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第一章 重点突破训练：三角形证明类型题举例
典例体系 （本专题 5 1 题 5 4 页）
考点1：线段垂直平分线的性质与作图
典例：（2020·吉林农安初三一模）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线
我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线 是线段 的垂直
平分线， 是 上任一点，连结 、 ，将线段 与直线 对称，我们发现 与 完全重
合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.
已知：如图， ，垂足为点 ， ，点 是直线 上的任意一点.
求证： .
分析：图中的两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证明 （请写出
完整的证明过程）
请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程，定理应用.
（1）如图②，在 中，直线 、 、 分别是边 、 、 的垂直平分线.
求证：直线 、 、 交于点.（2）如图③，在 中， ，边 的垂直平分线交 于点 ，边 的垂直平分线交
于点 ，若 ， ，则 的长为_______.
【答案】教材呈现：详见解析；定理应用：（1）详见解析；（2）6.
【解析】教材呈现：
，
又
．
图① 图②
定理应用：
（1）连结 、 、 ．
设直线 、 交于点 ．
直线 是边 的垂直平分线，
又 直线 是边 的垂直平分线，
点 在边 的垂直平分线 上．
直线 、 、 交于点 ．
（2）如图3，连接BD,BF
由第一问可知，AD=DB，BE=EC，∠A=∠DBA，∠C=∠CBE∵AB=AC
∴∠A=∠C
∵∠ABC=120°
∴∠A=∠C=30°
∴∠A=∠DBA=∠C=∠CBE=30°
∴∠BDE=∠A+∠ABD=60°，∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=60°
∴△DBE是等边三角形
∴DB=BE=DE
∴AD=DE=EC
∴DE= AC=6
方法或规律点拨
本题考查垂直平分线的性质与证明，能够读懂题意给到的方法进行解题是本题关键
巩固练习
1．（2020·湖南湘西中考真题）已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分
别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交
于G．那么， 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【解析】如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F
∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，
∴∠ONE=∠ONF=90°，
∵OM平分 ，
∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，
∴△OMD≌△ONG，
∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，
故选：C.
2．（2020·云南昆明）如图，在 中， 为钝角．用直尺和圆规在边 上确定一点 ．使
，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是线段 中垂线与 的交点，
故选B
3．（2020·深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学初三一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作
图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB
于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，
故选A．
4．（2020·河北唐山初三一模）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路 ， ， 围成的
一块地上修建一个度假村，要使这个度假村到 ， 两条公路的距离相等，且到 ， 两地的距离相等，
下列选址方法绘图描述正确的是（ ）
A．画 的平分线，再画线段 的垂直平分线，两线的交点符合选址条件
B．先画 和 的平分线，再画线段 的垂直平分线，三线的交点符合选址条件
C．画三个角 ， 和 三个角的平分线，交点即为所求
D．画 ， ， 三条线段的垂直平分线，交点即为所求
【答案】A
【解析】解：度假村为线段BC的垂直平分线与∠CAB的平分线的交点，则度假村到点B,C的距离相等，
到a、b的距离也相等.故选A
5．（2020·河南郑州外国语中学）在正方形网格中， 的位置如图所示，且顶点在格点上，在
内部有 、 、 、 四个格点，到 三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B【解析】∵到△ABC三个顶点距离相等，
∴该点是三角形三边垂直平分线的交点，即△ABC的外心，
如图，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，
故选：B．
6．（2020·江苏徐州初三一模）已知： ．求作：一点 ，使点 到 三个顶点的距离相等．
小明的作法是：（1）作 的平分线 ；（2）作边 的垂直平分线 ；（3）直线 与射线
交于 ．点 即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作 的平分线 ；
（2）作 的平分线 ；（3）射线 与射线 交于点 ．点 即为所求的点（作图痕迹如图
2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）
A．小明对，小丽不对B．小丽对，小明不对C．两人都对 D．两人都不对
【答案】D
【解析】∵点 到 三个顶点的距离相等，
∴点O应是三角形两边垂直平分线的交点，
∴小明和小丽的作法都不对；
故选：D.
