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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2023春·七年级课时练习）若 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，
，故A不符合题意；
B、 ，
，故B符合题意；
C、 ，
，
，故C不符合题意；
D、 ，
，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）若关于 ， 的方程组 有非负整数解，则正整数 为（ ）．
A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3
【答案】D
【分析】根据 的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式组
求出 的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可．
【详解】
得， ，解得： ，
将 代入①得， ，
解得： ，
∵方程组得解为非负整数，
∴ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴ ，
∵ ， 是整数，
∴ 是8的因数，
∴正整数 是1，3
故选：D
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出 的
取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】首先将已知点的坐标代入直线 求得 的值，然后观察函数图象得到在点 的右边，直
线 都在直线 的上方，据此求解．
【详解】解： 直线 与直线 相交于点 ，
，
解得： ，
观察图象可知：关于 的不等式 的解集为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量
的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
4．（2023春·七年级课时练习）已知数 a、数 b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中不正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置我看到 ，进一步得到 ，
由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴四个选项中只有C选项符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子符号，正确得到
是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）当三个非负实数x、y、z满足关系式 与 时，
的最小值和最大值分别是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据关系式 与 求出y和z与x的关系式，又因x、y、z均为非负实数，
求出x的取值范围，于是可以求出M的最大值和最小值．
【详解】解：由 得：
，
代入M的表达式中得，
，
又因x、y、z均为非负实数，
所以 ，
即 ，
当 时，M有最小值为 ，
当 时，M有最大值为7．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数最值问题的知识点，解答本题的关键是把y和z用x表示出来，此题难度不大．
6．（2023春·七年级课时练习）若关于 的不等式组 有解，且关于 的方程
的解为正整数，则满足条件的所有整数 的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先解不等式组，求出a的范围，再根据 的解为正整数，确定a的值，从而求出答案．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
∵关于 的不等式组 有解，
∴
∴
解
∵关于 的方程 的解为正整数
∴当 时， ，∴
∴当 时， ，∴
当 时， ，∴ 应舍去
当 时， ，不符合条件，
∴满足条件的所有整数 的个数是2个
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及一元一次方程中字母的值，解题的关键是明确如何讨论a的个数．
7．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，直线 的位置如图所示，则不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象可以得到，当 时， 对应的函数值大于1，从而可以得到不等式
的解集．
【详解】解：由图象可得，
当 时， 对应的函数值大于1，
∴不等式 的解集是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本
题的关键．
8．（2023春·八年级课时练习）如图，函数 与 的图像相交于点 ，则关于x的不等
式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用一次函数的性质得出m的值，再利用函数图像得出不等式 的解集．
【详解】解：∵函数 与 的图像相交于点 ，
∴ ，
解得： ，∴关于x的不等式 的解集是： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出m的值．
9．（2023春·山东济南·九年级统考阶段练习）关于 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这
个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由题意得，不等式组的解集为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到的原则是解题的关键．
10．（2023春·七年级课时练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时
标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折
【答案】C
【分析】设该商品打x折销售，利用利润=售价-进价，结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不
等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小值即可得出该商品最多可打七五折．
【详解】解：设该商品打x折销售，
依题意得： ，
解得： ，
∴该商品最多可打七五折．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
二、填空题11．（2023秋·湖南株洲·八年级校考期末）若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为
______．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义可得 且 ，分别进行求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ 且 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为 次”这一条件；还要注意，未知数
的系数不能是 ，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
12．（2023春·七年级课时练习）若关于x的方程 的解是负数，则m的取值范围是
____________．
【答案】
【分析】解方程得 ，由方程的解为负数得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解：解方程 ，得： ，
∵方程的解为负数，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．
13．（2023·全国·九年级专题练习）如果关于x的不等式组 无解，那么m的取值范围是
___________；
【答案】 ##
【分析】根据不等式组无解，得出新的不等式，求解新不等式，即可得出答案．【详解】解： ｘ的不等式组 无解，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用，解此题
的关键是能得出关于m的不等式．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，直线 与直线 的交点是 ，则不等式
的解集是______．
【答案】
【分析】结合图像，根据交点及 解答即可．
【详解】解： 直线 与直线 的交点是 ，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了利用一次函数交点求不等式的解集，正确理解一次函数的交点与不等式的关系是解题
的关键．
15．（2023·全国·九年级专题练习）若 ，且 ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解： ，且 ，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
16．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，且关于x
的不等式组 无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______．
【答案】7
【分析】解出方程组然后根据题意得出不等式确定 ，再解不等式组得出 ，确定取值范围即可得
出结果．
【详解】解：解方程组 得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵a为整数，
∴a可以为 ， ，0，1，2，3，4，∴所有符合条件的整数a的个数为7，
