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北师大版九年级上册第二章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．﹣x+2＝0 D．x2﹣1＝0
【答案】D
【解析】解：A．是二元一次方程，不符合题意；
B．是二元二次方程，不符合题意；
C．是一元一次方程，不符合题意；
D．是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解析】解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移项合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故选：A．
3．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2﹣2x﹣5＝0 D．x2+3x+4＝0
【答案】D
【解析】解：A、因为Δ＝22﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选
项不符合题意；
B、因为Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、因为Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以 C选项不符
合题意；
D、因为Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，则方程没有实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分
别是（ ）A．2，5，0 B．2，﹣5，0 C．2，5，1 D．2，3，0
【答案】B
【解析】解：方程2x（x﹣1）＝3x，
整理得：2x2﹣5x＝0，
则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0．
故选：B．
5．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．4
【答案】A
【解析】解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝﹣3m+1，
∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2﹣m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．
故选：A．
6．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣3 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
【答案】C
【解析】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣3且a≠1．
故选：C．
7．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所
示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B【解析】解：设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的
矩形，
依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x ＝2，x ＝44．
1 2
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故选：B．
8．用配方法解一元二次方程 x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b 的形式，则变形正确的是
（ ）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
【答案】D
【解析】解：方程x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
配方得：x2﹣8x+16＝11，即（x﹣4）2＝11．
故选：D．
9．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面
积是（ ）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
【答案】B
【解析】解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
所以x ＝3，x ＝5，
1 2
即三角形的两条边长分别3、5，
而三角形的周长是12，
所以第三边长为7，
因为32+42＝52，
所以此三角形为直角三角形，
1
所以该三角形的面积= ×3×4＝6．
2故选：B．
10．在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首
枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上 7月24日
的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若7月25日和26日较前一天的
增长率均为x，则x满足的方程是（ ）
A．5000（1+x）2＝22500
B．5000（1﹣x）2＝22500
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
【答案】D
【解析】解：根据题意可得：
7月25日的销量为：5000（1+x），
7月26日的销量为：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．已知一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则方程的另一个根是 ﹣ 2 ．
【答案】-2
【解析】解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a•1＝﹣2，
解得：a＝﹣2，
即方程的另一个根为﹣2，
故答案为：﹣2．
12．关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根是a，则代数式﹣2a2+10a+3的值是 ﹣ 1 ．
【答案】-1
【解析】解：由题意，得a2﹣5a﹣2＝0，
所以a2﹣5a＝2．
所以﹣2a2+10a+3
＝﹣2（a2﹣5a）+3
＝﹣4+3
＝﹣1．故答案是：﹣1．
13．若方程（m﹣1） x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣ 1 ．
xm2+1−
【答案】-1
【解析】解：∵方程（m﹣1） x﹣2＝0是一元二次方程，
xm2+1−
∴{m2+1=2，
m−1≠0
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x ，x ，若x ，x 满足x x +x +x ＝
1 2 1 2 1 2 1 2
3，求k的值为 ﹣ 1 ．
【答案】-1
【解析】解：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x ，x ．
1 2
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）
＝﹣4k+5≥0，
5
解得k≤ ．
4
∵x +x ＝1﹣2k，x x ＝k2﹣1，x x +x +x ＝3，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴k2﹣1+1﹣2k＝3，
即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k ＝﹣1，k ＝3，
1 2
5
∵k≤ ，
4
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
15．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
m ＜ 2 且 m ≠ 1 ．
【答案】m＜2且m≠1
【解析】解：根据题意，得m﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4（m﹣1）×16＞0，
解得m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．16．小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物 20件，若设有n人参加
聚会，根据题意可列出方程为 n （ n ﹣ 1 ）＝ 2 0 ．
【答案】n（n﹣1）＝20
【解析】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，
由题意得，n（n﹣1）＝20．
故答案是：n（n﹣1）＝20．