7．（2020·山东平阴初一期末）(1) 如图，作出△ABC 关于直线l的对称图形；
(2)现有两条高速公路和A、B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，
并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示，
8．（2019·金昌市金川总校第五中学初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写
作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，当BC＝5cm，AB＝13cm时，求△BCD的周长．
【答案】（1）见解析；（2）17cm.
【解析】（1）如图；（2）在Rt ABC中，∵AB=13，BC=5，
∴AC= △ ，
∵DE为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=5+12=17（cm）．
9．（2020·甘肃张掖初一期末）如图，两条公路相交，在A、B两处是两个居民区，邮政局要在居民区旁
边修建一个邮筒，为了使邮寄和取送方便，要使邮筒到两条路的距离相等，并且到两个居民区的距离也相
等，请你找到一个这样的点．
【答案】见解析．
【解析】如图所示：
考点2：等腰三角形与动态图形问题
典例：（2020·全国初三专题练习）已知 是等边三角形， ．
如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且 ，连接AE，BF交于点G，求 的
度数；
如图2，点M是BC延长线上一点， ，MN交 的外角平分线于点N，求
的值；如图3，过点A作 于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边
，连DQ，则DQ的最小值是______．
【答案】(1)60°;(2)6;(3)1.5.
【解析】 为等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
≌
，
，
；
如图2，作 交CN于H，
，
是 的外角平分线，
，
为等边三角形，
，
， ，
，
在 和 中，，
≌
，
；
连接BQ，
是等边三角形， ，
， ，
， 是等边三角形，
， ， ，
在 和 中，
，
≌
，
当 时，DQ最小，最小值为 ，
故答案为： ．方法或规律点拨
本题考查的是等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）（问题）如图1，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF
△
与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点
C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
（数学思考）（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过
点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）如图2
∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DP＝DB；
（2）如图3
∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG
在△CDP和△GDB中，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DP＝DB．
2．（2020·黑龙江双鸭山初三其他）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直
线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．
（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，
BH，DE之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）见详解；（2）图2： ，图3：
【解析】解：（1）证明：在线段 上截取 ，连接 ，
∵ ，∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）当点 在线段 延长线上时，
如图2：在 的延长线上截取 ，连接 ，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
∵
∴
当点 在线段 延长线上时，
如图3：当点 在线段 延长线上时，在线段 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴ ， ，且
∴
∴
∵
∴
3．（2020·山东商河初一期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重
合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE
＝β．
（1）线段BD、CE的数量关系是________；并说明理由；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；
（3)如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F.求证：EF＝DC．
【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）见解析．
【解析】（1）BD=CE.
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE；
（2）α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；
（3）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，BD=CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B=∠ACE=∠ACB=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BC=FC，
∴BC-BD=FC-CE，即EF＝DC.
故答案为：（1）BD=CE，理由见解析；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）见解析．
4．（2020·河北河间初二期末）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如
图1）（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）如图2，点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
小明通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小明把这个猜想与同学们进行交
流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小明证明DA=AM（选一种方法即可）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】证明：（1）∵DE=DA，
∴∠E=∠DAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，
∴∠BAD=∠EDC；
（2）想法1：由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，
∵DE=DA，∴DM=DA，
由（1）可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，
∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，
∴∠MDC+∠ADB=120°，
∴∠ADM=180°﹣120°=60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴AD=AM．
5．（2020·山东济南初一期末）己知： 为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上
一点， ．
(1)如图1，当E在AC的延长线上且 时，AD是 的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由;
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．【答案】(1)是，理由见解析；(2) ，理由见解析；(3) .
