文档内容
班级 姓名 学号 分数
第二章 一元二次方程单元测试（B 卷·提升能力）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2021·浙江八年级期中）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【答案】C
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，
解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非
零得出不等式组是关键．
2．（2021·山东临沂市·）若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
【答案】C
【分析】
先直接开平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整体求出a2+b2即可．
【详解】
解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，
∴a2+b2﹣3＝±5，
∴a2+b2＝3±5，
∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2∵a2+b2≥0
∴a2+b2＝8．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是
解答本题的关键．
3．（2021·全国九年级课时练习）若 ， 满足 ， ，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知m、n是方程 的根，根据一元二次方程的根与系数的关系得到m+n=-5，mn=-3，
然后对所求式子进行变形，然后整体代入计算即可．
【详解】
∵ 、 满足 ， ，
∴ 、 是方程 的根，
∴由根与系数的关系可知，
， ，
∴ ．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个分别为x ，x ，则
1 2
x +x =- ，x •x = ．也考查了整体的思想．
1 2 1 2
4．（2020·三江侗族自治县基础教育教学研究中心九年级期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是
（ ）．
A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为
【答案】B
【分析】
根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．
【详解】
即
∴选项A正确；
即
∴选项B不正确；
即
∴选项C正确；
即
∴选项D正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程配方法的性质，从而完成求解．
5．（2020·江苏扬州市·）若关于x的一元二次方程 －2m－3＝0有一个根为0，则m的值是（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1
【答案】A
【详解】
把x=0代入方程可得 ，解得m=-3或1，又因m+1≠1，所以m只取-3，故选A.
6．（2021·浙江八年级期末）我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x ＝1，x ＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2
1 2
＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是( )．
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝-3
1 2 1 2
C．x ＝-1，x ＝3 D．x ＝-1，x ＝-3
1 2 1 2
【答案】D
【分析】
将 作为一个整体，根据题意，即可得到 的值，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得： 或
∴ 或
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成
求解．
7．（2021·江苏九年级专题练习）小刚在解关于x的方程 时，只抄对了 ， ，
解出其中一个根是 ．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x=-1 D．有两个相
等的实数根
【答案】A
【分析】
直接把已知数据代入进而得出 的值，再利用根的判别式求出答案．
【详解】
∵小刚在解关于x的方程 ( )时，只抄对了 ， ，解出其中一个根是 ，∴ ，
解得： ，
∵核对时发现所抄的 比原方程的 值小2，
故原方程中 ，
则 ，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c的值是解题关键．
8．（2020·汕头市潮阳区铜盂中学九年级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，
那么每轮传染中，平均一个人传染的人数（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】B
【详解】
设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x
（1+x）个人感染，
由题意可知：1+x+x（1+x）=100，
整理得， ，
解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选B．
9．（2021·全国九年级课时练习）如图，要设计一幅宽 、长 的矩形图案，其中有两横两竖的彩
条，横、竖彩条的宽度比为 ，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条和
竖彩条的宽度分别是（ ）A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】
要求彩条的宽度，可设横彩条的宽为 ，则竖彩条宽为 ，横彩条的长为矩形的宽，竖彩条的长为矩形
的长，由此可分别求出横竖彩条的面积，由图可知横竖彩条有重叠的面积，所以横竖彩条的面积减去重叠
的部分等于总面积的三分之一，由此列方程并求解即可．
【详解】
解：设横彩条的宽度为 ，则竖彩条的宽度为 ，
由图可知一个横彩条的面积为： ，一个竖彩条的面积为： ，
有四个重叠的部分，重叠的面积为： ，
因为所有彩条的面积为总面积的三分之一，
所以列方程为：
，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
应设计横的彩条宽为 ，竖的彩条宽为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程是解决本题的关键，此时注
意，重叠的面积在算横竖彩条的面积时算了两次，故减去一次，才等于总面积的三分之一．
10．（2021·浙江八年级期末）某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出
100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销
售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;
【详解】
解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（ ）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2020·全国八年级单元测试）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b 的值是
_____．
【答案】8．
【分析】
由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b 进行变形计算可得结
果.
【详解】
解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+
＝3﹣3a﹣b+
＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+
＝4+
＝4+
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.
12．（2021·全国九年级专题练习）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于
x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．
【答案】2
【分析】
关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜ 且
a≠-1，再解分式方程得到 ，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然
后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．
【详解】
∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜ 且a≠﹣1．
把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得
∵x≠﹣1，∴ ，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程
有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
13．已知实数 满足 ，则代数式 的值为________．
【答案】
【分析】
把 看作一个整体，利用因式分解法把方程 分解为
，由此即可求得 的值.
【详解】
，
，
， ,
∴m2-m=7或m2-m=-3．
∵ ，△=1-12=-11＜0，
∴方程 无解，∴ .
故答案为7.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵
活运用．
14．（2020·全国九年级课时练习）已知关于 的方程 ， ， 均为常数，且 的两个
解是 和 ，则方程 的解是____．
【答案】 ，
【分析】
先根据题意得出 或 ，再将 变形为： ，进而根
据 或 计算即得．
【详解】
∵关于 的方程 ， ， 均为常数，且 的两个解是 和
∴ 或
∵
∴
∴ 或
∴ 或
故答案为： ，
【点睛】
本题是求解含参一元二次方程，主要考查换元法，解题关键是发现已知方程和未知方程的共同特点．
15．（2020·全国九年级专题练习）若a是方程x2-2x-2015=0的根，则a3-3a2-2013a+1=____________．
【答案】-2014【分析】
由题意得： 拆项，运用因式分解方法变形求解.