17．某种服装原价每件120元，经两次降价，现售价每件80元．若设该服装平均每次降价的百分
率为x，则可列出关于x的方程为 12 0 （ 1 ﹣ x ） 2 ＝ 8 0 ．
【答案】120（1﹣x）2＝80
【解析】解：根据题意，可列出关于x的方程为120（1﹣x）2＝80，
故答案为：120（1﹣x）2＝80．
18．把方程x2+4x+1＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是 3 ．
【答案】3
【解析】解：∵x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
则x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3，
∴m＝2，n＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
19．用指定的方法解方程：
（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
【解析】解：（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4），
（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣2＝0，
解得：x ＝4，x ＝6；
1 2
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴方程有两个实数根，
∴x −b±√b2−4ac 4±√24 2±√6，
= = =
2a 2×2 2
2+√6 2−√6
解得：x = ，x = ．
1 2
2 2
20．根据要求解下列一元二次方程：
（1）x2+2x﹣3＝0（配方法）；
（2）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）．
【解析】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
移项，得x2+2x＝3，
配方，得x2+2x+1＝3+1，
则（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x＝±2﹣1，
x ＝1，x ＝﹣3；
1 2
（2）（x+1）（x﹣2）＝4，
整理得，x2﹣x﹣6＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x −b±√b2−4ac −(−1)±5，
= =
2a 2
x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
21．太原市是山西省政府命名的“山西省园林城市”，从2018年起，我市围绕“一核”“三圈”，
以“两个百万亩森林建设”为重点建设十大骨干工程，到2018年底，林地面积约350万亩，为
持续保护和改善生态环境，建设整洁、优美、宜居的现代化城市，再现锦绣太原城盛景，经过
两年的努力，到2020年底我市林地面积约423.5万亩．
（1）求这两年林地面积的年平均增长率；
（2）若要实现到2021年底林地面积至少为508.2万亩的目标，求2021年林地面积的增长率不
低于多少．
【解析】解：（1）设这两年林地面积的年平均增长率为x，依题意得：350（1+x）2＝423.5，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：这两年林地面积的年平均增长率为10%．
（2）设2021年林地面积的增长率为y，
依题意得：423.5（1+y）≥508.2，
解得：y≥0.2＝20%．
答：2021年林地面积的增长率不低于20%．
22．第十四届全运会将于2021年9月15日至9月27日在陕西举行，铁一中分校学生为了迎接这一
盛事，亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售．
平均每天可售出30枚，每枚盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚
盈利不少于32元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出2
枚，若每枚商品降价a（a为正数）元．
（1）用含a的代数式表示平均每天销售的数量，并写出a的取值范围；
（2）若该网店每天销售利润为2100元时，求a的值．
【解析】解：（1）由题意可得，
每天销售的数量为（30+2a）枚，
∵每枚盈利不少于32元，
∴a≤50﹣32，
即a≤18，
答：平均每天销售的数量为（30+2a）枚，a的取值范围是0＜a≤18；
（2）由题意可得，
（50﹣a）（30+2a）＝2100，
解得a ＝15，a ＝20，
1 2
由（1）知0＜a≤18，故a＝20不符合题意，舍去，
∴a＝15，
答：该网店每天销售利润为2100元时，a的值是15．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x ，x ，若x 2+x 2＝8﹣3x x ，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝12m+1≥0，1
解得：m≤ ．
2
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝2m﹣2，x •x ＝m2，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝8﹣3x x ，
1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣2x •x ＝8﹣3x x ，即5m2﹣8m﹣4＝0，
1 2 1 2 1 2
2
解得：m =− ，m ＝2（舍去），
1 2
5
2
∴实数m的值为− ．
5
24．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若m是整数，且方程总有两个整数根，求m的值．
【解析】（1）证明：当m＝0时，此方程为x﹣2＝0，解得x＝2．即m＝0时此方程有一个实数
根；
当m≠0时，此方程为一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论m取何值方程方程恒有实数根．
（2）解：x 3m−1±√(m+1) 2，
=
2m
m−1
即x ＝2，x = ，
1 2
m
∵方程的两个实数根都是整数，
1
∴1− 为整数，
m
∴整数m为1或﹣1．
25．先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴n＝3，m＝﹣3．
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，请问
△ABC是怎样形状的三角形？
（3）根据以上的方法是说明代数式：2x2+8x+y2﹣8y+25的值一定是一个正数．
【解析】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
1
∴xy＝（﹣2）﹣2= ．
4
（2）a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|＝0，
∴a＝b＝c＝3，
∴△ABC是等边三角形．
（3）2x2+8x+y2﹣8y+25＝2（x2+4x+4）+y2﹣8y+16+1＝2（x+2）2+（y﹣4）2+1，
∴2（x+2）2+（y﹣4）2+1≥1，
∴原式的值一定为正数．
26．为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆某中学
决定向某医药生产厂家购买防疫物资．学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消
毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．
（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少
瓶？
（2）后来，学校决定就以112000元的总资金，按照（1）中消毒液的最大数量进行购买．但学
校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划
的基础上消毒液少订购了10a瓶，医用酒精多订购了原计划的a%，医药生产厂家决定对医用酒
精给予优惠，单价降低5a%元，消毒液单价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，
求a（a≠0）的值．
【解析】解：（1）设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精（5000﹣x）瓶，
依题意，得：24x+20（5000﹣x）≤112000，
解得：x≤3000．答：原计划最多购买消毒液3000瓶．
（2）依题意，得：24×（3000﹣10a）+（20﹣5a%）×（5000﹣3000）（1+a%）＝112000，
解得：a ＝60，a ＝0（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为60．
