理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA +PB =3 +4 =5 ， 若AB=5㎝，则PA +PB =AB ，根据勾股定理的逆定理得△PAB是直角三角 形，∠P是直角． 说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型 应用．学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要 清楚每个操作题的理论基础． 专练二： 1．做一做：作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直 角？为什么？ 2．断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数： ①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10 （1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？ （2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证. 3．算一算：．一个零件的形状如图12，已知AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝， 求：CD的长． D C A B 图12 6 / 144．一个零件的形状如图13所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5， CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积 吗？ 图13 5．如图14，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数. 图14 6．若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状. （1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0 7．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点 上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形． 7 / 148．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕 红色油纸，如图15，已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油 纸4圈，应裁剪多长油纸． 图15 专题三：勾股定理的应用 考点分析： 勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、 函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择 题和较简单的解答题 典例剖析 例1．如图16（1）所示，一个梯子AB长2.5米， A A 顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离 E 为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图10（2）所示， 测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？ 分析：梯子顶端A下落的距离为AE， C 图 1 6 B C B D （ （１1）） 图 1 6 （2） 即求AE的长．已知AB和BC，根据勾股定理可求AC， （2） 只要求出EC即可。 解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， 在RtECD中，EC2  ED2 CD2  2.52 22  2.25 ∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5， AE  AC EC  21.5 0.5，所以，梯子顶端下滑了0.5米． 点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于 梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理 的知识来解决．但要 注意：考虑梯子的长度不变． 8 / 14例2．有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多 4尺；把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺； 把竹竿斜放,，竹竿长正 好和门的对角线等长.问竹竿长几尺? 分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之 解：设竹竿长为x尺。则：（x―4）2+（x―2）2=x2 x =10 ，x =2（不合题意舍去） 1 2 答：竹竿长为10尺。 评注：本题是勾股定理与方程的综合应用问题，它综合考查了同学们的建模 思想和方法的理解和运用，符合新课程标准的理念，请注意这类问题！ 北 例3．如图17，客轮在海上以30km/h的速度由 向 航行，在 A B 东 处测得灯塔 的方位角为北偏东 ，测得 处的方位角为南偏东 ， D 航行1小时后到达 处，在 处测得 的方位角为北偏东 ，则 到 C 图17 的距离是（ ） A． km；B． km；C． km；D． km 分析：本题是一道以航海为背景的应用题，由已知条件分析易知△ABC 不是直角三角形，这就需要作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形， 问题便可得到解决． 解：由条件易得：∠C=450，∠ABC=750，则∠A=600，过B作BD⊥AC， 垂足为D，∴△BCD是等腰直角三角形，又∵BC=30km，由勾股定理得： 2CD2=302，∴CD= ，∴BD= ，设AD=x，则AB=2x，由勾股定理得：BD= ，∴ = ，∴x= ，∴AC= + ，故选D． 点评： 在航海中，有时需要求两船或船与某地方的距离，以保证航海的安全， 有时就需要用勾股定理及判定条件来加以解决，熟练应用勾股定理是解题的关键 9 / 14专练三： 书 1．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走 店 了6分钟到达书店(如图18),已知书店距离邮局640米，那么 小明家距离书店 米． 邮 家 图18 2．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一 局 边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度 各是 ． 3．小明叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为48m ，其对角线长为10m， 为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算，周长应该 是 ． 4．求图19所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）． 图19 5．假期，小王与同学们在公园里探宝玩游戏，按照游戏中提示的方向，他们从A 出发先向正东走了800米，再向正北走了200米，折向正西走300米，再向正 北走600米，再向正东走100米，到达了宝藏处B，问A、B间的直线距离是 A C 米． 6．如图20所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=53°，∠B=37°．