【解析】(1)是，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠E+∠CDE，
∴∠E=30°，
∵AD=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∴∠DAC= ∠BAC，
即AD平分∠BAC，
∴AD是△ABC的中线；
(2) ，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°，AB=AC，
∴∠DCE=120°，△BDH是等边三角形，
∴DH=BD，∠DHB=60°，
∴∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，
∴∠DCE=∠AHD，DH//AC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠DAC，
∵DH//AC，
∴∠HAD=∠DAC，
∴∠HAD=∠E，
∴△ADH≌△DEC，
∴DH=CE，
∴CE=BD，
∴AB+BD=AC+CE=AE；(3)AE=AB-BD，理由如下：
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=EF，∠AFE=∠AFE=∠FAE=60°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF//BC，
∴∠FED=∠EDB，
∵AD=DE，DF=DF，AF=EF，
∴△ADF≌△EDF，
∴∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，
∵∠DFB=∠DAF+∠ADF，∠FDB=∠EDF+EDB，
∴∠DFB=∠FDB，
∴BD=BF，
∵AB-BF=AF，
∴AB-BD=AE.
6．（2020·山东烟台中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上
一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明
理由．【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【解析】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
考点3：坐标系中的等腰三角形
典例：（2019·黑龙江尚志初二期中）在平面直角坐标系 中，点 在 轴的正半轴上，点
在 轴正半轴上，且 ， 满足等式 ．点 从 点出发，沿 轴的正半轴运
动，过点 作 轴的垂线， 是垂线在第一象限内的一动点，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）若点 在线段 上，当 时，求点 的坐标；（3）若点 在线段 的延长线上， 的垂直平分线交 轴于点 ，并且恰好经过点 ，求此时
的面积．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）56
【解析】（1）
，
解得： ， ；
（2）如图1， ， 轴
在 和 中，
由（1）可知：
则点P的坐标为 ；
（3）如图2，设 交 于点 ，连接
是BQ的垂直平分线
在 和 中，
， ，
，即（等腰三角形的三线合一）
是等腰直角三角形，且
即此时 的面积为56．
方法或规律点拨
本题考查了垂直平分线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，
较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·云南砚山初三一模）如图所示，在平面直角坐标系中， ， ， 是等腰直角
三角形且 ，把 绕点B顺时针旋转 ，得到 ，把 绕点C顺时针旋转
，得到 ，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 的坐标为（ ）
2020
A．(4039，-1)
B．(4039，1)
C．(2020，-1)
D．(2020，1)
【答案】A【解析】解：过点P 作PM⊥x轴于M
1 1
∵ ， ， 是等腰直角三角形且 ，
∴AM=P M= =1
1
∴点P 的坐标为（1,1）=（2×1－1,（-1）1+1）
1
同理可得点P 的坐标为（3,-1）=（2×2－1, （-1）2+1）
2
点P 的坐标为（5,1）=（2×3－1, （-1）3+1）
3
点P 的坐标为（7,-1）=（2×4－1, （-1）4+1）
4
∴点P 的坐标为（2n－1, （-1）n+1）
n
∴点P 的坐标为（2×2020－1, （-1）2020+1）= (4039，-1)
2020
故选A．
2．（2019·湖北房县初二期末）如图，点A的坐标为（8，0），点B为y轴负半轴上的一动点，分别以
OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF，等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴与P
点，当点B在y轴上移动时，则PB的长度是（ ）
A．2 B．4 C．不是已知数的定值 D．PB的长度随点 B的运动而变化
【答案】B
【解析】解：如图，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中，，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，
在△BFP和△NEP中，
，
∴△BFP≌△NEP（AAS），
∴BP=NP，
又∵点A的坐标为（8，0），
∴OA=BN=8，
∴BP=NP=4，
故选：B．
3．（2019·上海静安初一期末）如图，在直角坐标平面内有两点 、 ，且 、 两点之间
的距离等于 （ 为大于0的已知数），在不计算 的数值条件下，完成下列两题：
（1）以学过的知识用一句话说出 的理由；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，如果存在，请写出点 的坐标，并求 的
面积；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）垂线段最短；（2）存在，当 ， ；当 ， ；当
， ；当 ， ．
【解析】解：（1）∵在平面直角坐标系中，AO⊥BO，O为垂足，
∴AO表示A点到直线BO的距离，
∵ ，∴ ，
∵垂线段最短，且 不与O重合，
