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第七章 命题与证明评价卷
时间:90分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题
的反例是(C)
A.∠A=30°,∠B=40° B.∠A=30°,∠B=110°
C.∠A=30°,∠B=70° D.∠A=30°,∠B=90°
2.下列命题:①同旁内角互补,两直线平行;②无理数都是无限不循环
小数;③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④如果一个数
的立方根是这个数本身,那么这个数是0或1.其中是真命题的有(C)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:①∠1
=∠2;②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°;④∠4+∠5=180°.其中正确的有
(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.将三角尺 ABC 按如图所示位置摆放,顶点 A 落在直线 l 上,顶点 B
1
落在直线l 上.若l ∥l ,∠1=25°,则∠2的度数是(B)
2 1 2A.45° B.35°
C.30° D.25°
5.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是(C)
A B C D
6.我们知道“对于实数 m,n,k,若m=n,n=k,则m=k”,即相等关系具有
传递性.小敏由此进行联想,提出了下列命题:① a,b,c 是直线,若
a∥b,b∥c,则 a∥c;② a,b,c 是直线,若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;③若
∠α 与∠β 互余,∠β 与∠γ 互余,则∠α 与∠γ 互余.其中正确
的命题是(A)
A.① B.①② C.②③ D.①②③
7.某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.如图(1)所示是
某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图(2)是其示意图,其中
AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为
度时,AM与CB平行.(C)
图(1) 图(2)
A.16 B.60 C.66 D.114
8.如图所示是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.
若∠1=30°,∠2=60°,则∠3的度数为(C)A.130° B.140° C.150° D.160°
9.一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力 G 的方向竖直
向下,支持力 F 的方向与斜面垂直,摩擦力 F 的方向与斜面平行.若
1 2
斜面与水平面的夹角 α=25°,则摩擦力F 与重力G方向的夹角β的
2
度数为(C)
A.155° B.125° C.115° D.65°
1 1
10.如图所示,已知 AB∥CD,∠EAF= ∠BAF,∠ECF= ∠DCF,记∠AEC=
3 3
m∠AFC,则m的值为(B)
2 4 3 5
A. B. C. D.
3 3 2 3
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……,那
么……”的形式是 如果两条直线垂直于同一条直线 , 那么这两条直
线平行 .
12.如图所示,AB∥CD,MF 与 AB,CD 分别交于点 E,F,FG 平分∠CFM 交
AB于点G.若∠CFG=60°,则∠FEB的度数为 12 0 ° .13.如图所示,小迪将两个完全相同的三角板拼在一起,沿着三角板的
斜边,画出线段 AB,CD.则我们可以判定 AB∥CD 的依据是 内错角相
等 , 两直线平行 .
14.在一次游戏中,老师将三个颜色不同的小球分发给小回、小雁和
小峰三个同学,其中有一个小球颜色是红色.小回说:“红色球在我手
上;”小雁说:“红色球不在我手上;”小峰说:“红色球肯定不在小
回手上.”三个同学只有一个说对了,则红色球在 小雁 的手上.
15.两块含30°角的三角尺如图所示叠放,现固定三角尺ABC不动,将
三角尺 DEC绕顶点 C顺时针转动,使两块三角尺至少有一组边互相平
行,且点 D 在直线 BC 的上方,则∠BCD 所有符合的度数为 3 0 ° ,
6 0 ° ,9 0 ° 或 12 0 ° .
三、解答题(共55分)
16.(6分)把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并指出
其条件和结论.
(1)两个直角相等;
(2)两个角的和是180°,它们就是互补的角;(3)垂线段最短.
解:(1)如果两个角是直角,那么它们相等.
条件是两个角是直角,结论是这两个角相等.
(2)如果两个角的和是180°,那么它们是互补的角.
条件是两个角的和是180°,结论是这两个角互补.
(3)如果连接直线外一点和直线上的各点,那么所有线段中垂线段
最短.
条件是连接直线外一点和直线上的各点,结论是在所有线段中垂线段
最短.
17.(6分)如图所示是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残
缺玉片,工作人员从玉片上已经量得∠A=115°,∠D=110°.已知梯形
的两底AD∥BC,请你求出另外两个角的度数.
解:∵AD∥BC,
∴∠B=180°-∠A=180°-115°=65°;
∠C=180°-∠D=180°-110°=70°.