AB=5km， BC=4km，若每天凿0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通． 图 20 C B 7．如图21，有一个直角三角形纸片，两直角边 D AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠， 使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？ A B E 图21 8．观察下列表格： 10 / 14列举 猜想 3、4、5 32=4+5 5、12、13 52=12+13 7、24、25 72=24+25 …… …… 13、b、c 132=b+c 请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值。 9．如图22所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求 这块地的面积． A D C B 图22 11 / 14参考答案 专练一： 1、B；2、A；3、B；4、C；5、D；6、5， ；7、6，8；8、勾股定理， ；9、 ；10、128； 11、（1）作图略； （ 2 ） 在 △ ABC 中 ， AB=AC ， AD 是 △ ABC 的 中 线 ， ∴ AD⊥BC ， . 在 Rt△ABD 中 ， AB ＝ 10 ， BD ＝ 4 ， ， . 12、如图：等边△ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm 作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm，在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64 ∴AD=8 cm ∴S = BC·AD= ×12×8=48(cm2) △ABD 13、解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1 cm，BC=2.8 cm ∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25 ∴AB=3.5 cm ， ∵ S = AC·BC= AB·CD ， △ABC ∴AC·BC=AB·CD， ∴CD= = =1.68(cm) (2)在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2， ∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682=(2.1+1.68)(2.1－1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21， ∴AD=2×3×0.21=1.26(cm)，∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24(cm) 14、解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形 塑料薄膜的面积是：3×12=36(m2) 12 / 1415、解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF，∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE，设 CE=x cm，则 DE=EF=CD－CE=8－x，在 Rt△ABF 中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6 cm，∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)，在 Rt△ECF 中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42，∴64－ 16x+x2=x2+16，∴x=3(cm),即CE=3 cm 专练二： 1．做一做：5 cm所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长. 2．断一断：(1)②③ ∵72+242=252, 122+352=372 (2)略 3．解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理：BC =AC +AB =3 +4 =25，在直角 三角形CBD中，根据勾股定理：CD =BC +BD =25+12 =169，∴CD=13． 4．∵42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°,同理，∠ACD=90° ∴S =S +S = ×3×4+ ×5×12=6+30=36. 四边形ABCD △ABC △ACD 5．解：如图,以AP为边作等边△APD，连结BD.则∠1=60°－∠BAP= ∠2, 在△ADB和△APC中, AD=AP.∠1=∠2，AB=AC ∴△ADB≌△ADC(SAS) ∴BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4 ∴BP2+PD2=42+32=25=BD2 ∴∠BPD=90° ∴∠APB=∠APD+∠BPD=150° 6 ． (1)∵a2+b2+c2+100=12a+16b+20c ， ∴ (a2 － 12a+36)+(b2 － 16b+64)+(c2 － 20c+100)=0， 即(a－6)2+(b－8)2+(c－10)2=0 ∴a－6=0,b－8=0,c－10=0，即a=6,b=8,c=10，而62+82=100=102，∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形. (2)(a3－a2b)+(ab2－b3)－(ac2－bc2)=0，a2(a－b)+b2(a－b)－c2(a－b)=0，∴(a－b) (a2+b2－c2)=0 ∴a－b=0或a2+b2－c2=0，∴此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形. 7．解：本题答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供参考． 13 / 148．解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图， 整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长 即可，在Rt△ABC中，AB=36，BC= ∴由勾股定理得AC =AB +BC =36 +27 Ｃ ∴AC=45，故整个油纸的长为45×4=180（㎝）． Ａ 专练三： 1． ；2．12，13； 3．28； 5、1000 6． 解：因为∠A=53°，∠B=37°∴∠ACB=90°， 在 Rt△ABC 中，AC =AB -BC =5 -4 =9，所以 AC=3，需要的时间 （天） 答：需要10天才能把隧道AC凿通。 7．由勾股定理得：AB=10，设CD=x，则DE=x，BD=8-x，BE=4，由勾股定理得： 42+x2=(8-x)2，解得x=3，即CD=3 8．12，5 9．连结AC，在Rt△ADC中， AC2  CD2  AD2 122 92  225， AC 15，在△ABC中，AB2=1521 AC2  BC2 152 362 1521， AB2  AC2  BC2，ACB  90° 1 1 S S  ACBC ADCD A ABC ACD 2 2 D 1 1  1536 129  27054  216(m2) 2 2 答：这块地的面积是216平方米。 C B 14 / 14