故答案为：7．
【点睛】题目主要考查解二元一次方程组及不等式组，理解解集求参数，熟练掌握解二元一次方程及不等
式组的方法是解题关键．
三、解答题
17．（2021春·八年级课时练习）列不等式（组）：
（1） 是负数；
（2） 是非负数；
（3）x的2倍与3的差小于零；
（4）a的5倍与3的差不小于10，且不大于20．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】根据各个小题中的语句，可以写出相应的不等式或不等式组，本题得以解决．
【详解】解：（1）x+1是负数可以表示为x+1＜0；
（2）x2是非负数可以表示出为x2≥0；
（3）x的2倍与3的差小于零可以表示为2x-3＜0；
（4）a的5倍与3的差不小于10，且不大于20可以表示为 ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式或不
等式组．
18．（2021春·八年级课时练习）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
【答案】（1） ，数轴见解析；（2） ，数轴见解析；（3） ，数轴见解析；（4）
，数轴见解析；（5） ，数轴见解析；（6） ，数轴见解析；（7） ，数轴见解析；
（8） ，数轴见解析
【分析】（1）、（2）根据移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出
解集即可；
（3）根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可；
（4）、（5）、（6）、（7）、（8）根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等
式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：（1） ，
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
两边同除以2，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（2） ，
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
两边同除以 ，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：（3） ，
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
两边同除以 ，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（4） ，
去分母，得
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（5） ，
去分母，得
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
两边同除以 ，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：（6） ，
去分母，得
合并同类项，得 ．
两边同除以 ，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（7） ，
去分母，得
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
两边同除以 ，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（8） ，
去分母，得
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
两边同除以 ，得 ．
不等式的解集在数轴上的表示如图：【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集的知识，能正确运用不等式的基本
性质进行计算是解此题的关键．
19．（2022秋·八年级课时练习）解下列不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）（2）分别先根据一元一次不等式的解法分别求出每个不等式的解集，并将两个不等式的解
集表示在同一数轴上，再利用不等式组的解集的确定方法：“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小无解”求解即可．
【详解】解：（1） ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
将不等式的解集在数轴上表示如图：
所以，原不等式组的解集为 ．
（2）
解不等式①，得 ．解不等式②，得 ．
将不等式的解集在数轴上表示如图：
所以，原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键．
20．（2021春·宁夏银川·八年级校考期中）如图，已知函数y＝x＋5的图象与x轴交于点A，一次函数y＝
1 2
－2x＋b的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与y＝x＋5的图象交于点D（m，4）．
1
（1）求m，b的值；
（2）若y＞y，则x的取值范围是 ；
1 2
（3）求四边形AOCD的面积．
【答案】（1） ， （2） （3）11
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象法求解即可；
（3）先求出点A、B、C的坐标，再根据 求解即可．
【详解】（1）将点D（m，4）代入y＝x＋5中，可得
1
解得
∴
代入y＝－2x＋b中，可得
2
解得故 ， ；
（2）∵
∴由图象可得，若y＞y，则x的取值范围是 ；
1 2
（3）将 代入y＝－2x＋2中，可得
2
∴
将 代入y＝－2x＋2中，可得
2
∴
将 代入y＝x＋5中，可得
1
∴
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质、图象法、三角形面积公式是解题的关键．
21．（2023春·七年级课时练习）小明所在的学校为加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性
购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买 个篮球和 个足球共需
元；若购买 个篮球和 个足球共需 元．
(1)每个篮球和足球各需多少元．
(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买篮球和足球共60个，实际购买中得知：在此商店购买足
球和篮球的总个数超过50时，在此商店购买的篮球打八折出售（足球仍按原价出售）．若该校此次用于买
篮球和足球的总费用少于6800元，那么最多可以购买多少个篮球．
【答案】(1)每个篮球 元，每个足球 元；
(2)最多可以买 个篮球【分析】（1）设每个篮球 元，每个足球 元，根据买 个篮球和 个足球共需 元，购买 个篮球和
个足球共需 元，列出方程组，求解即可；
（2）设买 个篮球，则购买 个足球，根据总价钱不超过 元，列不等式求出 的最大整数解
即可．
【详解】（1）设每个篮球 元，每个足球 元，
由题意得， ，
解得： ，
答：每个篮球 元，每个足球 元；
（2）设买 个篮球，则购买 个足球，
由题意得， ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 最大取 ，
答：最多可以买 个篮球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解
题的关键．
22．（2023春·七年级课时练习）已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306
吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车
的最大装载量如表：
最大装载量（吨） A型货车 B型货车
甲种货物 7 5
乙种货物 3 7
(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?
(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车
奖金为n元， ，且m，n均为整数.则 ___________， ____________.
【答案】(1)三种方案
(2)A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为 （元）
(3)40 45
【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车 辆，列出不等式组，求整数解即可；
（2）根据三种方案判断即可；
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【详解】（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车 辆，
，
解得： ，
因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．
（2） 使用A种货车费用600元，B种货车800元， ，
在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，
即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，
费用为： （元）；
（3）在（2）的方案下，由题意得：
，
，
，
，
解得： ，
经验算，只有当 时，m= 为整数，其余n的取值不符合要求，此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．
【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，
学会利用参数根据不等式（组）解决问题．