18.(8 分)如图所示,已知∠1+∠ABC=180°,请你从下面三个条件中,
选出两个作为已知条件,另一个作为结论,组成一个真命题.
①BE是∠ABC的平分线;②∠E=∠2;③DF∥AB.你选的条件是 ,结论是 .请加以证明.
解:(答案不唯一)选的条件是①②,结论是③,证明如下:
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠2=∠CBE.
∵∠E=∠2,∴∠CBE=∠E,
∴AE∥BC,∴∠A+∠ABC=180°.
∵∠1+∠ABC=180°,
∴∠A=∠1,∴DF∥AB.
19.(8 分)光线在不同介质中传播速度不同,从一种介质射向另一种
介质时会发生折射.如图所示,水面 AB 与水杯下沿 CD 平行,光线 EF
从水中射向空气时发生折射,光线变成 FH,点 G 在射线 EF 上.已知
∠ HFB=
20°,∠FED=45°,求∠GFH的度数.
解:∵AB∥CD,
∴∠GFB=∠FED=45°.
∵∠HFB=20°,
∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°.
20.(8分)如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.
求证:CE∥BF.证明:∵∠3=∠4,
∴DF∥BC,∴∠5=∠BAF.
∵∠5=∠6,∴∠6=∠BAF,
∴AB∥CD,∴∠2=∠AGE.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠AGE,
∴CE∥BF.
21.(8分)如图所示,在△ABC中,点D,F在BC边上,点E在AB边上,点
G 在 AC 边上,EF 与 GD 的延长线交于点 H,∠CDG=∠B,∠1+∠FEA
=180°.求证:
(1)EH∥AD;
(2)∠BAD=∠H.
证明:(1)∵∠CDG=∠B,∴DG∥AB.
∴∠1=∠BAD.
∵∠1+∠FEA=180°,
∴∠BAD+∠FEA=180°.
∴EH∥AD.
(2)由(1)得∠1=∠BAD,EH∥AD,∴∠1=∠H.
∴∠BAD=∠H.
22.(11 分)【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行
线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在于这个
“基本图形”中,当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助
线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”体现了转化
思想.
【建立模型】(1)如图(1)(2)所示,已知AB∥CD,点E在直线AB,CD之
间,请分别写出∠AEC与∠A,∠C之间的关系,并对图(2)中的结论进
行证明.
图(1) 图(2)
【解决问题】(2)请用上面的结论解决下面的问题:
如图(3)所示是一盏可调节台灯及其示意图.固定支撑杆 AO⊥底座MN
于点 O,AB 与 BC 是分别可绕点 A 和 B 旋转的调节杆,台灯灯罩可绕点
C 旋转调节光线角度,在调节过程中,最外侧光线 CD,CE 组成的∠DCE
=45°始终保持不变.现调节台灯,使外侧光线 CD∥MN,CE∥BA,求
∠BAO的度数.
图(3)【拓展应用】(3)如图(4)所示,已知AB∥CD,BE和DF分别平分∠ABF
和∠CDE.若2∠E-∠F=75°,求∠CDE的度数.
图(4)
解:(1)题图(1)中,∠A+∠AEC+∠C=360°.
题图(2)中,∠AEC=∠A+∠C.证明如下:
如图①所示,过E作直线EF∥AB.
图①
∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,
∴∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,
∴∠A+∠C=∠AEF+∠CEF=∠AEC,
即∠AEC=∠A+∠C.
(2)如图②所示,延长DC,AB交于点Q,过A作AF∥CD.
图②
∵MN∥CD,∴MN∥AF∥CD,
∴∠FAB=∠Q,∠FAO+∠AOM=180°.∵∠DCE=45°,AB∥CE,
∴∠DCE=∠Q=45°,∴∠BAF=45°.
∵AO⊥MN,∴∠AOM=90°,
∴∠FAO=90°,
∴∠BAO=45°+90°=135°.
(3)由(1)的结论,得∠E=∠ABE+∠CDE,
∠F=∠ABF+∠CDF.
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,
1 1
∴∠ABE= ∠ABF,∠CDF= ∠CDE.
2 2
∵2∠E-∠F=75°,
∴2∠ABE+2∠CDE-∠ABF-∠CDF=75°,
3
∴ ∠CDE=75°,∴∠CDE=50°.
2