【详解】
由题意得： 则：a3-3a2-2013a+1=
.
故答案为-2014.
【点睛】
考核知识点：因式分解的运用.拆项分组是关键.
16．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x =﹣3，x =1（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）
1 2
2+b=0的解是________．
【答案】x ＝﹣2，x ＝2
1 2
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x－1看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】
∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x =﹣3，x =1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）
1 2
2+b=0变形为a[（x－1）+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x ＝﹣2，x ＝2．
1 2
故答案为：x ＝﹣2，x ＝2．
1 2
【点睛】
本题考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
17．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的
速度匀速移动，同时另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300
cm2时，运动时间为__________.
【答案】5s
【分析】设x秒后，△PCQ的面积等于300cm2，根据路程=速度×时间，可用时间x表示出CP和CQ的长，然后根据
直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去，即可得
出时间的值．
【详解】
设x秒后，△PCQ的面积等于300cm2，有：
（50-2x）×3x=300，
∴x2-25x+50=0，
∴x =5，x =20．
1 2
当x=20s时，CQ=3x=3×20=60＞BC=40，即x=20s不合题意，舍去．
答：5秒后，△PCQ的面积等于300cm2．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程
求出是解题关键．
18．（2021·全国九年级课时练习）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某乡镇中学2017年投资11
万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2019年投资18.59万元．则该学校为新增电
脑投资的年平均增长率是________，从2017年到2019年，该中学三年为新增电脑共投资_______万元．
【答案】 43.89
【分析】
设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x，从2017年到2019年三年在增长，可列出方程求解，求出
增长率，就可求出2017年的，2018年，2019年三年总投资金额．
【详解】
设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x，
根据题意得 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是 ，
2018年投资： （万元）．
三年共投资： （万元）．
【点睛】本题是个增长率问题，关键是找到增长的结果这个等量关系，列方程求解．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（12分）选取最恰当的方法解方程：
①
② （用配方法解）
③
④ ．
【答案】① =1， =3；② =14， =-16；③ ， ；④ ， .
【解析】
【分析】
①用因式分解法求解；②方程左边加上并减去一次项系数一半的平方即可；③用十字相乘法求解；④用因
式分解法求解.
【详解】
解：① ，则 或 ，解得x =1，x =3；
1 2
② ，
∴ ，解得x =14，x =-16；
1 2
③由十字相乘法可得(3x-4)(x-1)=0，则 ， ；
④由原方程得 ，移项得 ，解得 ， .
【点睛】
本题考查了选择合适的方法解一元二次方程.
20．（6分）（2020·新疆九年级月考）已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求
的值.
【答案】20
【分析】先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到= （a+b），再利用整体代入的方法计算；
【详解】
把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，
所以原式= .
21．（8分）（2020·全国）检验：
（1） ， 是否为方程 的解．
（2） 是否为方程 和方程 的解．
【答案】（1） 不是方程 的解， 是方程 的解；（2） 是
的解， 不是方程 的解．
【分析】
（1）将 ， 分别代入方程进行检验即可得；
（2）将 分别代入两个方程进行检验即可得．
【详解】
（1）将 代入方程 的左边得： ，
将 代入方程 的左边得： ，
则 不是方程 的解， 是方程 的解；
（2）将 代入方程 的左边得： ，代入右边得：
，即左边等于右边，
则 是方程 的解；
将 代入方程 的左边得： ，代入右边得： ，即左
边不等于右边，则 不是方程 的解．
【点睛】
本题考查了方程的解，掌握理解方程的解定义是解题关键．
22．（10分）（2021·全国九年级课时练习）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长
度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm
（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否
成功围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由
【答案】（1）4；（2）不能，理由见详解．
【分析】
（1）由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB= m，接着根据题意列出方程
•x=40，解方程即可求出BC的长；
（2）不能围成花圃；根据（1）得到 •x＝50，此方程的判别式△=（-24）2-4×150＜0，由此得到方程
无实数解，所以不能围成花圃；
【详解】
解：（1）根据题意得，
AB= m，
则 •x=40，
∴x =20，x =4，
1 2
因为20＞15，
所以x =20舍去
1
答：BC的长为4米；（2）不能围成花圃，
根据题意得，
•x＝50，
方程可化为x2-24x+150=0
△=（-24）2-4×150＜0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃；
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题
意列出方程即可解决问题．
23．（10分）（2021·全国九年级专题练习）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为
新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万
元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．
（1）求甲、乙两种智能设备单价；
（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，
若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．
垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度
不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？
【答案】（1）甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）188元
【分析】
（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方
程求解即可；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可
得出售价．
【详解】
解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14﹣x）万元，
由题意得： ＝ ，
解得：x＝60，
经检验x＝60是方程的解，∴x＝60，140﹣x＝80，
答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；
（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，
由题意得： ，
解得： ， ，
∵ ，即 ，
∴y＝12，200﹣y＝188，
答：每吨燃料棒售价应为188元．
【点睛】
本题考查了分式方程、一元二次方程的实际应用；根据题意列出方程是本题的关键．
