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第一章《三角形的证明》单元检测题 B
一．选择题（共12小题）
1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2．一个等腰三角形一边长为 4cm，另一边长为 5cm，那么这个等腰三角形的周长是
（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
3．如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（
）
A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC
4．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的
是（ ）
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A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为
1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
21*cnjy*comA．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
7．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若
∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点
D，CD=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．3
9．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
10．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径
画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）A．65° B．60° C．55° D．45°
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于
点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP
交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
12．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，
则点P到BC的距离是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
二．填空题（共6小题）
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，
若CD=3，则BD的长为 ．
15．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于
．16．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则
△BCE的周长为 ．
17．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 ．
18．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且
BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．
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三．解答题（共6小题）
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
20．求证：等腰三角形的两个底角相等（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程）
已知：
求证：
证明：
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
22．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连
结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF= AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC
的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．24．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并
用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了
不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
参考答案与解析:
一．选择题
1．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
2．【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关
系，再求出周长．
解：当4cm为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，
∴周长为13cm；
当5cm为等腰三角形的腰时，
三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，
故选C
3．【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得到∠A=∠ABD，所以∠ABC＞
∠A，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断．
解：∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；
∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．
故选A．
4．【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等
三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
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解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
5．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC= AB=12× =6，
故答选A．
6．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC= AB=AM=1.2km．
故选D．
7．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到
∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．
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解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故选：D．
8．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，
易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，
再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．
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解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故选C．
9．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到
∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：B．
10．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AD=DC，根据等腰三角形的性质得到
∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
11．【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到
角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积= AB•DE= ×15×4=30．
故选B．
12．【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
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解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
二．填空题
13．【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三
角形内角和定理即可求出底角的度数．
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解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，
∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= （180°﹣138°）=21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：69°或21°．14．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得 AD=BD，可得
∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质
得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果
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解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
故答案为：6．
15．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的
长．
解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB=2DE=2×5=10，
∴在Rt△ABD中，
BD= = =8．故答案为：8．
16．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
17．【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
PD=PC，从而得解．
2·1·c·n·j·y
解：如图，过P作PD⊥OA于D，
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3．
故答案为：3．
18．【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，
DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出
△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面
积是多少即可．
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解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
（AAS）
∴△DEC≌△DFC，∴DF=DE=2，
∴S =BC×DF÷2
△BCD
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面积是4．
故答案为：4．
三．解答题
19．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到
∠ECB=∠DBC，从而得证；
【出处：21教育名师】
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC=∠BDC=90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．
20．【分析】充分理解题意，利用等腰三角形的性质，要根据题意画图，添加辅助线来证明
结论．
解：已知：△ABC中，AB=AC，
求证：∠B=∠C；
证明：如图，过D作BC⊥AD，垂足为点D，
∵AB=AC，AD=AD，在Rt△ABD与Rt△ACD中， ，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
∴∠B=∠C．
21．【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：
∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
22．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半可得EF= AC；
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（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，
再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，
再等量代换即可得解．
（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵点F为AC的中点，
∴EF= AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，
∴BC=AM+DM．23．【分析】（1）根据 AD∥BC 可知∠ADC=∠ECF，再根据 E 是 CD 的中点可求出
△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
24．【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，
由全等三角形的性质可得结论．
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解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．
故答案为：PD=PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE．
