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第二章 一元二次方程
单元测试
一、单选题
1．（2020·内蒙古·阿荣旗孤山学校九年级期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x3﹣2xy﹣5y2＝0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，对选项逐个判断即可，一元二次方程是指只含有一个未知数并且未知数的最高
次数为2的整式方程．
【详解】
解：A、不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意；
B、 时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、含有两个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若
，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是
解题关键．
3．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程标 有两个不相等的实
数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式
即可得到k的取值范围．
【详解】
解：由题可得： ,
解得： 且 ；故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意
并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算
能力有一定的要求．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是
解题的关键．
5．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【解析】【分析】
根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．
【详解】
解:∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又
∴
把 代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，
方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合 ，找出关于m的一元二次方程．
6．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程 实数根的情况，下列判断正确的是
（ ）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】
解：对于关于x的方程 ，
∵ ，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实
数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根． ⇔
7．（2022·甘肃武⇔威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时⇔，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】
解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
8．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店
揽件日平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： ，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分
别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P
也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【解析】
【分析】
设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合 PBQ的面积为15cm2，即可
得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． △
【详解】
解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得： ×2t•（8-t）=15，
解得：t=3，t=5，
1 2
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．
去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时
长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
每半年平均每周作业时长的下降率为 ，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周
作业时长比去年上半年减少了 ”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，
去年上半年平均每周作业时长为 分钟，
去年下半年平均每周作业时长为 分钟，
今年上半年平均每周作业时长为 分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了 ，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
11．（2022·全国·九年级课时练习）一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为
________m．
【答案】 1或2
【解析】
【分析】
把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度．
【详解】
解：当h=10m时，
10=15t－5t2，
∴t=1或t=2;
∵h＝15t－5t2= 可看出当 时,h最大为 ，
故答案为:1或2; ．
【点拨】
本题考查了利用二次函数解决实际问题，掌握利用配方法求极值是解决问题的关键．
12．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程 的根是_________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】
解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．13．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k的值是______．
【答案】１
【解析】
【分析】
将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
【详解】
解：
∴
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
14．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵a－b2＝4
∴
将 代入a2－3b2＋a－14中
得：∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的
小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
【答案】2
【解析】
【分析】
设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种
植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x=2，x=34（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级课时练习）电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得
全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达
10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为___________．【答案】
【解析】
【分析】
若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房
收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故答案为：：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
17．（2022·全国·九年级课时练习）用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【解析】
【分析】
（1）本题利用直接开平方法解方程即可；（2）本题将 移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；
（3）先将 移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；
（4）将 移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．
(1)
解：直接开平方得 ，
解得 ， ；
(2)
解：由已知得 ，
则 ，
解得 ， ；
(3)
解：由已知得 ，
，
∴ ，
解得 ， ；
(4)
解：由已知得 ，
利用因式分解法可得 ，
解得 ， ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方法解方程
是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，
余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系
建立方程即可得解．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x=4，x=40(不符合题意，舍去)
1 2
答：道路的宽应为4米．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
19．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式 ，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出 ，由 即可解出 ， ，再根据 ，即可得到
的值．
（1） ，∵ ，∴ ， 该方程总有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个实数根 ， ，由根与系数关系可知， ， ，∵ ，∴
，∴ ，解得： ， ，∴ ，即 ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
20．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021
年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加
15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20%
(2)18个
【解析】
【分析】
（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019年投入资金 2021年投入的
总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等
于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据题意得： ，解这个方
程得， ， ，经检验， 符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平
均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造 个老旧小区，由题意得： ，解得
．∵ 为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关
系，列出正确的方程和不等式．21．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使
再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的
2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再生纸的利润比
上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比
上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6月份每吨再生纸的利润是多少
元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨
(2) 的值20
(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【解析】
【分析】
（1）设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，然后根据该厂3，4月份共生产
再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，根据总利润=每一吨再
生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，由题意得：
，解得： ，∴ ，答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，解得： 或 （不合题意，
舍去）∴ ，∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