∴ ，即 ，
∴ 的理由是“垂线段最短”；
（2）在 轴上存在点 ，使 是等腰三角形，
①如图1，当P在B点左边，BP=BA=a， 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图2，当P在B点右边，BP=BA=a， 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③如图3，当P在B点右边，BP=AP， 为等腰三角形，
此时P与O重合，即 ，∵ 、 ，
∴ ， ，
∴ ；
④如图4，当P在B点右边，AP=AB=a， 为等腰三角形，
∵AO⊥BO，
∴O为PB中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
综上所述：在 轴上存在点 ，使 是等腰三角形，
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
当 ， ；
4．（2020·青岛市黄岛区第四中学初三月考）如图1，直线 ，AB平分 ，过点B作
交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以 的速度沿射线AN方向运动，动点D以 的速度运动；已知 ，设动点D，E的运动时间为t．
试求 的度数；
当点D在射线AM上运动时满足 ： ：3，试求点D，E的运动时间t的值；
当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得 与 全
等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】（1）∠ACB=45°；（2）t= s或12s；（3）存在． t的值为2s或6s．
【解析】（1）如图1中，
∵AM⊥AN，
∴∠MAN=90°，
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAC=45°，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°．
（2）如图2中，①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．
∵BA平分∠MAN，
∴BG=BH，
∵S ：S =2：3，AD=t，AE=2t，
ADB BEC
△ △
∴ •t•BG： •（6-2t）•BH=2：3，
∴t= s．
②当点E运动到AC延长线上，同法可得t=12时，也满足条件！
∴当t= s或12s时，满足S ：S =2：3．
ADB BEC
△ △
（3）存在．∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，
∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，
∴t=6-2t，
∴t=2s，
∴t=2s时，△ADB≌△CEB．
当D在MA延长线上时，2t-6=t，t=6s，
综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．
5．（2019·哈尔滨市第四十九中学校初二月考）如图， ，点 关于 轴的对称点为 点，
点 在 轴的负半轴上， 的面积是 ．
（1）求点 坐标；
（2）若动点 从点 出发，沿射线 运动，速度为每秒 个单位，设 的运动时间为 秒， 的
面积为 ，求 与 的关系式；（3）在 的条件下，同时点Q从D点出发沿 轴正方向以每秒 个单位速度匀速运动，若点 在过
点且平行于 轴的直线上，当 为以 为直角边的等腰直角三角形时，求满足条件的 值，并直接
写出点 的坐标．
【答案】（1）点 坐标为 ；（2）当 时， ，当 时， ；
（3）当 为以 为直角边的等腰直角三角形时， 秒或 秒或 秒，点R对应的坐标分别为
R(6，-17)或R(6,13)或R(6, )．
【解析】解:（1） 的面积是
，
，
，
，
点 坐标为 ；
（2）∵点 关于 轴的对称点为 点，
点 坐标 ，
当 时， ，
当 时， ．
（3）①如图1中，当 时，作 于 ，
，
，
在 和 中，
，
四边形 是矩形，，
；
∴OQ=PH=2×10-9=11，
∴OH=6+11=17，
此时R(6，-17)
如图2中，当 时，
，
在 和 中，
，
，
，
．
此时AR=OQ=2t-9=13
∴R(6,13)③如图3中，当∠PQR=90°时，QR=PQ时，
∵∠RQA+∠OQP=90°，
∠OQP+∠OPQ=90°，
∴∠RQA=∠OPQ，
在△ARQ与△OQP中，
，
∴△ARQ≌△OQP（AAS）
∴OP=AQ，
∴t-4=15-2t，
∴t= ，
此时，AR=OQ=2t-9= ，
∴R(6, )综上所述，当 为以 为直角边的等腰直角三角形时， 秒或 秒或 秒，点R对应的坐标
分别为R(6，-17)或R(6,13)或R(6, )．
6．（2020·湖北黄州初二期末）如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、
OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段
OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE
有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
【答案】（1）△AOB为等腰直角三角形；（2）OD⊥OE，证明见解析；（3）∠BDE与∠COE互余．
【解析】解：（1）∵a2﹣2ab+b2=0．
∴（a﹣b）2=0，
∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：
如图 ②，∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，
在△OAD和△OBE中，
OAD≌△OBE（SAS），
∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，
△
∵∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠DOB+∠BOE=90°，∴OD⊥OE；
（3）∠BDE与∠COE互余，理由如下：
如图③，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO=45°，
∴∠DEB+∠BEO=45°，
∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，
∴∠DEB=∠COE，
∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠COE=90°
∴∠BDE与∠COE互余．
考点4：利用角平分线与平行线构成等腰三角形
典例：（2019·云南昆明三中初二期末）（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于
F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．
（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作
DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这
种关系．
（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作
DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你
的猜想．（不需证明）
【答案】（1）见详解；（2）BD+CE＝DE，证明过程见详解；（3）BD﹣CE＝DE，证明过程见详解
【解析】解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF；
（2）BD+CE＝DE，
理由是：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF；
同理可证：CE＝EF，
∵DE＝DF+EF，
∴BD+CE＝DE；
（3）BD﹣CE＝DE．
理由是：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF；
同理可证：CE＝EF，
∵DE＝DF﹣EF，
∴BD﹣CE＝DE．
方法或规律点拨
本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，本题具有一定的代表性，三个问
题证明过程类似．
巩固练习
1．（2020·全国初三专题练习）如图所示，在 中， 交 于点 ，点 是 中点，
交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的平分线.
【答案】见解析
【解析】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，
∵E是BC中点，∴BE=CE，
∴∠BEG=∠CEH，
在△BEG和△CEH中，
，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴∠BGE=∠H，
∴∠BGE=∠FGA=∠H，
∴BG=CH，
∵CF=BG，
∴CH=CF，
∴∠F=∠H=∠FGA，
∵EF∥AD，
∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
2．（1）、动手操作：
C¿
如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点 处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那
么∠EF {C' ¿的度数为 .
（2）、观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片
（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．
小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）、实践与运用：
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；
将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好
有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大小.解：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．；
（2）、同意，如图，设AD与EF交于点G
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形．
（3）、由题意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF，
∴MF＝NF，
由折叠可知，MF＝PF，
∴NF＝PF，
而由题意得出：MP＝MN，
又∵MF＝MF，
∴△MNF≌△MPF，
∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180°，
即3∠MNF＝180°，
∴∠MNF＝60°.
3．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°.
(1)求∠1的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．
解：（1）如图：∵∠FEC=64o,据题意可得：∠FEC′=64o,
∴∠BEC′=180o-∠FEC-∠FEC′= 52o,
又∵AD∥BC,
∴∠1="∠AGC′=" ∠BEC′=52o.
（2）证明：∵∠FEC=64o,AD∥BC,
∴∠GFE=∠FEC＝64o,
又∵∠FEC′=64o,
∴∠FEG=∠GEF＝64o,
∴GF＝GE,即△EFG是等腰三角形.
4．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
解：（1）由题,在等边△ABC中，AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,
又∵OD∥AB，
∴∠ABC=∠ODE=60°,
同理, ∵OE∥AC，
∴∠ACB=∠OED=60°,
∴△ODE是等边三角形.
（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBD,∠ACO=∠OCD,
又∵OD∥AB，
∴∠OBD=∠ABO=∠BOD.
∴BD=OD,
∵OE∥AC，
∴∠ACO=∠OCD =∠COE,
∴CE=OE,由(1)知△ODE是等边三角形,
∴OD=DE=OE,即BD=DE=EC.
