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第一章 勾股定理检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列说法中正确的是（ ）
A.已知 是三角形的三边，则
B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以
D.在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以
2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到
原来的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
3.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
4.如图，已知正方形B的面积为144，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的
面积为（ ）
A.313 B.144 C.169 D.25
B
A
C
第4题图
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC斜边
上的高CD的长为（ ）
A.6 cm B.8.5 cm C. cm D. cm
6.分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1︰2︰3 B.三边长的平方之比为1︰2︰3
C.三边长之比为3︰4︰5 D.三内角之比为3︰4︰5
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，BC＝9，点M,N在AB上，且AM＝AC,BN
1 / 12＝BC，则MN的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
M B
N
A
C
第7题图
8.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要
爬行的最短路程是（ ）
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
9.如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，那么
这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c,已知a∶b＝
3∶4，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．12 C．28 D．30
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中
有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为________.
12.在△ABC中，AB＝AC＝17 cm，BC＝16 cm，AD⊥BC于点D，则AD＝_______.
13.在△ABC中，若三边长分别为9，12，15，则用两个这样的三角形拼成的长方形
的面积为________.
14.如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m，长13 m，宽2 m的楼道上铺地毯,
已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要
________元钱.
15.（2015·湖南株洲中考） 如图是“赵爽弦
图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个
2 / 12全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那
么AH等于 .
16.（2015·湖北黄冈中考）在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高为12
cm，则△ABC的面积为 .
17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正
方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数
人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了
________步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.
三、解答题（共46分）
19.（6分）若△ABC三边长满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形，若是，请
说明哪个角是直角.
（1） ;
（2）△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a，b，c，
.
20.（6分）如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90°，AB＝5 km，BC＝4
km，若每天凿隧道0.2 km，问几天才能把隧道AC凿通？
21.（6分）若三角形的三个内角的比是1︰2︰3，最短边长为1，最长边长为2.
求：（1）这个三角形各内角的度数；
（2）另外一条边长的平方.
3 / 1222.（7分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离
旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断
裂吗？
23.（7分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式
表示：
a＝__________，b＝__________，c＝__________.
（2）以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？为什么？
24.（7分）如下图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10
cm，AB＝8 cm.
求：（1）FC的长；（2）EF的长.
25.（7分）如图，在长方体 中， ，AD＝3，一只蚂蚁从
A点出发，沿长方体表面爬到 点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？
4 / 125 / 12第一章 勾股定理检测题参考答案
1.C 解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；B.不确定第三
边是不是斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正
确；D.∠B=90°时，有b2＝a2＋c2，所以a2＋b2＝c2不成立，故D选项错误.
2.B 解析：设原直角三角形的两直角边长分别是a，b，斜边长是c，则a2＋b2＝
c2 ， 则 扩 大 后 的 直 角 三 角 形 两 直 角 边 长 的 平 方 和 为
斜边长的平方为 ，即斜边长扩大到
原来的2倍，故选B.
3.B 解析：在△ABC中，由AB＝6，AC＝8，BC＝10，可推出AB2＋AC2＝BC2.由勾
股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B．
4.D 解析：设三个正方形A，B，C的边长依次为a，b，c，因为三个正方形的边
组成一个直角三角形，所以a2＋b2＝c2，故S＋S＝S，即S＝169－144＝25.
A B C A
5.C 解析：由勾股定理可知 ，所以AB=13
cm, 再 由 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 有 ， 得
.
6.D 解析：在A选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在
B，C选项中，都符合勾股定理的条件，所以A，B，C选项中的三角形都是直角三
角形.在D选项中，求出三角形的三个内角分别是45°，60°，75°，所以不是
直角三角形，故选D．
7.C 解析：在Rt△ABC中，AC＝40，BC＝9，由勾股定理得AB＝41.因为BN=BC＝
9， ，所以
.
8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，
∵ 为 的中点，则 就是蚂蚁爬行的最短路径.
6 / 12∵ （cm），
∴ （cm）．
∵ cm，∴ =100（cm），∴ AB= 10 cm,即蚂蚁
要爬行的最短路程是10 cm．
9.B 解析：由 ，整理，得
，即
，所以 ，符合
所以这个三角形一定是直角三角形.
10.A 解析：因为a∶b＝3∶4，所以设a＝3k，b＝4k（k＞0）.在Rt△ABC中，
∠C＝90°,由勾股定理，得a2＋b2＝c2.因为c＝10，所以9k2＋16k2＝100，解
得k＝2，所以a＝6，b＝8，
所以S ＝ab＝×6×8＝24.故选A.