考点5：勾股定理逆定理的实际应用
典例：（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，某公园有两个小喷泉A、B，两个小喷泉之间的距离为
25m．现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为
12m，BM的长为15m．
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离．
【答案】（1）供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m；（2） 是到小路 的最短距离，见解
析．
【详解】解：（1）∵
∴
在 中，
∴
∴
在 中
∴
答：供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m．
（2） 是到小路 的最短距离，
∵ ，
∴ 是直角三角形
根据垂线段最短性质，得
是到小路 的最短距离．方法或规律点拨
本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
巩固练习
1．（2020·重庆沙坪坝区·八年级期末）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小
区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，
米， 米， 米， 米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
【答案】（1） 米；（2） 米．
【详解】解：（1）
为 米．
（2）
为 米．
2．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四
边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10 m，BD＝14 m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
【答案】（1）8米；（2）72m2
【详解】（1） ，
∴在Rt 中，DC＝6m，CE＝10 m，
∴ m；
（2）如图，连接BE，
在Rt EBD中，BD＝14 m，ED＝8 m，
△ ，
∵AB＝16m，AE＝2m，
，
，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S ＝ ×16×2＝16，
ABE
△
又∵S ＝ ×14×8＝56，
BDE
△
∴四边形ABDE的面积 (m2)．
3．（2021·陕西西安市·八年级期末）为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步
伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在 中， ，E是 上的一点，
， ， ．（1）判断 的形状，并说明理由．
（2）求线段 的长．
【答案】（1） 是直角三角形；理由见解析；（2）线段 的长为16.9．
【详解】解：（1） 是直角三角形．
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（2）设 ，则 ，
由（1）可知 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴线段 的长为16.9．
4．（2021·河南周口市·八年级期末）某中学 、 两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ，
学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米，
米， 米．
（1）求出四边形空地 的面积；
（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．
【答案】（1）四边形空地 的面积为234平方米；（2）学校共需投入28080元．【详解】解：（1）连接 ．
在 中，∵ ， ， ，
∴ （米）．
在 中，∵ ， ， ，
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ．
∴ 平方米．
∴四边形空地 的面积为234平方米．
（2） （元）．
答：学校共需投入28080元．
5．（2021·福建泉州市·八年级期末）有一块四边形草地 （如图），测得 m，
m， m， ．
（1）求 的度数；
（2）求四边形草地 的面积．
【答案】（1）150°；（2） +120（m2）
【详解】（1）连接BD，
∵ m，∠A=60°
∴∆ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠A=60°，BD= m，
∵ m， m，
∴BD2+BC2=CD2，∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°+60°=150°；
（2）过点A作AP⊥BD于点P，则BP=DP= BD=5m，AP= ，
∴四边形草地 的面积=S +S = BD∙AP+ BC∙BD= ×10× + ×10×24= +120
∆ABD ∆CBD
（m2）．
6．（2020·长汀县第四中学八年级月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航
行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏
东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？
【答案】“海天”号沿北偏西40°方向航行．
【详解】解：根据题意可知，
PQ=16×1.5=24（海里），
PR=12×1.5=18（海里），
因为QR=30，242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR=90°．
由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS=50°．
因此∠RPS=∠QPR－∠QPS=90°－50°=40°，
即“海天”号沿北偏西40°方向航行．
7．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）学校操场边上一块空地（阴影部分）需
要绿化，测出 ， ， ， ， ．（1）求证： ．
（2）求需要绿化部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ 为直角三角形，
由勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
，
，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ．
（2）
答：需要绿化的面积为 ．
8．（2021·河南新乡市·八年级期末）如图，在 中， ，且周长为 ，点
从点 开始沿 边向 点以每秒 的速度移动；点 从点 开始沿 边向点 以每秒 的速
度移动，如果 ， 同时出发，问过 时， 的面积为多少?【答案】18cm2
【详解】设AB为3x（cm），BC为4x（cm），AC为5x（cm），
∵周长为36cm，
∴AB＋BC＋AC＝36cm，
∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9−3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S ＝ BP•BQ＝ ×6×6＝18（cm2）．
PBQ
△
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
9．（2021·全国八年级）如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮
船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，
它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航
行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．
【答案】南偏东30°，理由见解析．
【详解】解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°．理由是：由题意得：OA=12，OB=16，AB=20，
∵122+162=202，
∴OA2+OB2=AB2．
∴△OAB是直角三角形，
∴∠AOB=90°．
∵∠COA=60°，
∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．