△ABC
11.30 cm 解析：当50 cm长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的木棒长
为x cm（x＞0），由勾股定理，得 ,解得x=30.
12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线互
相重合，∴
∵ BC＝16，∴
∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB=90°.
7 / 12在Rt△ADB中，∵ AB＝AC＝17，由勾股定理，得
.∴ AD=15 cm．
13.108 解析：因为 ，所以△ 是直角三角形，且两条直角边长
分别为9，12，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 .
14.612 解析：由勾股定理，得楼梯的底面至楼梯的最高层的水平距离为12 ｍ
所以楼道上铺地毯的长度为5＋12＝17（ｍ）.因为楼梯宽为2 ｍ,地毯每平方
米18元，所以铺完这个楼道需要的钱数为18×17×2＝612（元）.
15.6 解析：∵ △ABH≌△BCG≌△CDF≌△DAE，∴ AH＝DE.
又∵ 四边形ABCD和EFGH都是正方形，
∴ AD=AB=10，HE=EF=2，且AE⊥DE.
∴ 在Rt△ADE中， ，∴ + =
∴ + = ，∴ AH=6或AH= - 8（不合题意,舍去）.
16.126或66 解析：本题分两种情况．
（1）如图（1），在锐角△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高AD=12，
第16题答图（1）
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得
=25，∴ BD=5.在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
由勾股定理，得 =256，
∴ CD=16，∴ BC的长为BD+DC=5+16=21，
8 / 12△ABC的面积= ·BC·AD= ×21×12=126.
（2）如图（2），在钝角△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高AD=12，
第16题答图（2）
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得
=25，∴ BD=5.
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，由勾股定理，得
=256，∴ CD=16.∴ BC=DC-BD=16-5=11.
△ABC的面积= ·BC·AD= ×11×12=66.
综上，△ABC的面积是126或66.
17.49 解析：正方形A，B，C，D的面积之和是最大的正方形的面积，即49 ．
18.4 解析：在 Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得
，所以AB=5.他们仅仅少走了 （步）．
19.解：（1）因为 ，根据三边长满足的条件，可以判断△ 是直
角三角形，其中∠ 为直角.
（2）因为 ，所以
9 / 12，
根据三边长满足的条件，可以判断△ABC是直角三角形，其中∠C为直角.
20.解：在Rt△ 中，由勾股定理，得 ，
即 ，解得AC=3,或AC=－3（舍去）.
因为每天凿隧道0.2 km，
所以凿隧道用的时间为3÷0.2＝15（天）．
答：15天才能把隧道AC凿通.
21.解：（1）因为三个内角的比是1︰2︰3，
所以设三个内角的度数分别为k，2k，3k（k≠0）.
由k＋2k＋3k＝180°，得k＝30°，
所以三个内角的度数分别为30°，60°，90°.
（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2.
设另外一条直角边长为x，则 ，即 .
所以另外一条边长的平方为3.
22.分析：旗杆折断的部分、未折断的部分和折断后原旗杆顶部离旗杆底部的部
分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．
解：设旗杆未折断部分的长为x m，则折断部分的长为（16－x）m，
根据勾股定理,得 ，
解得 ，即旗杆在离底部6 m处断裂．
23.分析：从表中的数据找到规律．
解：（1）n2－1 2n n2＋1
（2）以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
理由如下：
∵ a2＋b2＝（n2－1）2＋4n2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2＝c2，
∴ 以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
24.分析：（1）因为将△ 翻折得到△ ，所以 ，则在Rt△ 中，可
求得 的长，从而 的长可求；
10 / 12（2）由于 ，可设 的长为 ，在Rt△ 中，利用勾股定理解直角三角
形即可．
解：（1）由题意,得AF＝AD＝BC＝10 cm，
在Rt△ABF中，∠B＝90°，
∵ cm，∴ ,BF=6 cm,
∴ （cm）．
（2）由题意,得 ，设 的长为 ，则 .
在Rt△ 中，∠C＝90°，
由勾股定理,得 即 ，
解得 ，即 的长为5 cm．
25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点
之间线段最短”得出结果．
解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形 长为 ，宽为
，
连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理,得 .
蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形 长为 ，宽为
，
连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理,得 , .
蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形 长为 宽为
AB=2，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得
∴ 蚂蚁从 点出发穿过 到达点时路程最短,最短路程是5．
11 / 1212 / 12