10．（2021·全国八年级）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，
经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
（2）若BE⊥DC，垂足为E，求BE的长．
【答案】（1）需费用7200元；（2）BE ．
【详解】（1）解：连接BD，
在Rt ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
∴BD=5
△
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
即∠DBC＝90°，
S ＝S +S •AD•AB DB•BC，
四边形ABCD BAD DBC
△ △4×3 12×5＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）
答：要7200元投入．
（2）作BE⊥CD，垂足为E，
在Rt DBC中，
△
由于 BD•BC CD•BE，
即BE ．
11．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸
爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝4米，BC＝3米，CD
＝13米，DA＝12米，又已知∠B＝90°．你能够计算这块地的面积吗？
【答案】这块地的面积是36平方米
【详解】连结AC．
在Rt ABC中，
∵AC2＝AB2+BC2，AB＝4，BC＝3，
△
∴AC＝ =5，
∵AC2＝25，AD2＝144，DC2＝169，
∴25+144＝169，
∴AC2+AD2＝DC2
∴∠DAC＝90°，
∴S ＝S +S ＝ ×4×3+ ×5×12＝36（米2）．
四边形ABCD ABC ADC
△ △答：这块地的面积是36平方米．
12．（2020·郓城县教学研究室八年级期中）如图，一根 的电线杆 用铁丝 ， 固定，现已
知用去的铁丝 ， ，又测得地面上 ， 两点之间的距离是 ， ， 两点之间的距
离是 ，则电线杆和地面是否垂直，为什么？（提示：要判定电线杆和地面垂直，只需说明 且
即可）
【答案】垂直，理由见解析
【详解】电线杆和地面垂直，理由如下：
在△ABD中，∵BD2+AB2=52+122=169=132=AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，
在△ABC中，∵BC2+AB2=92+122=225=152=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴电线杆和地面垂直．
13．（2021·山东东营市·七年级期末） 年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、
全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人
们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如
图，已知 ， ， ， ，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某
两点之间距离，便快速确定了 ．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定 的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为 元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）测量的是点 ， 之间的距离，依据是：如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理），见解析；（2）绿化这片空地共需要
元
【详解】（1）测量的是点 ， 之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定
理的逆定理）．
（2）如图，连接 ，
， ， ，
，
由勾股定理，得 ，
又 ， ，
，
是直角三角形，
．
．
绿化费用为： （元）．
答：绿化这片空地共需要 元．
考点6：以尺规作图为条件的几何问题
典例：（2020·广东省初三其他）如图，已知锐角 ， ．
（1）尺规作图：求作 的角平分线 ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）点 在 边上且 ，请连接 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）作图如图所示，
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
方法或规律点拨
此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图，在 中， ，观察图中尺规作图的
痕迹，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵在 中， ，
∴ ，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴ ，
故选：B．
2．（2020·广东省中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
3．（2020·湖北省中考真题）如图， 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt ABC中，∠BAC=90°-∠C，
△
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
△
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.4．（2020·深圳市宝安中学（集团）初二期中）如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画
弧,分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N为圆心,以大于 MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过
点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED；②∠ABD= ∠ABC；
③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．① ② ④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC，
又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD=ED，故①正确，
在Rt BCD和 Rt BED中，
△ △
,
∴△BCD≌△BED，
∴BC=BE，故③正确.
故选：A.
5．（2020·江苏省初三二模）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分
△
别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
【答案】15
【解析】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S = •AC•DQ= ×10×3=15，
ACD
△
故答案为15．
6．（2020·河北省中考真题）如图， ∥CD，以点 为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别交 ，
于点 、 ，再分别以 、 为圆心，大于 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点 ，作射线
，交 于点 ，则射线 为_____________；若 ，则 的度数为__________．
【答案】 的平分线
【解析】
∵AB∥CD，∠ACD=110°，
∴∠CAB=70°，
∵根据作图可知：射线AP为∠CAB平分线，
∴∠CAM=∠BAM=35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA=∠MAB=35°．
故答案为：∠CAB平分线，35°．
7．（2020·云南省初三学业考试）如图，以点 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交 两边于点
．分别以点 为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧交于点 ．已知点 到边 的距
离为 ，则点 到边 的距离为_________．【答案】
【解析】
解：因为BF是∠ABC的平分线，则点 到边 的距离等于点 到边 的距离，为3.
故答案是3.
